我們用分點(diǎn)
將被積區(qū)間 等分成 個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為 。相應(yīng)的原函數(shù) 的總改變量 可分為 個(gè)部分改變量的和。即：
根據(jù)微分中值定理，在每個(gè)小區(qū)間 內(nèi)，一定存在一點(diǎn) ，使得
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從而
。
當(dāng) 時(shí)，根據(jù)定積分的定義，我們有
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上面的公式被認(rèn)為是微積分中最重要的公式。它的存在，避免了利用定義求定積分時(shí)可能會(huì)遇到的復(fù)雜性與技巧性，使得定積分的計(jì)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化，同時(shí)也把定積分（被定義為積分和的極限）與不定積分（被定義為原函數(shù)）兩個(gè)看起來(lái)毫不相干的概念聯(lián)系起來(lái)。這個(gè)公式就是大名鼎鼎的「微積分基本定理」。
值得注意的是，微積分基本定理也不是萬(wàn)能的。利用微積分基本定理求定積分，需要求出被積函數(shù)的不定積分。但是，求原函數(shù)并不都是很容易的，有時(shí)甚至原函數(shù)根本無(wú)法用初等函數(shù)表示。況且從工程、技術(shù)、科研、經(jīng)濟(jì)、金融等實(shí)際應(yīng)用中遇到的大量被積函數(shù)，常常是用表格或曲線給出的，這時(shí)寫不出被積函數(shù)的表達(dá)式，當(dāng)然也就無(wú)法用式子寫出它的原函數(shù)。這時(shí)，我們通常借助數(shù)值計(jì)算法求出定積分的近似值。在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，數(shù)值計(jì)算在復(fù)雜的大數(shù)據(jù)面前顯得更加重要。
