一、基本概念

在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，分治法是一種很重要的算法。字面上的解釋是“分而治之”，就是把一個(gè)復(fù)雜的問題分成兩個(gè)或更多的相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題……直到最后子問題可以簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合并。這個(gè)技巧是很多高效算法的基礎(chǔ)，如排序算法(快速排序，歸并排序)，傅立葉變換(快速傅立葉變換)……

任何一個(gè)可以用計(jì)算機(jī)求解的問題所需的計(jì)算時(shí)間都與其規(guī)模有關(guān)。問題的規(guī)模越小，越容易直接求解，解題所需的計(jì)算時(shí)間也越少。例如，對于n個(gè)元素的排序問題，當(dāng)n=1時(shí)，不需任何計(jì)算。n=2時(shí)，只要作一次比較即可排好序。n=3時(shí)只要作3次比較即可，…。而當(dāng)n較大時(shí)，問題就不那么容易處理了。要想直接解決一個(gè)規(guī)模較大的問題，有時(shí)是相當(dāng)困難的。 具體可以：

分解（Divide）：將原問題分解成一系列子問題；
解決（conquer）：遞歸地解各個(gè)子問題。若子問題足夠小，則直接求解；
合并（Combine）：將子問題的結(jié)果合并成原問題的解。
合并排序（merge sort）是一個(gè)典型分治法的例子。其對應(yīng)的直觀的操作如下：


分解：將n個(gè)元素分成各含n/2個(gè)元素的子序列；
解決：用合并排序法對兩個(gè)子序列遞歸地排序；
合并：合并兩個(gè)已排序的子序列以得到排序結(jié)果。

二、基本思想及策略

分治法的設(shè)計(jì)思想是：將一個(gè)難以直接解決的大問題，分割成一些規(guī)模較小的相同問題，以便各個(gè)擊破，分而治之。

分治策略是：對于一個(gè)規(guī)模為n的問題，若該問題可以容易地解決（比如說規(guī)模n較?。﹦t直接解決，否則將其分解為k個(gè)規(guī)模較小的子問題，這些子問題互相獨(dú)立且與原問題形式相同，遞歸地解這些子問題，然后將各子問題的解合并得到原問題的解。這種算法設(shè)計(jì)策略叫做分治法。

如果原問題可分割成k個(gè)子問題，1<k≤n，且這些子問題都可解并可利用這些子問題的解求出原問題的解，那么這種分治法就是可行的。由分治法產(chǎn)生的子問題往往是原問題的較小模式，這就為使用遞歸技術(shù)提供了方便。在這種情況下，反復(fù)應(yīng)用分治手段，可以使子問題與原問題類型一致而其規(guī)模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這自然導(dǎo)致遞歸過程的產(chǎn)生。分治與遞歸像一對孿生兄弟，經(jīng)常同時(shí)應(yīng)用在算法設(shè)計(jì)之中，并由此產(chǎn)生許多高效算法。

三、分治法適用的情況

分治法所能解決的問題一般具有以下幾個(gè)特征：

1) 該問題的規(guī)?？s小到一定的程度就可以容易地解決

2) 該問題可以分解為若干個(gè)規(guī)模較小的相同問題，即該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

3) 利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解；

4) 該問題所分解出的各個(gè)子問題是相互獨(dú)立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。

第一條特征是絕大多數(shù)問題都可以滿足的，因?yàn)閱栴}的計(jì)算復(fù)雜性一般是隨著問題規(guī)模的增加而增加；

第二條特征是應(yīng)用分治法的前提它也是大多數(shù)問題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用；、

第三條特征是關(guān)鍵，能否利用分治法完全取決于問題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮用貪心法或動態(tài)規(guī)劃法。

第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨(dú)立的則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題，此時(shí)雖然可用分治法，但一般用動態(tài)規(guī)劃法較好。

四、分治法的基本步驟

分治法在每一層遞歸上都有三個(gè)步驟：

step1 分解：將原問題分解為若干個(gè)規(guī)模較小，相互獨(dú)立，與原問題形式相同的子問題；

step2 解決：若子問題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個(gè)子問題

step3 合并：將各個(gè)子問題的解合并為原問題的解。

它的一般的算法設(shè)計(jì)模式如下：

Divide-and-Conquer(P)

1. if |P|≤n0

2. then return(ADHOC(P))

3. 將P分解為較小的子問題 P1 ,P2 ,...,Pk

4. for i←1 to k

5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 遞歸解決Pi

6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子問題

7. return(T)

其中|P|表示問題P的規(guī)模；n0為一閾值，表示當(dāng)問題P的規(guī)模不超過n0時(shí)，問題已容易直接解出，不必再繼續(xù)分解。ADHOC(P)是該分治法中的基本子算法，用于直接解小規(guī)模的問題P。因此，當(dāng)P的規(guī)模不超過n0時(shí)直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是該分治法中的合并子算法，用于將P的子問題P1 ,P2 ,...,Pk的相應(yīng)的解y1,y2,...,yk合并為P的解。

實(shí)例：

 [找出偽幣] 給你一個(gè)裝有1 6個(gè)硬幣的袋子。1 6個(gè)硬幣中有一個(gè)是偽造的，并且那個(gè)偽造的硬幣比真的硬幣要輕一些。你的任務(wù)是找出這個(gè)偽造的硬幣。

為了幫助你完成這一任務(wù)，將提供一臺可用來比較兩組硬幣重量的儀器，利用這臺儀器，可以知道兩組硬幣的重量是否相同。比較硬幣1與硬幣2的重量。假如硬幣1比硬幣2輕，則硬幣1是偽造的；假如硬幣2比硬幣1輕，則硬幣2是偽造的。這樣就完成了任務(wù)。假如兩硬幣重量相等，則比較硬幣3和硬幣4。同樣，假如有一個(gè)硬幣輕一些，則尋找偽幣的任務(wù)完成。假如兩硬幣重量相等，則繼續(xù)比較硬幣5和硬幣6。按照這種方式，可以最多通過8次比較來判斷偽幣的存在并找出這一偽幣。 

另外一種方法就是利用分而治之方法。假如把1 6硬幣的例子看成一個(gè)大的問題。第一步，把這一問題分成兩個(gè)小問題。隨機(jī)選擇8個(gè)硬幣作為第一組稱為A組，剩下的8個(gè)硬幣作為第二組稱為B組。這樣，就把1 6個(gè)硬幣的問題分成兩個(gè)8硬幣的問題來解決。第二步，判斷A和B組中是否有偽幣?？梢岳脙x器來比較A組硬幣和B組硬幣的重量。假如兩組硬幣重量相等，則可以判斷偽幣不存在。假如兩組硬幣重量不相等，則存在偽幣，并且可以判斷它位于較輕的那一組硬幣中。最后，在第三步中，用第二步的結(jié)果得出原先1 6個(gè)硬幣問題的答案。若僅僅判斷硬幣是否存在，則第三步非常簡單。無論A組還是B組中有偽幣，都可以推斷這1 6個(gè)硬幣中存在偽幣。因此，僅僅通過一次重量的比較，就可以判斷偽幣是否存在。 

現(xiàn)在假設(shè)需要識別出這一偽幣。把兩個(gè)或三個(gè)硬幣的情況作為不可再分的小問題。注意如果只有一個(gè)硬幣，那么不能判斷出它是否就是偽幣。在一個(gè)小問題中，通過將一個(gè)硬幣分別與其他兩個(gè)硬幣比較，最多比較兩次就可以找到偽幣。這樣，1 6硬幣的問題就被分為兩個(gè)8硬幣（A組和B組）的問題。通過比較這兩組硬幣的重量，可以判斷偽幣是否存在。如果沒有偽幣，則算法終止。否則，繼續(xù)劃分這兩組硬幣來尋找偽幣。假設(shè)B是輕的那一組，因此再把它分成兩組，每組有4個(gè)硬幣。稱其中一組為B1，另一組為B2。比較這兩組，肯定有一組輕一些。如果B1輕，則偽幣在B1中，再將B1又分成兩組，每組有兩個(gè)硬幣，稱其中一組為B1a，另一組為B1b。比較這兩組，可以得到一個(gè)較輕的組。由于這個(gè)組只有兩個(gè)硬幣，因此不必再細(xì)分。比較組中兩個(gè)硬幣的重量，可以立即知道哪一個(gè)硬幣輕一些。較輕的硬幣就是所要找的偽幣。

五、分治法的復(fù)雜性分析

一個(gè)分治法將規(guī)模為n的問題分成k個(gè)規(guī)模為n／m的子問題去解。設(shè)分解閥值n0=1，且adhoc解規(guī)模為1的問題耗費(fèi)1個(gè)單位時(shí)間。再設(shè)將原問題分解為k個(gè)子問題以及用merge將k個(gè)子問題的解合并為原問題的解需用f(n)個(gè)單位時(shí)間。用T(n)表示該分治法解規(guī)模為|P|=n的問題所需的計(jì)算時(shí)間，則有：

T（n）= k T(n/m)+f(n)

通過迭代法求得方程的解：

遞歸方程及其解只給出n等于m的方冪時(shí)T(n)的值，但是如果認(rèn)為T(n)足夠平滑，那么由n等于m的方冪時(shí)T(n)的值可以估計(jì)T(n)的增長速度。通常假定T(n)是單調(diào)上升的，從而當(dāng) mi≤n<mi+1時(shí)，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。

六、可使用分治法求解的一些經(jīng)典問題

（1）二分搜索

（2）大整數(shù)乘法

（3）Strassen矩陣乘法

（4）棋盤覆蓋

（5）合并排序

（6）快速排序

（7）線性時(shí)間選擇

（8）最接近點(diǎn)對問題

（9）循環(huán)賽日程表

（10）漢諾塔

七、依據(jù)分治法設(shè)計(jì)程序時(shí)的思維過程

實(shí)際上就是類似于數(shù)學(xué)歸納法，找到解決本問題的求解方程公式，然后根據(jù)方程公式設(shè)計(jì)遞歸程序。

1、一定是先找到最小問題規(guī)模時(shí)的求解方法

2、然后考慮隨著問題規(guī)模增大時(shí)的求解方法

3、找到求解的遞歸函數(shù)式后（各種規(guī)?；蛞蜃樱?，設(shè)計(jì)遞歸程序即可。

應(yīng)用之歸并排序：

package sort;
public class mergerSort2 {
static void merge(int arr[], int L, int M, int R) {//合并算法
    int LEFT_SIZE = M - L;//left array size
    int RIGHT_SIZE = R - M + 1;
//    int left[LEFT_SIZE];
//    int right[RIGHT_SIZE];
    int left[] = new int[LEFT_SIZE];
    int right[] = new int[RIGHT_SIZE];
    int i, j, k;
    // 1. Fill in the left sub array
    for (i=L; i<M; i++) {
        left[i-L] = arr[i];//sub array begin from 0
    }
    // 2. Fill in the right sub array
    for (i=M; i<=R; i++) {
        right[i-M] = arr[i];//sub array begin from 0
    }
    // 3. Merge into the original array
    i = 0;  j = 0;  k = L;//k point to the left array
    while (i < LEFT_SIZE && j < RIGHT_SIZE) {//沒有到達(dá)子矩陣的頂端，這時(shí)比較左右矩陣如果左面小arr[k]位置放入左面值，即達(dá)到取曉得放入新的矩陣，i，j,k指針各自加上1
        if (left[i] < right[j]) {
            arr[k] = left[i];
            i++;
            k++;
        }
        else {
            arr[k] = right[j];
            j++;
            k++;
        }
    }
    while (i < LEFT_SIZE) {//一邊到達(dá)了頂端，那么如果另一方還沒到直接放入新矩陣
        arr[k] = left[i];
        i++;
        k++;
    }
    while (j < RIGHT_SIZE) {
        arr[k] = right[j];
        j++;
        k++;
    }
}
static void mergeSort(int arr[], int L, int R) {//分治+歸并！?。?！
    if (L == R) {//分支的結(jié)束為只有一個(gè)
        return;
    }
    else {
        int M = (L + R) / 2;
        mergeSort(arr, L, M);
        mergeSort(arr, M+1, R);
        merge(arr, L, M+1, R);
    }
}
public static void main(String[] args) 	
{
    int arr[] = {6, 8, 10, 9, 4, 5, 2, 7,3};
    int L = 0;
    int R = arr.length;
    mergeSort(arr, L, R);
    int i;
    for (i=0; i<=R; i++) {
        System.out.println(arr[i]);
    }
 }
}