旋轉變換三要素，旋轉中心、旋轉角和旋轉方向。其中旋轉方向只有兩個：順時針或逆時針，而旋轉中心和旋轉角一般不可少，否則無從作出旋轉圖形。而恰恰有這么一道二次函數(shù)綜合題，涉及到的旋轉中，居然連旋轉中心都不確定，這下子難倒了一片學生，圖都作不出來，如何能解呢？

題目

如圖，直線y=1/2x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=-1/2x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，與x軸的另一交點為C。

(1)求拋物線的解析式；

(2)直線AB上方拋物線上的點D，使得∠DBA=2∠BAC，求D點的坐標；

(3)M是平面內(nèi)一點，將△BOC繞點M逆時針旋轉90°后，得到△B1O1C1，若△B1O1C1的兩個頂點恰好落在拋物線上，求點B1的坐標。

解析：

(1)傳統(tǒng)啟手式，求二次函數(shù)解析式，先根據(jù)直線解析式求得點A和點B坐標，分別為A(-4,0)和B(0,2)，分別代入即可求得b=-3/2，c=2，于是解析式為y=-1/2x2-3/2x+2；

(2)通常情況下，遇到一個角是另一個角兩倍的條件，我們把較大角的角平分線作出來，或者將較小的角加倍，均能構造出等量關系。

方法一：作∠DBA的角平分線，與拋物線交于點E，如下圖：

∠EBA=∠BAO，它們恰好是一對內(nèi)錯角，于是得到BE∥x軸，此時的BE，作為角平分線，還有另外一重身份，即∠DBA的對稱軸，再換個說法，BD所在直線與直線AB關于BE軸對稱。而直線AB解析式是已知的，于是可以迅速得到直線BD的解析式為y=-1/2x+2，沒有學習過這種一次函數(shù)直線性質的同學，多費點功夫也行，過點D作BE和垂線，利用三角函數(shù)同樣可得到直線BD的斜率k。

接下來，聯(lián)立直線BD與拋物線即可求得點D坐標為(-2,3)；

方法二：作點B關于x軸的對稱點B'，連接AB'，如下圖：

我們同樣得到一對內(nèi)錯角，∠DBA=∠BAB'，于是BD∥AB'，而在Rt△AOB'中，直線AB'的斜率更容易求了，因此，得到它的解析式為y=-1/2x-2，從而得到直線BD的解析式為y=-1/2x+2，接下來的步驟與方法一相同，最后點D(-2,3)；

(3)幾乎所有人在面對將△BOC繞點M逆時針旋轉90°時，都感到無從下筆，因為點M為平面內(nèi)一點，并不知道在哪里，思路就此陷入困境。

如何破解？還是要從旋轉變換最基本的性質回想，既然是旋轉90°，根據(jù)旋轉前后圖形的位置，可判斷對應邊之間的位置關系，OB原本是與y軸重合，逆時針旋轉90°后，無論旋轉中心在哪里，旋轉后的O1B1一定與OB垂直，同理，另外兩組對應邊也與原邊所在直線垂直。我們可以假定某一個點為旋轉中心來驗證，例如繞點B旋轉，如下圖：

經(jīng)過觀察，旋轉后的O1B1∥x軸，而O1C1∥y軸，B1C1⊥BC，而且，任意點為旋轉中心，均不改變上述位置關系?，F(xiàn)在可以將旋轉后的△O1B1C1任意放在平面內(nèi)了，而它有兩個頂點在拋物線上，怎么理解呢？我們知道拋物線上沒有兩點橫坐標相同，于是首先排除O1和C1在拋物線上這種情況，剩下B1，C1和O1，B1兩種情況如下圖：

左圖中，點B1和C1的坐標之間，橫坐標相差2，縱坐標相差1，且它們均在直線y=1/2x+2上，于是設B1橫坐標為m，則C1橫坐標為m+2，分別代入拋物線解析式中求出縱坐標，B1縱坐標為-1/2m2-3/2m+2，C1縱坐標為-1/2(m+2)2-3/2(m+2)+2，它們相差1，得方程1/2m2-3/2m+2+1=-1/2(m+2)2-3/2(m+2)+2，解得m=-3，于是B1(-3,2)；

右圖中，點B1和O1都在拋物線上，它們關于拋物線對稱軸x=-3/2對稱，且分別距離對稱軸1個單位，因此點B1橫坐標為-5/2，于是B1(-5/2,21/8)。

解題反思：

在武俠小說中，練武無不講求根基牢固，一柄無鋒重劍，在高手使來，仍是利器，看似平淡無奇的招式，蘊藏無窮威力。學習旋轉變換的過程中，對旋轉前后的數(shù)量關系研究較多，運用也較多，而對位置關系相對薄弱，本題恰恰選擇的是特殊旋轉角90°，因此必然會出現(xiàn)旋轉前后對應邊垂直的情況，對于垂直這種位置關系，如果沒有垂足，則多數(shù)學生會感到“缺根筋”，而事實上，線段垂直，多是指它們所在直線垂直，在概念學習中如果忽視了這一點，難免在解本題時無所適從。因此，平時的課堂學習，尤其是概念學習，一定要理解透徹，不可滿足表面現(xiàn)象，略懂=不懂。