賈明子：題外話、自然數的正確打開方式?zhuanlan.zhihu.com

這里就不再細說了。

康托爾的一個顯著不同的貢獻在于，他在史上第一次，開始認真地討論實無窮的概念。例如說，他直接使用“全體自然數”、“全體實數”類似的概念，而這在絕大多數前人數學家看來是不被允許的：實無窮不可能被當作一種已經完成的數來看（參見上一章）。在康托爾看來，無窮不但是一個真實的數，而且還存在著不同的“大小”：有些無窮比另一些無窮更大。而對于無窮集合而言，集合的一部分不見得比整體的數目少。這是非常違反常識的，比如說，全體自然數的自然數的數目多，還是全體正偶數的數目多？我們一般認為，自然數有一半是奇數，另一半是偶數，那么毫無疑問自然數的數目當然要比偶數的數目多。但是，根據康托爾的定義，如果兩個集合的元素之間可以形成一一對應關系，那么它們的數目是一樣多的。很明顯自然數和偶數之間就存在著這樣的一一對應關系：每個自然數乘以2就對應著一個偶數，而每個偶數除以2就對應著一個自然數。既然自然數和偶數之間一一對應，那么我們就應該認為自然數和偶數一樣多。

類似地，我們還可以認為，“所有的自然數”和“所有大于100的自然數”的數目也是一樣多的，而絕非后者比前者多100個。這就產生了一個非常有意思的悖論，叫做“希爾伯特旅館悖論”。一個無窮多房間的旅館，里面住滿了客人。這是來了一個新的客人，他還有房間可住嗎？答案是有的！因為旅館的管理員只需要讓每個房間的客人向著“上一個房間號碼”搬一下家，自然就把1號客房騰出來給新客人住了！此外更加違反直覺的是另一個悖論，“巴那赫-塔斯基悖論”。這個悖論中，一個圓球可以用某種特殊的分割方式分成四份，然后我們再把它重新組合“拼”回去，然而拼回去的，卻變成了兩個與原來一模一樣的圓球！實無窮就是這么奇妙。

除此之外，康托爾還指出，所有自然數的個數和所有有理數的個數也是一樣多的。因為可以證明存在著某種排列方式，可以把所有的有理數從頭到尾排成一條無限長的隊伍，然后我們可以從頭到尾地把這些有理數來編號或者數一數。（證明過程并不難，但是這里就不多說了。）像這種可以把所有的元素按照某種排列方式從頭到尾“排成長隊”然后數一數的集合，被稱作“可數集”。顧名思義，可數集必然可以與自然數集形成一一對應的關系，因而所有的可數集的數目都與自然數集是一樣多的。這個數目不是我們所知的任何有限數，而是一個真正的無窮大，康托爾把它稱作所謂的“阿列夫零”。

任意一個集合，我們難道不是都可以把它的所有元素進行排隊嗎？事實上不是的，有的集合就沒有任何辦法對其排隊。例如實數集。比如說我們把0當做“排頭”，那么第二個是誰呢？如果我們按大小排列，那么不論我們怎么選，總是存在著一個更接近0的實數 – 我們沒有辦法找到“第二個”元素！事實上康托爾證明，不可能存在任何方式對實數集進行這種排隊。這就叫做“不可數集”，也就是說，自然數與實數就無法形成一一對應的關系，自然數集總是只能對應實數集的一部分。也就是說，實數的數目要比自然數多。這是一個比無窮大的阿列夫零 還要大的無窮大 。- 當然，康托爾證明還存在著更多的更大的無窮大。

關于康托爾的無窮大，引起了軒然大波，有人盛贊其為杰出的發(fā)現，而有人斥之為毫無意義的文字游戲。但是細節(jié)我這里不多說了，有興趣的話推薦你去看看Courant寫的《數學是什么》。

與皮亞諾和康托爾同時代的弗雷格，完成了這場關于數學嚴密化行動的最后一擊，也是引起數學和哲學大地震的一擊。鑒于弗雷格理論中抽象復雜的邏輯運算和各種專業(yè)的數學術語，我這里不打算歷數他的具體理論，而是從哲學層面上介紹他的思想以及他的思想所產生的后果。

應該說，弗雷格是一個傳統(tǒng)的柏拉圖主義者。而如前所述，在當時出現了若干與柏拉圖主義分庭抗禮的數學思想，例如：

1、 一些物理主義者斷言，數學本身是具體事物的體現，例如我們不能談論抽象的數字 “3”，這個數字只能依附于具體的事物出現，是3個什么東西？3個蘋果？還是3只狗？如此等等。也就是說，數學是“歸納”的，它是我們對具體事物的總結、整理、以及推廣。因而，嚴格講，所有的數學理論都是“錯誤的”，因為它們都某種理想化的產物，它們只能是對物理世界的近似，因而這些理想化的數學概念在現實中似乎不存在的。

2、 如康德主義所斷言，數學是先驗綜合判斷。首先，數學是先驗的，它不依賴于任何經驗和觀察；而同時，它又是綜合的，它斷言了不同事物之間的聯系，而不是事物本身蘊含的、邏輯自明的性質。這與分析判斷不同，因為分析判斷是在對事物本身所蘊含的性質進行闡釋（例如“紅蘋果是紅的”。）因此數學不依賴于人們的經驗和觀察，但是也不能從純粹理性中加以徹底證明，它只能來自人們的先天的數學直覺。

3、 而一些比較極端的經驗主義者和唯心主義者（如洛克）則認為，數學只是人們心智的產物：它是心理學概念，而不具備客觀性。相應地，整個數學體系就是人們心靈的產物，是人為創(chuàng)造的，是一個發(fā)明，而不是一個發(fā)現。

弗雷格對上述的思想是懷有鄙視的。他反對數學的物理主義觀點，因為數字并非具體事物的性質，而是概念的性質。如果我們堅持認為數字只能表達具體事物，那么零是何意義？負數又是何意義？我們說數字3，完全不必指定3個具體何物，它完全可以是3個抽象的集合元素。而且我們完全可以討論3本身的、不依賴任何外物的性質，例如它的奇偶性、素數性等等。同時他也反對數學的心理學主張：如果數學只是心理學概念，那么數學命題的真假就毫無客觀性，而是因人而異的，這無疑完全破壞了數學的根基。

而他對康德主義的批判，則是他影響最大的工作。在這方面，他開辟了現代數學的第一個主要流派，邏輯主義。

在弗雷格看來，先驗綜合判斷是一個很奇怪的東西。從這里出發(fā)，而把數學最終歸結為先驗直覺，更加難以立住腳。直覺是一個說不清道不明的東西，把整個數學建立在這種迷迷糊糊的基礎上未免太不可靠。而且我們經歷過太多的貌似違反直覺而實際上是正確的判斷，因而我們根本就不能真正地把直覺當做一種嚴肅的東西來對待。他于是回到了前康德時代的觀念：所有先驗的，必定是分析的；而所有綜合的，必定不是先驗的。因此他完全同意數學是一種先驗知識，但是他反對數學是綜合知識這種說法。他說，數學它是一種被巧妙包裝的分析判斷，從表面上看貌似綜合判斷，如此而已。例如，我們打一個不嚴謹的比方，說如下命題：

“旺財是一只狗。”

這個命題，看似是綜合的，因為它描述了“旺財”和“狗”兩個不相互蘊含的事物之間的關系。但是，弗雷格說，這種說法是不對的。問題出在“旺財”這個主語上。在數學中我們所說的每一個概念都是由明確定義的，這個定義就包含了它的全部邏輯蘊含。在這里我們說“旺財”，并非指一個獨立的事物，而旺財本身是一個定義，是對這樣一只40斤的、饞嘴的、喜歡搖著尾巴隨時向我們賣萌撒嬌的、黑白色的、汪汪叫的動物的命名 – 這種動物叫做狗。那么上述命題說的其實是：

“這只被命名為旺財的狗是狗。”

這當然是一個分析命題。因為作為定義的“旺財”本身就蘊含了“是一只狗”的性質。類似地，康德說，2+3從這兩個數字本身并不蘊含任何關于5的性質，因而2+3=5是一個綜合判斷。但是實際上，從2、3、以及“+”的定義中，我們應該可以找到一種必然的蘊含關系：2+3本身就蘊含了所有的5的性質，因而它應該是一個分析判斷。我們所要做的，就是要對2、3、“+”做出合理的定義來使得這種判斷是分析的 – 因而也就是必然的和先驗的。而這種定義，也必然僅僅用到邏輯定律，而不包含其余，它是純邏輯的，因而必然是分析的。只有純邏輯的基礎，才是我們所能做到的最牢固的基礎。推而廣之，整個數學就是一種精巧包裝的復雜的邏輯關系，而不應包含任何額外的非邏輯的“原生”數學成分。

事實上，任何一個定義，必須是基于其它已經定義好的概念之上的，而不能用自身定義自身。那么我們如果究根問底，就會陷入無限遞歸而無從自拔。所以，我們總會有一個起點，在這個起點上，一切概念都非定義的，我們只能通過一些判斷來敘述和限制這些未嚴格定義的概念，使其成為其他一切概念的基礎。這種敘述和限制就是公理。邏輯主義很自然地認為，公理，其實就是一種偽裝成判斷的原生定義。它是理論起點，但是并非我們以前認為的、是理論本身的起點，而是理論的邏輯起點。在弗雷格這里，這個起點就是集合論。

總而言之，物理主義把數學歸結為對具體事物的歸納，康德主義把數學歸結為直覺，經驗主義把數學歸結為心理。而邏輯主義站起來說，No no，你們全錯了！數學應該歸結為純邏輯！數學就是邏輯學的一個分支。為了達成這一目標，弗雷格必須要證明數學是純分析的，也就是說，他需要建立一套邏輯體系，僅在這套邏輯體系中，通過基本的邏輯原理，即可定義和演繹出全部的數學。

弗雷格對數字的看法，用最簡的語言說來就是：數字是一種特殊的集合，是集合的集合。而集合則是純邏輯的產物。如何理解集合是純邏輯產物呢？從邏輯上講，任何一個概念都有著它的外延。也就是說，對任何一個概念而言，滿足這個概念屬性的所有事物就是它的外延。弗雷格說，這些所有事物就構成一個集合。弗雷格接著引入了一個原理，被稱作“第五定律（Basic Law V）”，這個原理是這么說的（大致意思）：兩個概念F和G，F和G的外延相等的充要條件是滿足它們的每一個對象都相等。再通俗一點說，就是性質F定義的集合和性質G定義的集合，這兩個集合相等的充要條件是F集合的每一個元素都與G集合的每一個元素相等（這是一個看似一目了然的、幾乎像是個廢話的原理?？烧l能想到就是它出了大問題。）。接下來，他用這個原理證明了所謂的“休謨原理”：兩個概念的外延之間如果有一一對應的關系，那么這兩個概念就是“等基數”的。因而，所有等基數的概念，由它們的外延構成的集合之間就是一一對應的。弗雷格接著說，所有的這些等數的概念的外延（所有這些所含元素一一對應的集合）的集合（這些集合的集合），就是我們對自然數的定義。

前面這段話有點繞，我們可以用人類的語言重新表達一下。比如說，對于“粲粲一家”這個概念，它的外延就是“爸爸、媽媽、粲粲”，它們構成一個集合{爸爸、媽媽、粲粲}，這個集合就確定了“粲粲一家”的基數。而對于“粲粲家的寵物”這個概念，它的外延就是“旺財、來福、小烏龜”，它們同樣也構成一個集合{旺財、來福、小烏龜}，這個集合也就確定了“粲粲家的寵物”的基數。我們可以看到，前面這兩個集合元素之間是一一對應的：如果我們各自選擇喂一只寵物，如爸爸喂旺財，媽媽喂來福，粲粲喂小烏龜，結果就是每個人都喂一只寵物，而每個寵物都有一個人來喂。這兩個集合一一對應，所以“粲粲一家”和“粲粲家的寵物”兩個概念是等基數的。等基數的概念可以有無窮多個，我們可以輕易列舉，例如， “TFBOYS”和前面的概念也是等基數的。這里所說的基數是屬于某一個特定的概念的，它不可能是數字本身，因為數字本身是一個獨立的、不從屬于任何一個單一概念的東西，那么如何從這些概念的基數推出獨立的數字的定義呢？很簡單，所有與“粲粲一家”等基數的概念（“粲粲家的寵物”、“TFBoys”、“哈利羅恩赫敏三人組”、……），它們各自的外延所構成的集合的元素之間都是一一對應的，它們每一個集合都有一個性質“三性（threeness）”，而所有這些有“三性”的集合的集合，就是數字3的定義。同理，所有“五個元素”構成的集合的元素之間也是一一對應的，它們都有“五性（fiveness）”，這些集合的集合就是數字5的定義。如此等等。

根據這種思想，弗雷格給出了自然數的具體定義[1]。首先，0屬于那些沒有任何外延的概念。具體講，就是所有“自身與自身不等價”的集合的集合 – 當然這個“自身與自身不等價”的集合是不存在的，因而0就是空集。

而剩下的自然數就可以以皮亞諾的方式向下遞歸定義出來。這個遞歸的“后繼數”是這樣定義的：

對一個基數為n的概念F，我們已知F所定義的集合中的一個元素x。如果G是這樣的一個概念：“F定義的集合所包含的、但是不包括x”，G的基數是m，那么n是m的后繼數。

我們可以看出，上面這段話，其實是在用一種很繁瑣的、但是邏輯上很嚴格的方式在定義n=m+1。N就是m的后繼數。這樣從零開始，每個數都有這樣的后繼數定義，因而整個自然數就被定義了。進而可以通過戴德金的手法定義整個實數域。

弗雷格的整個推論過程，可以說是很嚴密很牢靠了。至少看起來如此。1893年，他完成了著作《算術的基本定律》，把這種對數學基礎的重新構建系統(tǒng)化地發(fā)表了。對這本書他顯然很得意，他說：

“我希望現在我可以宣布，本書使得這樣的努力成為可能：把算術的基本原理歸結為分析判斷、進而證明它們是先驗的。這樣一來算術只不過是邏輯的一種延伸。數學的每一個判斷都是一種邏輯定律，或是其推演物。在科學中應用數學就是在觀察到的事實中應用邏輯關系；計算就是推理?！?/i>

1902年，在他的著作第二卷即將發(fā)表之時，53歲的弗雷格收到了一個30歲年輕人的來信。這個年輕人，就是羅素；在這封信中，羅素表達了它對弗雷格猶如滔滔江水連綿不絕般的崇敬，然而，在信中的末尾，看似不起眼的一個小小的“但是”，卻摧毀了弗雷格的一切。弗雷格突然發(fā)現，他建立的牢固邏輯基礎本身，坐落在一個松軟的沙灘上搖搖欲墜。這里主要有兩個原因，一個是他大量使用“概念的外延”來定義集合，也就是說用一個性質來定義一個集合（非限制概括公理）；另一個，是他大量地使用“集合的集合”、“集合的集合的集合”這類嵌套集合。而羅素指出，這是不能隨意使用的。這會必然導致邏輯矛盾，而這個矛盾是后來大名鼎鼎的“羅素悖論”。

羅素悖論是如何引發(fā)矛盾的呢？如果你可以回憶起我們第一部分的內容，在第13章中有詳細說明，這里我就不再贅述了。

賈明子：13、只緣身在此山中?zhuanlan.zhihu.com

羅素悖論在數學史上是一個極其鮮明的轉折點，應該說它的提出其重要性絲毫不亞于無理數、虛數、以及非歐幾何的發(fā)現。它所產生的影響，是當人們終于看到了數學基礎問題的曙光時，又一次讓確定的數學真理之夢變得虛無縹緲。事實上，在同時代還有若干個其它版本的悖論，它們都與羅素悖論相類似，而羅素悖論一起簡潔和確定性成為這些悖論的代表。弗雷格看到羅素的信件之后，立即認識到自己理論的缺陷，然而當時他的第二卷著作已經付印，不可能再進行修改，他只得在書中加了這樣一段補遺：

“在工作完美收官之際，卻突然發(fā)現整個基礎都必須要放棄，對一個科學家來說沒有什么能比這個更加不幸的了。是羅素的一封信件讓我認識到這一點，我不得不在本書即將出版之際加以說明?！?/i>

我們可以想見，弗雷格當時的心情是何等沮喪。弗雷格在余生再也沒能夠從這個打擊中恢復過來。

弗雷格消沉了，但是始作俑者羅素卻接過了接力棒，繼續(xù)他的探索。羅素雖然發(fā)現了弗雷格的缺陷，但是他卻堅信弗雷格的思想是一條康莊大道：數學，歸根結底就是邏輯。悖論不可怕，只要能想辦法解決之，悖論會推動而不是打擊數學的發(fā)展，人們終將意識到數學的本質。

其實羅素早在弗雷格還沒有完成他的工作之時就已經深受悖論的困擾。為了解決這些悖論，他仔仔細細地研究了當時的幾個著名的代表，最后他認定，這些悖論有一個基本的根源：它們都是自指的。也就是說，它們自己引用了自己。弗雷格的集合論中允許用一個性質來定義一個集合，因而它是躲不過這種自指怪圈的，比如說，“有無窮多個元素的集合”這個性質本身也包含了無窮多個元素，因而它自己必然要包含它自己。我們形象地把集合當做一個可以“裝”某種性質的事物的口袋，那么我們可以說“可以裝下所有蘋果的口袋”，但是“可以裝下所有口袋的口袋”，就需要它自己裝下它自己了！羅素把這種“自指”成為“惡性循環(huán)”（vicious circle）。要想消除悖論，就必須躲過惡性循環(huán)。他的方案就是“分層”。

這個方案極其復雜，我也不能深刻理解，它的大意是，集合是“分層”的：基本的具體對象是最底層，這些對象的集合和對象的性質是第二層，這些對象的集合的集合、性質的性質是第三層，以此類推。這樣一來，諸如“所有集合的集合”之類就不再包含它自己了：因為它是比“所有集合”更上一層的概念。這樣一來我們就可以繼續(xù)使用集合論中那些有效的部分，又避免了悖論的產生。但是代價就是理論極盡繁復之能事：我們沒涉及一個集合就必須要搞清楚它是“哪一層”的，進而要一層層向下窮究，原本一兩行就可以說明的事情，需要幾十頁才行 – 而且還不總是可行。據稱這套三卷2000頁的巨著，知道300多頁之后才開始定義自然數“1”，而直到600多頁才開始定義加法！此外，為了解決層層嵌套帶來的麻煩，羅素還引入了一個公理，叫做“還原公理（axiom of reducibility）”，這個公理的大意是說，一個高層集合的邏輯描述總是可以表示為等效的底層對象的邏輯描述[2] – 這樣一來我們就可以把所有的高層對象全部“拉低”到最底層，從而省去了大量的層層嵌套帶來的邏輯困難。

這是什么鬼？且不說這個公理的有效性如何，從根本上說，它就不是一個邏輯定律 – 它不是純邏輯的。那么羅素的整個工作的初衷 – 把數學還原成為純邏輯 – 就被徹底破壞掉了。羅素本人也為這個公理反復糾結，最終只能承認它并非邏輯必需。更何況，羅素在他的理論中用到了無窮公理和選擇公理，這兩個貨雖然不那么不招人待見，但是一般也不被認可為純邏輯公理，因而數學的邏輯化就難以為繼。最后，他只能無奈地宣稱，或許集合論也不是數學中最基礎的理論，我們在數學基礎探索道路上可能還有很長的路要走。

此時的邏輯主義面臨的情況，可以用一句詩來描述，“云橫秦嶺家何在，雪擁藍關馬不前?！?/b>

邏輯主義之路雖然暫時進入進退維谷的境況，但是弗雷格和羅素的工作卻無疑極具啟發(fā)性和開創(chuàng)性。在羅素陷入苦戰(zhàn)的同時，另外一個思路出現了，就是公理化集合論。這個思路的要義是， “滿足一個性質的所有對象構成一個集合”這樣的前提導致了悖論，那么說明這種對集合的約定方式有不妥之處。我們只要試著對集合的概念提出一些規(guī)則，增加一些限制，結果讓悖論消失就行了。同時，樸素的集合論雖然陷入悖論，但是它取得的成功卻是極有價值的。我們對它的限制又不能過于嚴格，把它給限死了。這個補丁怎么個打法？與邏輯主義的出發(fā)點不同，它不追求把數學還原為邏輯，而是要找到一種平衡，適當地制定出規(guī)則，在規(guī)則下既能實現邏輯自洽，又能最大可能地保留原有成果。于是就有了ZFC公理體系，這個公理體系在樸素集合論的基礎上修正、增加了若干公理，對集合的用法加以限制，這樣做的結果在操作層面上是相當成功的。這種思路，其實就是把數學基礎看作是一系列規(guī)則的組合，而整個數學，就像是一個棋類游戲一樣，在規(guī)則內衍生變化，得到一個完整的棋局。這樣一來，數學本身并沒有什么現實的含義 – 它只是一種游戲規(guī)則，是一種形式語言。只有當我們把它應用到現實事物中，它才有了現實含義。這種觀點的代表人物就是希爾伯特，而這種觀點則被稱為數學的“形式主義”綱領。

舉個例子說，我們前面提到的三段論推理：

（大前提）所有的狗狗都會汪汪叫；

（小前提）旺財是一只狗狗；

（所以）旺財會汪汪叫。

這里面“旺財”、“狗狗”、“汪汪叫”是現實問題賦予這個推演規(guī)則的含義。而這個推理本身是純形式的，我們完全可以把它寫成：

所有的A都有B的性質；

C屬于A；

所以C有B的性質。

希爾伯特說，數學體系中所包含的一切數學概念，我們可以把它隨便替換，例如把數字全部換成“啤酒”、“桌子”，這不會影響數學體系的有效性 – 因為它只不過是一個形式體系而已。我們完全可以說：

所有的啤酒都會汪汪叫；

桌子屬于啤酒；

所以桌子會汪汪叫。

這個看起來很滑稽無厘頭的推理，從形式上是毫無問題的。它的真假知識在我們把它賦予一定含義時才會發(fā)生。從純數學角度，一個命題為“真”就是指它在現有的規(guī)則框架下可以證明為自洽（不矛盾），而“假”則是它被證明為矛盾。而數學命題本身完全沒有物理意義上的現實含義，也不會有理念世界中的“存在”或“不存在”之分。

這種看法繞開了許多麻煩的問題，但是會讓很多人，尤其是持有實在論觀點的人很不舒服。例如說，如果數學只是一套高級的游戲，那么為何自古代以來，各個文明會各自獨立地分別建立起相同的算術和幾何體系？他們難道不會建立起不同的游戲規(guī)則嗎？例如幾何的畢達哥拉斯定理和勾股定理說的是同一回事，是中國和古希臘各自獨立建立的。如果說它們只是一個特定公理體系指定的游戲規(guī)則，為何古希臘人和先秦中國人會心有靈犀？類似的例子不要太多。另外，如果數學只是一個游戲，為何數學會如此和諧地用于實證科學？

如果說這種詰難尚可自圓其說，另一個困難它就很難回答了。形式主義對數學體系的最低要求就是自洽性。也就是說，這種規(guī)則體系中必須要保證沒有任何矛盾之處。我們不能在我們的規(guī)則下同時得到一個命題A為真且不為真。這不僅僅是矛盾律的要求，而且是這個套規(guī)則是否有效的判據。因為，如果我們哪怕是只有一個矛盾，我們就可以利用這個矛盾證明所有的命題全部為真。那么這套規(guī)則就毫無意義。比如說，我們有一套公理體系，對某一個極特殊的命題A得到了同時為真又為假的結論，那么，我可以用它來證明這樣一個命題：“爸爸是一盤意大利面”。

首先，既然A為真，那么“爸爸是意大利面”和“A”兩者至少有一個為真。

既然“爸爸是意大利面”和“A”兩者至少有一個為真，而A為假，那么，“爸爸是一盤意大利面”就必然為真。

所以，對形式主義者而言，能夠證明一套規(guī)則自身的自洽性就是一個必需的要求。這在1900年提出的著名的“希爾伯特綱領”中，是位列第二的問題。希爾伯特本人對此堅稱：

“我們必須做到，我們終將做到?！?/i>

這句話也是他的墓志銘。

然而，我們可以回想一下第一部分地14章“邏輯不確定性”談到的哥德爾不完備定理。這個定理之間證明了，算術系統(tǒng)不可能證明自身的自洽性。這給了希爾伯特墓碑上憑空增加了古希臘神話式的悲劇性 。

賈明子：14、邏輯不確定性?zhuanlan.zhihu.com

而此時，以數學家布勞威爾為首的另一批人，則有著明顯的康德主義傳承。他認為，邏輯主義和形式主義都是錯誤的。數學就存在于數學家的意識中，是建立在康德式的“數學直覺”之上的體系。它的最終起源是時間這個“數學的原生直觀”，它是人類智慧的先天框架，也是人類智慧建筑在直觀之上的構建物。而數學的客觀性體現在數學直覺這種人類知性的先天形式中。這種觀點被稱作“直覺主義”。布勞威爾說：

“在數學中，存在就意味著由直觀構建出來。它的形式語言是否自洽這一點都不重要，不但不重要，而且連對數學存在的檢驗都算不上。”

直覺主義有兩個鮮明的特征，第一個，它激烈反對實無窮的概念。在它看來，數學是人類智慧構建的，而人類的智慧總是有限的，因而不可能對一個已完成的無窮大進行任何直觀上的構建?？低袪柕某迶岛蛯崯o窮，實在是一種妄自尊大的胡言亂語。

第二個，就是它對構建的熱衷。它認為數學存在的一切，都應該能夠被數學家以有限的步驟構建出來，而那種無法被構建、又能通過反證法證明（如果不存在則證明產生矛盾）的所謂的“存在”毫無意義。一個無法被真正構建出來的東西，談何存在？其實我們可以看到這種觀點受到了經驗主義影響的痕跡，經驗主義說，一個不能被觀察的東西，談何存在？因而，直覺主義旗幟鮮明地反對把邏輯的排中律 - 一個命題要么是真的，要么是假的 - 應用于無限集，這是一種不可靠的推廣。在一個有限集中，我們可以通過歷數的方式證明排中律，但是在一個包含了無限多的事物中，一定存在既非真又非假的命題 – 因為我們沒有任何的現有辦法對它進行判定。那么，反證法（歸謬法）的運用必將受到極大的限制，甚至淪為無用之舉：有限集中我們可以通過遍歷的方法取代它，而無限集中它被禁止使用。

直覺主義與形式主義形成了激烈沖突，表現為希爾伯特與布勞威爾之間的持續(xù)嘴炮。希爾伯特說：

“沒有人能夠把我們從康托爾為我們建立的樂園（指實無窮，括弧中為我添加，非原文。）中驅趕出去！”

在布勞威爾剛剛出道時，展現出了優(yōu)秀的數學天賦，曾經得到希爾伯特的賞識，并力邀他加入自己主編的《數學年鑒》的編委會。但是隨著兩人觀點越來越分歧，兩人的關系急劇惡化，爭論也越來越有火藥味。后來希爾伯特更加用了一點不太光彩的手段，把布勞威爾從編委會中踢出去。這個被愛因斯坦蔑視地稱之為“蛙鼠之爭”。

直覺主義的真正困難在于，他們試圖在剔除實無窮和歸謬法的情況下重建整個數學體系，但是這個過程并不成功，很多原有的有意義（哪怕是直覺主義的視角中）的定理無法被建立，他們的重建過程只能完成一小部分。另外一個直覺主義者外爾坦言“這是一個令人汗顏的尷尬”。主流的數學家們沒有幾個真正相信直覺主義。它作為一個思想綱領得以存活，主要是他的領袖的數學才能，以及它產生了很多后來應用于計算機算法的理論。

總而言之，在現代數學的發(fā)端，隨著形式邏輯和集合論的發(fā)展，人們終于對數學基礎問題作出了重大突破，從原來的毫無邏輯基礎，終于開始看上去比較牢靠了，盡管這些牢靠的基礎仍然是建立在沙灘之上。舊的問題得以解決，而新的、更加深刻的問題產生了。針對這些問題，邏輯主義試圖把數學歸結為純邏輯，形式主義試圖把數學歸結為無意義的形式語言；而直覺主義則把它歸結為心靈的直覺。三個思想綱領各自面臨著自己的困難而舉步維艱。但是三個思想綱領同時各有傳承在堅持不懈地奮力前行。例如羅素之后多年，在上世紀80年代，新邏輯主義又有了發(fā)現，把數學歸結為邏輯這條道路似乎有了新的曙光。

在這種情形下，古老的柏拉圖主義開始煥發(fā)第二春，一個全新的“數學柏拉圖主義”正在醞釀形成。