傅里葉變換是有史以來最偉大、最深刻的數(shù)學發(fā)現(xiàn)之一。但不幸的是，初次見它的公式似乎很難理解其中的內(nèi)涵。例如，對滿足狄里赫利(Dirichlet)條件的周期信號做傅里葉變換可以得到一組傅里葉級數(shù)，其可以表示為：

Emmmmm…

數(shù)學中所謂的“變換”其實是在變換看待問題的角度，而并非變換問題自身，詳見：拉普拉斯變換中的S是個什么鬼？。

為了更好地理解“變換”的概念，現(xiàn)在給出一個關于“變換”的簡單比喻：

假如有一種飲料叫做：橘子香蕉牛奶冰沙。

你很想喝，但是現(xiàn)在你發(fā)現(xiàn)市場上賣的簡直太貴啦，一杯不算稅居然都得10刀。

但有時候貧窮是件好事，因為貧窮會逼著你學會很多生活技能，比如，自己給自己理發(fā)。

顯然，我們下一步要做的就是自制橘子香蕉牛奶冰沙了！

但是，就和炒菜一樣，即使是同樣的食材，給不同的人炒出來的味道也是千差萬別。想做出和市場上口感一樣的冰沙，最重要的是要知道原材料的種類和比例。那么，這個從一杯橘子香蕉牛奶冰沙中獲取原材料和比例的過程也就可以類比于傅里葉變換的過程了。我們姑且稱之為“橘子香蕉牛奶冰沙的傅里葉變換”。

為了理清思路，先回答以下幾個問題：

1、 “橘子香蕉牛奶冰沙的傅里葉變換”是做什么的？

答：得到一杯水果冰沙后，找出其中包含的各種成分及其性質(zhì)。

2、怎么做？

答：讓冰沙通過某種“過濾器”，以便提取出其中的每種成分。

3、為什么這樣做？                      

答：各個單一的組成成分比冰沙本身更容易分析，比較和修改。

4、如何自制橘子香蕉牛奶冰沙？                     

答：將過濾得到的各個組成成分按分析所得的比例混合即可。

(圖片來源: betterexplained)

就像上面的示意圖，如果倒入了9個單位量的水果冰沙。

經(jīng)過“香蕉過濾器”，得到1個單位量的香蕉；

經(jīng)過“橘子過濾器”，得到2個單位量的橘子；

經(jīng)過“牛奶過濾器”，得到3個單位量的牛奶；

經(jīng)過“冰沙過濾器”，得到3個單位量的冰沙。

這樣，我們就獲得了制造冰沙的“配方”，只需將各個成分按過濾得到的比例加以混合，就可以得到和市場上一模一樣的橘子香蕉牛奶冰沙了！

從消費者的角度，看到的是包含有“香蕉”、“橘子”、“牛奶”和“冰沙”的水果冰沙；而從冰沙的制造者角度來說，關心的是制作冰沙的配方，即成分和比例！

“橘子香蕉牛奶冰沙的傅里葉變換”將我們的視角從消費者轉(zhuǎn)向生產(chǎn)者；從“我有水果冰沙?！鞭D(zhuǎn)向“水果冰沙是怎么制作的？”。這就是兩種不同的角度，而實現(xiàn)這兩種角度切換的就是上圖中的“過濾器”（也即“變換”）。

在“過濾”(變換)的過程中，各個成分及比例并沒有改變。因此，我們可以通過這種變換來逆向還原出配方，這就是“過濾器”(變換)的意義之所在。

好，明白了“變換”的意義之后，現(xiàn)在看看正經(jīng)的傅里葉變換。首先，介紹一下大名鼎鼎的傅里葉。

Jean-Baptiste Joseph Fourier

21 March 1768 - 16 May 1830

 (圖片來源: Wikipedia)

傅里葉的一生很傳奇，幼年時父母相繼離世，二十多歲畢業(yè)后當了數(shù)學老師，后又被聘任為巴黎綜合理工學院的教授。但他并不是一個安分的人，20歲的血氣方剛恰逢當時的法國大革命，他的一些政治行動曾兩次險些將其送上斷頭臺，但他也因此獲得了拿破侖的器重。

三十歲時傅里葉跟隨拿破侖東征，被任命為下埃及總督，并負責為法軍的遠征部隊提供軍火。在此期間，這個教過書、造過反、還給拿破侖背過槍的人竟然還向開羅埃及學院遞交了幾篇有關數(shù)學的論文。內(nèi)容主要是關于他在三角級數(shù)方面的貢獻。

拿破侖遠征軍失敗后，他回國并于1801年被任命為伊澤爾省格倫諾布爾地方長官。到了1807年，傅里葉在研究中發(fā)現(xiàn)了一系列成諧波關系的正弦曲線可以用來表示物體內(nèi)的溫度分布。他還聲稱，“任何”周期信號都可以用一系列成諧波關系的正弦曲線來表示。

他隨后向巴黎科學院呈交了這篇名為《熱的傳播》的論文，主審這篇文章的四個人中。拉克爾華(F. Lacroix) 、蒙日(G. Monge)和拉普拉斯(P. S. de Laplace)都贊成發(fā)表這篇論文，但是拉格朗日(J. L. Lagrange)堅持拒絕傅里葉提出的這一套三角級數(shù)理論，因為在他看來，三角級數(shù)的適用范圍及其有限，不可能把具有例如導數(shù)不連續(xù)的信號表現(xiàn)出來。

由于拉格朗日的強烈反對，導致傅里葉的這篇論文從未發(fā)表。在幾次嘗試讓法國學院接受和出版他的論文后，傅里葉著手撰寫他作品的另一個版本。1822年，傅里葉將這套理論寫在了他的著作:《熱的解析理論》之中。這距離他首次提出該理論已經(jīng)過去了整整15年。

Théorie analytique de la chaleur

雖然他關于三角級數(shù)的論述很有意義，但隱藏在這一問題后面的很多基本概念已經(jīng)被其他科學家們所發(fā)現(xiàn)；同時，傅里葉的數(shù)學證明也不是很完善。后來于1829年，狄里赫利(Dirichlet)給出了若干精確的條件，在這些條件下，一個周期信號才可以用一個傅里葉級數(shù)表示。

因此，傅里葉實際上并沒對傅里葉的數(shù)學理論做出什么貢獻。然而，他確實洞察出級數(shù)表示法的潛在威力，并且由于其斷言，大大激勵和推動了傅里葉級數(shù)問題的深入研究。另外，傅里葉在這一問題上的研究成果比他的任何先驅(qū)者都大大前進了一步，這指的是他還得出了關于非周期信號的表示——并非成諧波關系的正弦信號的加權和，而是不全成諧波關系的正弦信號的加權積分。

他的發(fā)現(xiàn)對19世紀及之后的數(shù)學、物理、化學及各個工程領域都產(chǎn)生了深遠影響，他是名字被刻在埃菲爾鐵塔的七十二位法國科學家與工程師之中。

      前面說到傅里葉認為“任何”周期信號都可以表示為一系列成“諧波關系”的正弦信號的疊加。（這個“諧波關系”后面會提到）

正弦函數(shù)無需多言，大家都清楚，但為了直觀化表達，這里將正弦(或余弦)信號同時以兩種運動形式來表示，分別是：一種是以時間為橫軸、位移為縱軸，某一點的往復運動，也就是通常所說的正弦波，或者說是振蕩信號；

另一種為某一點繞另一點的勻速圓周運動。兩種情況綜合起來為下圖所示。正弦波就是一個圓周運動在一條直線上的投影。

正弦信號的兩種圖形化表示

(圖片來源: http://1ucasvb.)

這兩種表示方法之間并沒有什么本質(zhì)上的區(qū)別，就如同描繪轉(zhuǎn)角大小，一圈可以用角度表示為360°，也可以用弧度表示為2π弧度一樣。只是采用了兩種不一樣的表達形式而已，見：一圈為何是360°？。

弧度定義的演示

(圖片來源: http://1ucasvb.)

當我們描述不論是上述的往復運動還是勻速圓周運動，必須且只需三個量即可唯一確定該運動的狀態(tài)。

若要描述勻速圓周運動，需要知道圓周運動軌跡的大?。窗霃交蚍龋?；圓周運動的快慢（即角速度或頻率）；以及運動的起始位置（即初始相位角），兩信號起始位置之間的角度差又稱為相位差。

(圖片來源: betterexplained)

公式表示為：

其中，A即為正弦波的幅值，ω為角速度或角頻率，φ為初始相位角，t為時間，θ為轉(zhuǎn)角。

那么所有圓周運動（或振蕩信號）組合起來得到的位置隨時間的變化情況也就是我們最終的信號。這和從原材料得到最終的“橘子香蕉牛奶冰沙”過程類似。

同樣，如果反過來，傅里葉級數(shù)能夠?qū)⑷魏沃芷谛盘柗纸獬梢粋€（甚至是由無窮多個元素組成的）簡單振蕩信號的集合。

為了展示效果和受眾，這里盡量少地列公式，僅給出了三種比較常見且簡單的信號的分解與合成過程，這三種信號分別是方波、鋸齒波和三角波。這三種信號有一個共同點是：它們都是由無數(shù)個無相位差（假設初試相位角均為零）、且成諧波關系的正弦波構成的周期性信號。

方波也稱為矩形波，但是這種“方方正正”的信號的確可以分解為無限多個正弦信號的組合。下圖展示了方波的傅里葉級數(shù)的前50項的疊加過程，如果項數(shù)繼續(xù)增加，則最終趨近方波。

(圖片來源: 1ucasvb)

雖然組成方波的這些信號都是正弦信號，但是這些正弦信號之間還需要滿足一定的條件。考慮組成方波的正弦信號，方波可由以下公式表示，其中n為奇數(shù)：

這里，ω稱為基波頻率，而3ω、5ω、nω等均為ω的整數(shù)倍。這些大于基波頻率，且是基波頻率整數(shù)倍的各次分量稱為諧波。對于方波，基波的各偶數(shù)次諧波的幅值為零。這些諧波成分也就是組成方波的原材料。

這里，引入“頻域”的概念，如下圖。

最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個波的振幅滿足上面的合成公式。每兩個正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為 0 的偶數(shù)諧波。

如果不關心相位或假設所有正弦波之間的相位差為零，按照圖示方向看去，時域的方波信號就被投影到了頻域。因為前面的方波信號的橫軸為時間軸，而在頻域，橫軸為頻率。這樣，一組隨時間變化的時域正弦信號被表示為了頻域的一組離散點。頻域每個離散點的橫坐標代表一個諧波頻率，而其縱坐標則代表該頻率的諧波所對應的振動幅度。

(圖片來源: Wikipedia)

上圖表示的是近似方波的函數(shù)s(x)（紅色）是六個不同幅度的諧波關系的正弦函數(shù)的和。它們的和叫做傅里葉級數(shù)。傅里葉變換S(f) （藍色），針對幅度與頻率進行描繪，顯示出6種頻率和它們對應的幅度。傅里葉變換將信號由時域變換到頻域。

讓我們從另一個角度去看待合成的過程。前面說到，正弦波就是一個圓周運動在一條直線上的投影。而頻域各個離散點也可以理解為一個始終在繞一個圓旋轉(zhuǎn)的點。這些點轉(zhuǎn)動的速度就對應各個諧波頻率，而轉(zhuǎn)動的半徑就對應各個諧波的幅值。只要將這些諧波疊加起來，就能最終的信號。

(圖片來源: Wikipedia)

(圖片來源: https://bl./jinroh/7524988)

考慮組成鋸齒波的正弦信號，鋸齒波可由以下公式表示，n為正整數(shù)：

下圖展示了鋸齒波的傅里葉級數(shù)的前50項的疊加過程，如果項數(shù)繼續(xù)增加，則最終趨近鋸齒波。

(圖片來源: 1ucasvb)

從圓周運動的角度看疊加過程如下圖所示：

(圖片來源: Wikipedia)

(圖片來源: https://bl./jinroh/7524988)

對于三角波，與上面的兩種類似，下圖展示了三角波的傅里葉級數(shù)的前25項的疊加過程，如果項數(shù)繼續(xù)增加，則最終趨近三角波。

(圖片來源: 1ucasvb)

從圓周運動的角度看疊加過程如下圖所示：

(圖片來源: https://bl./jinroh/7524988)

通過上面的例子可以看到，對于滿足狄里赫利(Dirichlet)條件的周期信號，可以分解為一組成諧波關系的正弦信號，或者說該周期信號做傅里葉變換可以得到一組傅里葉級數(shù)。

對于周期信號，既然知道了其中的各個成分是成諧波關系的，那么頻率成分就確定了。所以在不考慮相位差的情況下，問題關鍵是如何得到這些成諧波關系的正弦信號前的系數(shù)（或者說，諧波的幅值，也即是各個成分的大?。?。而傅里葉變換的公式恰恰就給了我們解決該問題途徑。也就是本文最開始那個公式了。由待分析的周期信號x(t)，可以積分得到其中所包含的諧波成分的幅值ak，而將這些頻率成分全部相加則可以重構出原周期信號。

有人為了方便理解，將傅里葉級數(shù)的求解用下式表達：