線性代數(shù)到底在講什么？

不理解的知識(shí)，當(dāng)然不會(huì)用！

本課程是專欄《20堂課極速理解線性代數(shù)》的精華凝煉圖文版，10堂課幫助您真正從直觀角度理解、消化、吸收線性代數(shù)的核心概念與核心算法。

正交陣的誕生

上節(jié)課我們講了相似對(duì)角化，進(jìn)一步地，再特殊一點(diǎn)，如果A矩陣是一個(gè)對(duì)稱陣呢？

或者說(shuō)，如果對(duì)稱陣進(jìn)行相似對(duì)角化分解呢：

這時(shí)我們把對(duì)稱陣進(jìn)行相似對(duì)角化分解得到的特征向量矩陣Z，稱為

正交陣。

規(guī)范正交基

假若，一個(gè)正交基的基向量的模長(zhǎng)都是單位長(zhǎng)度1，則稱這正交基為標(biāo)準(zhǔn)正交基或'規(guī)范正交基'（Orthonormal basis）。

其實(shí)，一個(gè)正交矩陣就是一組規(guī)范正交基。

看看正交陣長(zhǎng)什么樣子吧：

Z矩陣中的向量，無(wú)論是列向量還是行向量，單位長(zhǎng)度都是1，而且兩兩正交。

正交陣性質(zhì)

正交陣與自己的轉(zhuǎn)置相乘，得到單位陣I。

來(lái)證一下：

從上面過(guò)程中，我們?cè)僖淮沃販亓恕?/p>

矩陣本身可以看成是向量的向量。

正交陣性質(zhì)1：保證向量長(zhǎng)度不變

向量 x 的長(zhǎng)度，用它的模 |x| 表示。如果這個(gè)向量進(jìn)行了 Z 矩陣代表的變換，變成了 Zx，可以保證，長(zhǎng)度沒(méi)有發(fā)生變化，即：

那么，長(zhǎng)度沒(méi)變，什么變了呢，相對(duì)于原坐標(biāo)系的角度變了唄。

正交陣性質(zhì)2：保證向量夾角不變

兩個(gè)向量 x 與 y 的夾角，用它們的內(nèi)積來(lái)表示，即 (x,y)，如果分別進(jìn)行了 Z 矩陣代表的變換，夾角也不變，即：

也就是說(shuō)，如果一個(gè)物體上畫兩條線，可以想象，進(jìn)過(guò)了Z變換，兩條線的長(zhǎng)度和夾角都沒(méi)有變化，只是相對(duì)于原坐標(biāo)系發(fā)生了變化，這說(shuō)明什么？

正交陣的本質(zhì)意義