在很多數(shù)學(xué)問(wèn)題中，一般通過(guò)一次轉(zhuǎn)化和化歸就能夠圓滿解決問(wèn)題，但是在一些稍微復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，一次轉(zhuǎn)化和化歸無(wú)法解決問(wèn)題，需要重復(fù)運(yùn)用兩次以上，需要腦海里轉(zhuǎn)過(guò)彎來(lái)。一些轉(zhuǎn)化有其必然性，為什么是這樣轉(zhuǎn)化，而不是別的途徑，就要知其所以然，知其所以不然。

來(lái)看一道初中的證明題：

我們就來(lái)分析解說(shuō)一下，從而明白轉(zhuǎn)化與化歸思想的重復(fù)運(yùn)用，以及知其所以然、知其所以不然。有些解說(shuō)是為了便于大家由此及彼，舉一反三，單純做本題并不需要那么多想法。

證明角平分線的路：

1、定義：直接給出兩個(gè)角相等就不用你證明了，一般是要證明角相等。

而證明角相等的路：

（1）角的運(yùn)算：運(yùn)用多邊形內(nèi)角和（三角形、四邊形……）、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角、同位角等等。本題一看顯然不可能。

（2）證明三角形全等。

所有可用的條件只有兩點(diǎn)：①平行四邊形ABCD，②AE=CF，條件不充分；

輔助線構(gòu)建一下，由B向AE、CF作垂線BM、BN于M、N（逆向思維：角平分線判定定理），依然不充分，除了一條公共斜邊，別的條件沾不上邊，HL用不了，AAS、ASA、SAS都顯然是用不了的。

（3）證明三角形相似：正弦定理，條件依然不充分。

2、判定定理：證明三角形全等，已經(jīng)是用不了的，那就只能走別的路了。

充分挖掘已知條件、輔助線的關(guān)系：BM⊥AE、BN⊥CF，AE=CF，垂直是一種特殊的關(guān)系，能拿來(lái)干啥相等的事情？?jī)蓪?duì)垂直線段怎么構(gòu)建起相等關(guān)系？前面已經(jīng)思考，角的運(yùn)算沾不上邊，全等、相似沾不上邊了，那只能長(zhǎng)度的運(yùn)算咯！

運(yùn)算嘛，通常無(wú)非加減乘除。

要證BM=BN，而知道的BM⊥AE、BN⊥CF，AE=CF，加減顯然沾不上邊，除顯然也不可能，那么垂直這個(gè)關(guān)系怎么用就呼之欲出了：

證BM*AE=BN*CF

線段乘以線段是啥？面積！什么面積？顯然是三角形！

于是證1/2BM*AE=1/2BN*CF，即證S△BAE=S△BCF，這兩個(gè)三角形面積怎么聯(lián)系起來(lái)？一看還有個(gè)大條件平行四邊形ABCD沒(méi)有使用的嘛！△BAE、△BCF都與平行四邊形ABCD同底等高，一下就聯(lián)系起來(lái)了。證明過(guò)程從這里反過(guò)去寫就是了。

這里用到兩次轉(zhuǎn)化和化歸思想：證角平分線（也就是角相等）利用判定定理轉(zhuǎn)化為線段相等，證線段相等利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為證面積相等。

注意一下轉(zhuǎn)化的手段，垂直、平行關(guān)系等一些特殊的關(guān)系在轉(zhuǎn)化和化歸中有大用！除了最直接的連接，作垂線、平移等，從而分割、補(bǔ)形為等腰直角三角形、平行四邊形等特殊基本圖形。

?當(dāng)然腦海里思考的過(guò)程不需要這么多東西，大概思考就是：直接證角相等（三角形全等、相似構(gòu)建不充分）不可能，只能用角平分線判定定理轉(zhuǎn)化為證長(zhǎng)度相等，而三角形全等構(gòu)建不充分，只能通過(guò)垂直關(guān)系、長(zhǎng)度運(yùn)算（加減乘除，兩線段垂直垂直顯然只能是乘）轉(zhuǎn)化為證面積相等。

當(dāng)然上面討論那么多是為了大家都能夠明白和注意，其一、轉(zhuǎn)化和化歸思想可能不是用一次就一步到位了，可能重復(fù)用到；其二、知其所以然，知其所以不然：轉(zhuǎn)化中為什么不能直接證角相等，不能用三角形全等（HL、AAS、ASA、SAS條件都是顯然無(wú)法構(gòu)建充分條件的）、相似（正弦定理的條件也不具備），所以通過(guò)垂直關(guān)系最終把長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化到面積上的必然性是顯而易見的。