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函數的來源

如果給你一個函數 y = 5x, 這到底是什么意思呢？其實生活中你就可以總結出來，大米￥5塊一斤，我買一斤得付5塊錢，兩斤付10塊（2 * 5），以此類推。那么，

付的錢 = 5 * 米的斤數

當我們不確定我們要買多少斤的時候，我們用一個字母x去代替這個模糊的數，表達如下：

付的錢 = 5 * x 那么x是什么呢？他依然是數，準確的說是數的集合。 如果我們只關注等式右邊的5 * x， 那這是“代數”的思考范疇。

但是當我們把付的錢看成是y或者f(x)的時候，y = 5x就是函數了。這是函數發(fā)展的一個縮影。

函數到底是什么呢？

首先要弄得因變量和自變量，還是上面的例子，米的斤數x我們可以隨便買，但是當x變化的時候，所付的錢數y就得跟著變化。那么，x就自變量（自己變化的量），y就是因變量（因為外界的變化而變化的量）。

這樣去理解：男生追女生的時候說：“我會為了你而改變”。雖然大部分的男生只是隨口說說，根本不會去這么干。但是這句話里面，男生和女生的關系是什么呢？女生就是自變量，男生是因為女生才改變的，所以男生是因變量。

函數y = f(x)最最本質的定義時，任意一個自變量x都對應一個因變量y。“一一對應”有時候會給學習函數帶來很多的困惑。

任意一個自變量x都對應一個因變量y。記住這句話就夠了。

例子：y = x 是函數，為什么？因為x取任意一個數的時候，都能找到一個y對應。x = 1, y也等于1；

y = x ^ 2是函數，為什么？因為x取任意一個數的時候，都能找到一個y對應。 x = 1, y = 1; x = -1, y = 1。 我們只能說y是x的函數，但是反過來呢，y = 1是不是可以對應兩個x = 1或者-1。那么x就不是y的函數。

x^2 + y^2 = 1， 這個圖形畫出來是個圓。那么x，y之間有函數關系嗎。答案是沒有。為什么？以為當x取任意一個有效值的時候，y都有兩個值對應，比如x = 0, y = 1或者-1；反之亦然。那么我們就說x，y沒有函數關系。

怎么去理解呢？舉個不恰當的例子 - 古時候的“一夫多妻”，一個丈夫可以有多個妻子，但是妻子只能有一個丈夫。那么，妻子就是x，丈夫就是y。

函數曾經拯救了數學

曾今就有人爭論說，到底正整數（1，2，3，4, 5...）和正偶數（2,4,6,8,10...）那個數多呢？

你的答案是什么呢？直覺上來說正整數的個數要多于正偶數。因為正整數里還有奇數的存在。

但是有的人就會說，正偶數看做y，正整數看做x，那么他們的關系是：y = 2x；也就是說正整數中任意一個數字通過乘以2都可以在正偶數里找到。1 - 2， 2- 4， 3 -6；

那么，由于函數的對應關系，可以總結出不管正整數有多少個，正偶數都可以相應的匹配多少個。那就是說，正整數的個數和正偶數的個數相等。

是不是繞進去了。沒關系。函數就是個對應關系。任意一個自變量x都對應一個因變量y。上面這道題本身就是有問題的，怎么去數無窮的個數呢？都告訴你無窮了，有限定的個數還叫無窮嗎？

這就是“有窮思想”和“無窮思想”的區(qū)別？以后有機會講講微積分。

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