梯度、散度和旋度大揭秘

星光閃亮圖書館 2019-01-31

展開全文

一、基本概念理解

1、方向?qū)?shù)：在函數(shù)定義域內(nèi)的點，對某一方向求導(dǎo)得到的導(dǎo)數(shù)。
2、梯度：是一個向量（矢量），表示某一函數(shù)在該點處的方向?qū)?shù)沿著該方向取得最大值。
3、通量：在流體運動中，單位時間內(nèi)流經(jīng)某單位面積的某屬性量，是表示某屬性量輸送強度的物理量。
4、環(huán)量：一個矢量沿一條封閉曲線積分。譬如在流場中任取一條封閉曲線，速度沿該封閉曲線的線積分稱為該封閉曲線的速度環(huán)量。就像力做功的計算方法一樣，形象地稱速度環(huán)量為速度繞封閉曲線的速度功。
5、散度（divergence）可用于表征空間各點矢量場發(fā)散的強弱程度，物理上，散度的意義是場的有源性。當(dāng)div F>0 ，表示該點有散發(fā)通量的正源（發(fā)散源）；當(dāng)div F<0 表示該點有吸收通量的負源（洞或匯）；當(dāng)div F=0，表示該點無源。
6、旋度是向量分析中的一個向量算子，可以表示三維向量場對某一點附近的微元造成的旋轉(zhuǎn)程度。這個向量提供了向量場在這一點的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)。旋度向量的方向表示向量場在這一點附近旋轉(zhuǎn)度最大的環(huán)量的旋轉(zhuǎn)軸，它和向量旋轉(zhuǎn)的方向滿足右手定則。旋度向量的大小則是繞著這個旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的環(huán)量與旋轉(zhuǎn)路徑圍成的面元的面積之比。
7、對散度的理解
散度不為零說明場是有源場，電場有源無旋，磁場無源有旋。電場是由于分離電荷的存在而產(chǎn)生的，所以有源；但磁場目前還沒有發(fā)現(xiàn)磁單極，所以無源。
8、對旋度的理解
俗話說有圖有真相，我們看圖說話！
在這里插入圖片描述

在這里插入圖片描述
我的理解是會“旋轉(zhuǎn)”，是因為受力不均勻所導(dǎo)致。如第一張圖水流的例子，水流在垂直的上下平面上大小是相同的，所以左邊不產(chǎn)生渦旋。右邊里面會產(chǎn)生渦旋，是因為受力不均勻，在垂直的上下這個平面上，越往下，力越小，所以產(chǎn)生了渦旋。

二、梯度、散度和旋度的本質(zhì)和聯(lián)系

1、作用對象、運算對象和結(jié)果

梯度
作用對象：標(biāo)量場
運算對象：標(biāo)量
運算結(jié)果：向量（矢量）
散度
作用對象：向量場
運算對象：向量
運算結(jié)果：標(biāo)量
旋度
作用對象：向量場
運算對象：向量
運算結(jié)果：向量

1.梯度針對一個標(biāo)量場（勢場），衡量一個標(biāo)量場的變化方向。梯度為0說明該勢場是個等勢場。其結(jié)果為向量。

2.散度針對一個向量場，衡量一個向量場的單位體積內(nèi)的場強。散度為0說明這個場沒有源頭。其結(jié)果為標(biāo)量。

3.旋度針對一個向量場，衡量一個向量場的自旋。旋度為0說明這個場是個保守場（無旋場），保守場一定是某個標(biāo)量場的梯度場。其結(jié)果為矢量。

2、圖解任何標(biāo)量場的梯度的旋度為0

如下圖，電容器內(nèi)部的電場，其實也就是梯度。對每個垂直方向的平面來說，電勢位相等。所以，這就好比剛才水流的那個例子，上下來說受力相等，所以旋度為零。
在這里插入圖片描述

3、電磁場中散度與旋度的求解

在電磁場中任一點處
（1）（▽·E）電場強度的散度==該點處自由電荷的體密度與介電常數(shù)之比。

（2）（▽xE）電場強度的旋度== 該點處磁感應(yīng)強度變化率的負值。

（3）（▽·B）磁感應(yīng)強度的散度 == 處處等于零。

（4）（▽xB）磁感應(yīng)強度的旋度 == 該點處電流密度與磁導(dǎo)率的乘積。

（5）（▽·D）電位移的散度== 該點處自由電荷的體密度 .

（6）（▽xH）磁場強度的旋度 == 該點處傳導(dǎo)電流密度與位移電流密度的矢量和。
在這里插入圖片描述
注釋：
E 是電場強度矢量
B 是磁感應(yīng)強度矢量
D 是電位移矢量（也叫電感應(yīng)強度）應(yīng)該還有一個電傳導(dǎo)向量 E=D+?
H 是磁場強度矢量 H=B+?
其中內(nèi)在的聯(lián)系是：
D=εE
B=μH
大寫字母都是矢量