我們把近幾年全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)試題放在一起，進(jìn)行一個(gè)縱向和橫向的對(duì)比，你會(huì)發(fā)現(xiàn)基本上所有的中考數(shù)學(xué)試卷的最后一兩題，往往都是與二次函數(shù)有關(guān)的綜合題。

在初中數(shù)學(xué)內(nèi)容當(dāng)中，函數(shù)問(wèn)題一直是它的核心內(nèi)容，而跟二次函數(shù)有關(guān)的綜合運(yùn)用類(lèi)題型更是中考數(shù)學(xué)命題的必考熱點(diǎn)之一。

在中考數(shù)學(xué)中，與二次函數(shù)有關(guān)的題型覆蓋面很廣，如客觀題（選擇題和填空題）、解答題等；題型考查的對(duì)象有二次函數(shù)的知識(shí)概念、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、二次函數(shù)相關(guān)的函數(shù)綜合題、二次函數(shù)相關(guān)的函數(shù)幾何綜合問(wèn)題等等。

同時(shí)，二次函數(shù)相關(guān)的綜合問(wèn)題還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如函數(shù)與方程思想、分類(lèi)討論思想、動(dòng)點(diǎn)思想、數(shù)形結(jié)合思想、存在性思想等，這些思想方法對(duì)考生的綜合能力都提出了挑戰(zhàn)。

考查二次函數(shù)的知識(shí)概念，典型例題分析1：

若函數(shù)y=（a﹣1）x²﹣4x+2a的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的值為　 ?。?/span>

解：∵函數(shù)y=（a﹣1）x²﹣4x+2a的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，b²﹣4ac=16﹣4（a﹣1）×2a=0，

解得：a₁=﹣1，a₂=2，

當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，a﹣1=0，解得：a=1．

故答案為：﹣1或2或1．

考點(diǎn)分析：

直接利用拋物線與x軸相交，b²﹣4ac=0，進(jìn)而解方程得出答案．

解題反思：

此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，正確得出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵．

考查二次函數(shù)的知識(shí)概念，典型例題分析2：

已知拋物線y=ax²+bx+c開(kāi)口向上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1），雙曲線y=1/2x經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a，bc），給出下列結(jié)論：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是關(guān)于x的一元二次方程x²+（a﹣1）x+1/2a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；④a﹣b﹣c≥3．其中正確結(jié)論是　 ?。ㄌ顚?xiě)序號(hào)）

題干分析：

根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c開(kāi)口向上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1），雙曲線y=1/2x經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a，bc），可以得到a＞0，a、b、c的關(guān)系，然后對(duì)a、b、c進(jìn)行討論，從而可以判斷①②③④是否正確，本題得以解決．

解題反思：

本題考查二次函數(shù)與圖象的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題．

考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，典型例題分析3：

已知A(1，0)， B(0，－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2)五個(gè)點(diǎn)，拋物線y＝a (x－1)²＋k（a＞0），經(jīng)過(guò)其中三個(gè)點(diǎn).

（1）求證：C，E兩點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線y＝a (x－1)²＋k（a＞0）上；

（2）點(diǎn)A在拋物線y＝a (x－1)²＋k（a＞0）上嗎？為什么？

（3）求a和k的 值.

考點(diǎn)分析：

二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；計(jì)算題。

題干分析：

（1）由拋物線y=a（x﹣1）2+k可知，拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=1，而C（﹣1，2），E（4，2）兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，應(yīng)該關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，但C（﹣1，2）與對(duì)稱(chēng)軸相距2，E（4，2）與對(duì)稱(chēng)軸相距3，故不可能；

（2）因?yàn)閍＞0，拋物線開(kāi)口向上，C、E兩點(diǎn)不能同時(shí)在拋物線上，排除A點(diǎn)在拋物線上；

（3）B、D兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=1對(duì)稱(chēng)，一定在拋物線上，另外一點(diǎn)可能是C點(diǎn)或E點(diǎn)，分別將C、D或D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求a和k的值．

解題反思：

本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)．關(guān)鍵是明確圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)必須滿足函數(shù)解析式。

考查二次函數(shù)相關(guān)的應(yīng)用題，典型例題分析4：

高鐵的開(kāi)通，能幫助當(dāng)?shù)匕l(fā)展經(jīng)濟(jì)，某工廠擬用一節(jié)容積是90立方米、最大載重量為50噸的火車(chē)皮運(yùn)輸購(gòu)進(jìn)的A、B兩種材料共50箱．已知A種材料一箱的體積是1.8立方米、重量是0.4噸；B種材料一箱的體積是1立方米、重量是1.2噸；不計(jì)箱子之間的空隙，設(shè)A種材料進(jìn)了x箱．

（1）求廠家共有多少種進(jìn)貨方案（不要求列舉方案）？

（2）若工廠用這兩種材料生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品的總利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與x（箱）的函數(shù)關(guān)系大致如下表，請(qǐng)先根據(jù)下表畫(huà)出簡(jiǎn)圖，猜想函數(shù)類(lèi)型，求出函數(shù)解析式（求函數(shù)解析式不取近似值），確定采用哪種進(jìn)貨方案能讓廠家獲得最大利潤(rùn)，并求出最大利潤(rùn)．

考點(diǎn)分析：

二次函數(shù)的應(yīng)用；一元一次不等式組的應(yīng)用；優(yōu)選方案問(wèn)題。

題干分析：

（1）設(shè)A種材料進(jìn)了x箱，則B種材料進(jìn)了50﹣x箱，此題中的等量關(guān)系有：①載重量為50箱；②容積為90立方米米，得到二元一次方程組；

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)判斷該函數(shù)為二次函數(shù)，再將三點(diǎn)坐標(biāo)代入其中即可求得二次函數(shù)的解析式，從而求得最大利潤(rùn)．

解題反思：

本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到所求的量的等量關(guān)系．本題利用了總利潤(rùn)=A單位利潤(rùn)×A件數(shù)+B單位利潤(rùn)×B件數(shù)，甲原料=A產(chǎn)品單位甲用量×A件數(shù)件數(shù)+B產(chǎn)品單位甲用量×B件數(shù)，關(guān)鍵是正確理解題意，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．

考查二次函數(shù)相關(guān)的函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題，典型例題分析5：

如圖，拋物線y=x²/2+x﹣3/2與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為P．

（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）在拋物線是否存在點(diǎn)E，使△ABP的面積等于△ABE的面積，若存在，求出符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使得以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)．

考點(diǎn)分析：

二次函數(shù)綜合題；綜合題。

題干分析：

（1）令y=0，則x²/2+x﹣3/2=0，解方程即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）先利用對(duì)稱(chēng)性得到頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)△ABP的面積等于△ABE的面積得到點(diǎn)E坐標(biāo)為（a，2），在把E（a，2）代入拋物線的解析式得到關(guān)于a的方程，解方程即可確定E點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）分類(lèi)討論：分別以AB、PA、PB為平行四邊形的對(duì)角線，根據(jù)平行四邊的性質(zhì)易確定點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解題反思：

本題考查了解二次函數(shù)的綜合題的方法：先通過(guò)二次函數(shù)的解析式確定各特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，得到有關(guān)線段的長(zhǎng)，然后利用幾何性質(zhì)（如三角形面積公式，平行四邊形的性質(zhì)）去確定其他點(diǎn)的坐標(biāo)．

考查二次函數(shù)相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)綜合問(wèn)題，典型例題分析6：

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD＝ 90°，BC與y軸相交于點(diǎn)M，且M是BC的中點(diǎn)，A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（－1，0），B( －1，2)，D( 3，0)，連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON，若拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、M、N．

（1）求拋物線的解析式．

（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P．使得PA＝PC．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在．請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）設(shè)拋物線與x軸的另—個(gè)交點(diǎn)為E．點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)有最大？并求出最大值．

考點(diǎn)分析：

拋物線、存在、動(dòng)態(tài)、壓軸、壓軸題、綜合題

題干分析：

（1）由題意可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），根據(jù)平移可知線段DM是向左平移3個(gè)單位得到線段NO的，由此可知N（－3，2），把D、M、N三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c即可得到拋物線的解析式．

（2）由題意可知點(diǎn)P應(yīng)該是線段AC的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)，為此需要確定AC的垂直平分線所在的直線的函數(shù)解析式，然后通過(guò)解方程組確定交點(diǎn)坐標(biāo)，若能求得，則說(shuō)明存在，否則說(shuō)明不存在．

（3）由題意可知點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，所以QE＝QD，所以|QE－QC|=|QD－QC|，延長(zhǎng)DC交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸相交，當(dāng)點(diǎn)Q在交點(diǎn)上時(shí)，QD－QC＝CD，此時(shí)|QE－QC|的值最大，恰好為線段CD的長(zhǎng)．

解題反思：

（1）待定系數(shù)法是確定函數(shù)解析式的常用方法，運(yùn)用時(shí)要確定好圖象上關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，本題中點(diǎn)N的坐標(biāo)可以根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的平移規(guī)律來(lái)得到．

（2）求函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，通常是通過(guò)解由兩個(gè)函數(shù)的解析式聯(lián)立所得的方程組來(lái)求解．

本題綜合性強(qiáng)，解答時(shí)需具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)基本功，若知識(shí)掌握欠缺，則不容易得分。

二次函數(shù)一直是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，很多壓軸題都是以二次函數(shù)為背景，突出了利用函數(shù)思想進(jìn)行科學(xué)探究的“過(guò)程”考查，變化形成的綜合問(wèn)題。此類(lèi)題型，技巧性和綜合性較強(qiáng)，涉及的知識(shí)面廣，有較強(qiáng)的區(qū)分度，解答此類(lèi)題目對(duì)學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力要求比較高。