長(zhǎng)久以來(lái)，“隨機(jī)”的問(wèn)題就令人著迷。從史前時(shí)代起，原始人就觀察到了一系列不能夠解釋、不符合常理的現(xiàn)象，這些現(xiàn)象沒(méi)有什么明顯的原因，純粹是來(lái)自大自然的“饋贈(zèng)”。在最初，人們找不到什么更好的解釋，于是他們歸咎于神靈。日食、彩虹、地震、瘟疫、洪水或者彗星都被視為來(lái)自上天的神圣消息，只有那些能夠與上天“對(duì)話”的“專業(yè)人士”才能解讀。于是，這個(gè)任務(wù)往往被交給巫師、神使、祭司或者其他的薩滿，這些人會(huì)在大眾面前做一場(chǎng)全套的儀式（這就是他們謀生的手段），用來(lái)質(zhì)問(wèn)神靈，因?yàn)樗麄儾辉傧氲却屵@些隨機(jī)事件自己出現(xiàn)。換句話說(shuō)，古代的人們已經(jīng)開(kāi)始想方設(shè)法地自己創(chuàng)造出“隨機(jī)”效果。

“孛羅芒西”（La bélomancie），或者稱之為“箭卜術(shù)”，就是非常古老的例子之一。對(duì)于想要問(wèn)神的問(wèn)題，將可能的各種答案寫(xiě)在箭身之上，然后把這些箭放在箭筒之中，搖晃箭筒并且隨機(jī)抽取出一根：這就是神的回答。舉例來(lái)說(shuō)，公元前6世紀(jì)，古巴比倫國(guó)王尼布甲尼撒二世就是用這種方法選擇他的敵人，進(jìn)而發(fā)動(dòng)戰(zhàn)爭(zhēng)。除了箭之外，人們用來(lái)抽簽的物品簡(jiǎn)直多種多樣：小石頭、黏土片、小木棍或者彩色球。古羅馬人給這些物品起了個(gè)名字叫“離者”（sors），法語(yǔ)中“抽簽”（tirer au sort）一詞的字面意思就是“抽出離者”。類似的還有“ 巫術(shù)”（sortilège）一詞，這個(gè)詞的原意有兩個(gè)?質(zhì)問(wèn)神靈或者來(lái)自神靈的審判。

慢慢地，“抽簽隨機(jī)”的機(jī)制流傳開(kāi)來(lái)，在很多的應(yīng)用中都能發(fā)現(xiàn)它們的身影。一些政治系統(tǒng)曾經(jīng)使用過(guò)它們，比如在古代的雅典，人們用這種方法選出參加眾議院五百人會(huì)議的市民，又比如，在幾個(gè)世紀(jì)之后的威尼斯，人們把這種方法用在了總督任命的程序之中。“隨機(jī)”同樣也是游戲創(chuàng)作者們的重要靈感來(lái)源。人們利用它發(fā)明了猜硬幣正反面游戲、帶編號(hào)的色子（當(dāng)然還借助了柏拉圖立體的外形），甚至卡牌游戲。

正是這種能夠“傳遞神的旨意”的隨機(jī)游戲，最終吸引了一些數(shù)學(xué)家的注意力。這些數(shù)學(xué)家開(kāi)始有了“玩兒轉(zhuǎn)命運(yùn)測(cè)量器”的奇怪想法，通過(guò)邏輯和運(yùn)算，他們研究了未來(lái)將會(huì)發(fā)生的事情的概率。

所有這一切都始于17 世紀(jì)中葉巴黎科學(xué)會(huì)?博向所有與會(huì)者提出了一個(gè)他自己構(gòu)思的問(wèn)題。他說(shuō)，試想一下，有兩個(gè)玩家在玩兒隨機(jī)游戲并且押了錢(qián)，先贏得3局者勝出，當(dāng)玩兒到2∶1的時(shí)候，游戲被中斷了，試問(wèn)這兩位玩家該如何分割賭桌上的賭注？

在當(dāng)日與會(huì)的所有科學(xué)家中，有兩個(gè)法國(guó)學(xué)者對(duì)這個(gè)問(wèn)題產(chǎn)生了特別的興趣，他們是皮埃爾·德·費(fèi)馬和布萊茲·帕斯卡。在幾封書(shū)信往來(lái)之后，這兩位學(xué)者最終得出的結(jié)論是，第一位玩家應(yīng)該獲得四分之三的賭注，第二位玩家應(yīng)該獲得四分之一的賭注。

為了得出這一結(jié)論，兩位學(xué)者演繹了假設(shè)游戲沒(méi)有被中斷的、各種可能發(fā)生的場(chǎng)景，然后估算了玩家1和玩家2各自的獲勝概率。于是，在假想的“下一輪”游戲中，玩家1有50%的概率獲勝，而玩家2也有50%的概率獲勝。在這種情況下，兩位玩家就需要再來(lái)一輪，而這一輪當(dāng)中，兩位玩家的獲勝概率依然是相等的，也就是說(shuō)，兩位玩家分別獲勝的場(chǎng)景都有25%的概率會(huì)發(fā)生。所有關(guān)于這個(gè)游戲“未來(lái)”的可能走向，可以用下頁(yè)的圖表來(lái)表示。

總之，我們可以看到，在未來(lái)，玩家1有75%的概率獲勝，而玩家2只有25%的概率獲勝。于是，帕斯卡和費(fèi)馬一致認(rèn)為，兩者應(yīng)該按照同樣的比例分割賭注：玩家1拿75%，玩家2拿25%。

兩位法國(guó)學(xué)者的推論過(guò)程可以說(shuō)非常富有成效， 大部分博弈游戲（ 概率游戲） 都能夠用這種方法來(lái)檢驗(yàn)。瑞士數(shù)學(xué)家雅各布· 伯努利是第一批緊跟帕斯卡和費(fèi)馬腳步的學(xué)者之一， 他在17 世紀(jì)尾聲的時(shí)候撰寫(xiě)了《猜度術(shù)》（Ars Conjectandi ）一書(shū)，這本書(shū)在1713 年伯努利死后出版。在這本書(shū)中，伯努利分析了經(jīng)典博弈游戲，并且首度提出了概率論中的基本原則之一：大數(shù)定律。

這條定律確認(rèn)了，在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們重復(fù)的次數(shù)越多，結(jié)果的平均值就越明顯，并且趨近于一個(gè)極限值。換句話說(shuō)，從長(zhǎng)期來(lái)看，即使是最復(fù)雜的隨機(jī)，最終都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)平均行為，因此，所謂的“隨機(jī)”也就不再存在了。

為了理解這個(gè)現(xiàn)象，我們倒是不必離題太遠(yuǎn)，只需要一個(gè)簡(jiǎn)單的“猜硬幣正反面”游戲就能感受到大數(shù)定律的存在。假設(shè)我們投擲一枚硬幣，正反面均勻，每一面都有50% 的概率朝上，可以用以下直方圖來(lái)表示。

現(xiàn)在，假設(shè)你連續(xù)投擲硬幣兩次，并且記錄正面和背面朝上的次數(shù)。有三種可能：兩次都是反面，或者兩次都是正面，或者一次正面一次反面。人們很容易認(rèn)為這三種情況發(fā)生的概率是相同的，但事實(shí)卻并非如此。實(shí)際上，出現(xiàn)一正一反的可能性為50%，而出現(xiàn)兩次正面或者兩次反面的概率都只有25%。

這種“不平衡”的結(jié)果，實(shí)際上是由于“兩次不同的隨機(jī)過(guò)程可能產(chǎn)生同樣的最終結(jié)果”所導(dǎo)致的。當(dāng)我們連續(xù)投擲兩次硬幣的時(shí)候，實(shí)際上會(huì)產(chǎn)生以下四種情況：反―反，反―正，正―反和正―正。反―正和正―反兩種情況產(chǎn)生的是同一種結(jié)果，即一正一反，這就解釋了為什么一正一反出現(xiàn)的概率是其他情況的兩倍。類似地，玩家們都會(huì)知道，如果我們同時(shí)投擲兩枚色子，它們的點(diǎn)數(shù)和等于7 的概率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于等于12 的概率，因?yàn)榈扔? 的情況有很多種（1 + 6，2 + 5，3 + 4，4 + 3，5 + 2 和6 + 1），而等于12 的情況只有一種（6 + 6）。

我們投擲的次數(shù)越多，這個(gè)現(xiàn)象就越明顯。最初出現(xiàn)機(jī)會(huì)均等的那些場(chǎng)景逐漸地產(chǎn)生區(qū)隔，一些成了極少數(shù)，一些成了普遍情況。如果你連續(xù)投擲10 次硬幣， 會(huì)有大約66%的概率得到4 ～ 6 次反面；如果你連續(xù)投擲100 次硬幣，有96% 的概率會(huì)得到40 ～ 60 次反面； 如果你連續(xù)投擲1000次硬幣， 有99.999 999 98% 的概率會(huì)得到400 ～ 600 次反面。

如果我們分別畫(huà)出投擲10 次、100 次和1000 次的直方圖， 就可以看到，逐漸地，絕大多數(shù)“未來(lái)的可能”圍繞著中心軸收緊，以至于那些對(duì)應(yīng)著極端情況的矩形，我們的肉眼已經(jīng)看不見(jiàn)了。

我們投擲的次數(shù)越多，這個(gè)現(xiàn)象就越明顯。最初出現(xiàn)機(jī)會(huì)均等的那些場(chǎng)景逐漸地產(chǎn)生區(qū)隔，一些成了極少數(shù)，一些成了普遍情況。如果你連續(xù)投擲10 次硬幣， 會(huì)有大約66%的概率得到4 ～ 6 次反面；如果你連續(xù)投擲100 次硬幣，有96% 的概率會(huì)得到40 ～ 60 次反面； 如果你連續(xù)投擲1000次硬幣， 有99.999 999 98% 的概率會(huì)得到400 ～ 600 次反面。

如果我們分別畫(huà)出投擲10 次、100 次和1000 次的直方圖， 就可以看到，逐漸地，絕大多數(shù)“未來(lái)的可能”圍繞著中心軸收緊，以至于那些對(duì)應(yīng)著極端情況的矩形，我們的肉眼已經(jīng)看不見(jiàn)了。

我們投擲的次數(shù)越多，這個(gè)現(xiàn)象就越明顯。最初出現(xiàn)機(jī)會(huì)均等的那些場(chǎng)景逐漸地產(chǎn)生區(qū)隔，一些成了極少數(shù)，一些成了普遍情況。如果你連續(xù)投擲10 次硬幣， 會(huì)有大約66%的概率得到4 ～ 6 次反面；如果你連續(xù)投擲100 次硬幣，有96% 的概率會(huì)得到40 ～ 60 次反面； 如果你連續(xù)投擲1000次硬幣， 有99.999 999 98% 的概率會(huì)得到400 ～ 600 次反面。

如果我們分別畫(huà)出投擲10 次、100 次和1000 次的直方圖， 就可以看到，逐漸地，絕大多數(shù)“未來(lái)的可能”圍繞著中心軸收緊，以至于那些對(duì)應(yīng)著極端情況的矩形，我們的肉眼已經(jīng)看不見(jiàn)了。

總之，正如大數(shù)定律所斷言的那樣：無(wú)限次地重復(fù)某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，最終的平均結(jié)果必然不再是隨機(jī)的，而是無(wú)限接近一個(gè)極限值。

這一原則是測(cè)驗(yàn)調(diào)查和其他數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的操作基礎(chǔ)。在某一人群中，選擇1000 人，問(wèn)他們更喜歡黑巧克力還是牛奶巧克力。如果600 人回答黑巧克力，400 人回答牛奶巧克力，則很有可能在整個(gè)群體中?哪怕這個(gè)群體總數(shù)有幾百萬(wàn)人?比例仍然是一樣的，60% 的人喜歡黑巧克力，40% 的人喜歡牛奶巧克力。調(diào)查某個(gè)隨機(jī)抽取的人的口味可以被認(rèn)為是一個(gè)和扔硬幣猜正反面游戲相同的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，只是我們的選項(xiàng)從正面和反面換成了黑巧克力和牛奶巧克力。

當(dāng)然了，我們可能運(yùn)氣不好，正好抽到了1000 個(gè)人全都更喜歡黑巧克力，或者1000 個(gè)人全都更喜歡牛奶巧克力。但是這種極端情況發(fā)生的概率也是極端小的，因?yàn)榇髷?shù)定律向我們保證了，只要隨機(jī)抽取的樣本足夠大，所獲得的結(jié)果就有非常大的可能會(huì)接近整個(gè)人口的平均值。

進(jìn)一步考察多種場(chǎng)景和它們?cè)谖磥?lái)可能發(fā)生的概率，我們還可以建立一個(gè)置信區(qū)間，并且評(píng)估錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)。比如，我們可以說(shuō)，有95%的可能會(huì)出現(xiàn)如下情況，即這個(gè)人群中喜歡黑巧克力的人數(shù)比例在57%～63%之間。實(shí)際上，任何縝密的調(diào)查研究都應(yīng)該總是能獲得這些可以顯示其精確度和可靠性的數(shù)字。