我們都知道二次函數(shù)y=ax*2+bx+c的圖像是一條拋物線，也是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是直線x=-b/2a.對(duì)稱軸是過頂點(diǎn)且與y軸平行(或重合)的直線，當(dāng)對(duì)稱軸為y軸時(shí)，當(dāng)拋物線上的兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同時(shí)，兩對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，此時(shí)若x1，x2是拋物線與x軸的兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)，則x1+ⅹ2=0。

當(dāng)拋物線y=ax*2+bx+c(a≠0)上一點(diǎn)P1(x。，y。)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為P2(-b/a-x。，y。)。

通常我們解決此類問題的過程中，研究性質(zhì)的核心問題是首先明確函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，拋物線的頂點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵點(diǎn):

⑴由頂點(diǎn)橫坐標(biāo)可確定對(duì)稱軸的直線方程式；

⑵以頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為界，確定函數(shù)的增減性；

⑶以頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為界，已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，利用對(duì)稱性可知另一交點(diǎn)的坐標(biāo)。

⑷拋物線的頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)(a＜0)或最低點(diǎn)(a＞0)，由此確定二次函數(shù)的最大值或最小值。

在實(shí)際應(yīng)用問題中的一些“變化概念”與函數(shù)增減性之間的關(guān)系，必要時(shí)可通過圖像法進(jìn)行判斷。

例題求解

1.如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax*2-4ⅹ+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B.

⑴求該二次函數(shù)的解析式；

⑵寫出該拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑶點(diǎn)P(m，m)與點(diǎn)Q均在該函數(shù)圖像上(其中m＞0)，且這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，求m的值及點(diǎn)Q到ⅹ軸的距離.

【解析】

⑴ 把點(diǎn)A(-1，-1)，B(3，-9)代人拋物線的解析式，可得a=1，c=-6.所以y=x*2-4x-6.

⑵ 因?yàn)閥=x*2-4x-6=(x-2)*2-10，所以對(duì)稱軸為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，-10).

⑶ 將(m，m)代人y=x*2-4x-6得m=m*2-4m-6，解得m1=-1(因?yàn)閙>0，以舍去)，m2=6.

又因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，所以點(diǎn)Q到x軸的距離為6。

【小結(jié)】

我們?cè)诖_定對(duì)稱軸主要有三種方法:

⑴依據(jù)對(duì)稱軸公式(當(dāng)可知拋物線的解析式時(shí))

⑵確定拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)

⑶由對(duì)稱軸公式x=-b/2a，代入系數(shù)a、b可得.

函數(shù)解析式能變形成二次函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式，則其函數(shù)圖像關(guān)于其對(duì)稱軸對(duì)稱；而拋物線能否關(guān)于y軸對(duì)稱，則由二次函數(shù)解析式中一次項(xiàng)系數(shù)決定，當(dāng)b=0時(shí)，該拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱。

(由對(duì)稱軸公式x=-b/2a可知，當(dāng)b=0時(shí)，x=0，即y軸的直線方程.)。