不等式與數(shù)列結(jié)合的證明題型，其證明思路可用歸納猜想證明，也可用放縮法來解決。本文就放縮法在數(shù)列不等式中的應(yīng)用，進(jìn)行一些方法上的探究。

一、裂項(xiàng)相消法

形如…（c為常數(shù)）的題型，常要對(duì)數(shù)列中的通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)，達(dá)到放縮的目的。

例1、在數(shù)列中，已知，，求證：…。

分析：由得到，利用遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式求法，可求出數(shù)列，故。

證明：對(duì)所證式的左邊通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)：

，。

可得不等式：

左邊…

。

從而命題得證。

說明：當(dāng)所證明的式子中出現(xiàn)一些分式積及無理式的形式時(shí)，常要用到裂項(xiàng)相消法，對(duì)于，以下結(jié)論：，，以及

都是常用到的。

二、利用迭乘法分拆

在形如的題型中，可試著將看做數(shù)列的前n項(xiàng)之積，利用來拆項(xiàng)。

例2、求證；。

分析：令，則利用對(duì)其拆項(xiàng)可得。

證明：。

又∵

（，2，3，…，n），

∴中各項(xiàng)都比對(duì)應(yīng)項(xiàng)大。

因此。

即

說明：本例借用恒等式將進(jìn)行裂項(xiàng)，然后再證明對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)的大小關(guān)系而獲證，技巧性較強(qiáng)，但規(guī)律非常明顯，通過學(xué)習(xí)是可以掌握的。

▍ 編輯：Wulibang（ID：2820092099）