18世紀(jì)中期，在歐洲，發(fā)源于英格蘭的“工業(yè)革命”迅速向歐洲大陸傳播，機(jī)器生產(chǎn)逐步取代手工生產(chǎn)；在亞洲，平定準(zhǔn)噶爾汗國(guó)[乾隆]的清朝疆域達(dá)到極盛——1316萬(wàn)平方公里；同時(shí)，橫跨歐亞兩洲的俄羅斯帝國(guó)與橫跨歐亞非三洲的奧斯曼帝國(guó)之間爆發(fā)“俄土戰(zhàn)爭(zhēng)”，俄羅斯帝國(guó)取勝。

18世紀(jì)的數(shù)學(xué)，無(wú)論在分析還是代數(shù)上較17世紀(jì)都有了更大的發(fā)展。參與研究數(shù)學(xué)的人越來(lái)越多，數(shù)學(xué)家之間的交流也越來(lái)越方便——不用像15、16世紀(jì)一樣秘密集會(huì)、也不用像17世紀(jì)一樣主要依靠“書(shū)信”來(lái)往。

18世紀(jì)，誕生了許多像歐拉（1707～1783）、拉格朗日（1736~1813）、高斯（1777~1855）這樣頂級(jí)的數(shù)學(xué)家。

18世紀(jì)，更多科學(xué)院的成立讓數(shù)學(xué)家之間的交流變得更容易。1700年，由腓特烈一世支持的“柏林科學(xué)院”成立——萊布尼茨擔(dān)任第一任院長(zhǎng)，1724年，由彼得大帝支持的“圣彼得堡科學(xué)院”成立——早期主要成員有歐拉Euler、丹尼爾Daniel、小尼古拉Nicolaus I 等，1795年，法蘭西研究院建立——拉格朗日為首屆科學(xué)院數(shù)理委員會(huì)主席。

18世紀(jì)，代數(shù)的符號(hào)表示已經(jīng)相當(dāng)成熟（自16世紀(jì)韋達(dá)以后），三次、四次方程的求根問(wèn)題（16世紀(jì)卡丹以后）也已經(jīng)解決，x^n-1=0的n個(gè)根n等分圓問(wèn)題也有了一定程度上的突破。數(shù)學(xué)家們希望進(jìn)一步解決一元五次方程的求根問(wèn)題，范德蒙Vandermonde和拉格朗日Lagrange在這方面的工作是首要的。

Lagrange在研究了多種求解三次、四次方程的方法后，發(fā)現(xiàn)一種叫做“預(yù)解式”的方法來(lái)探尋求根的“內(nèi)在統(tǒng)一性”，并希望為“五次方程”求根提供啟示。

一、預(yù)解式的引入

解三次方程

時(shí)，無(wú)論何種解法都會(huì)得到一個(gè)6次方程

，這個(gè)方程有6個(gè)解，但同時(shí)

是關(guān)于y^3的二次方程，故y^3有兩個(gè)解。具體的，

注意，y的值被分成了兩類(lèi)：

Lagrange通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)，

，同理，交換式子中的x1,x2,x3的位置可以得到其他5個(gè)y值。式子

，因?yàn)橹脫Qx,能表示出所有的y，Lagrange將其叫做“預(yù)解式”。

交換換“預(yù)解式”中x1,x2,x3的位置有3！=6種排列形式。其中，置換

交換了所有的xi,而置換

定了一個(gè)而變換其他兩個(gè)。這也是三次方程可以轉(zhuǎn)換為二次方程的緣由。

二、“預(yù)解式”解三次方程

所以，A和B是方程

的兩根。

由此解出A和B。再根據(jù)預(yù)解式方程組

三個(gè)式子相加得

同理解出x2,x3的值。

三、“預(yù)解式”解四次方程

關(guān)于四次方程，Lagrange設(shè)預(yù)解式為

，交換xi可以得到4!=24種排列方式，但是可以分成三類(lèi)，即四次方程可以轉(zhuǎn)化為y的三次方程?？山狻?/p>

接下來(lái)，Lagrange決定向5次進(jìn)軍，但是卻轉(zhuǎn)換成了一個(gè)6次方程。這個(gè)方法失效了。但是“Lagrange的著作依然是一切關(guān)于群論的著作的先導(dǎo)”（《古今數(shù)學(xué)思想》）

五次方程求根不成，數(shù)學(xué)家們便開(kāi)始證明“5次方程無(wú)一般求根公式”，19世紀(jì)的阿貝爾成功做到了——在Lagrange代換群的基礎(chǔ)上，伽羅瓦則更進(jìn)一部。這部分內(nèi)容屬于高等數(shù)學(xué)，小編能力有限，不能一一道來(lái)。關(guān)于“解方程”的歷史，我們也以Lagrange的“預(yù)解式”作為結(jié)尾。

感謝大家對(duì)本專(zhuān)欄的支持！