無窮多個

到底是多少個

提到無窮這個概念，你首先想到的什么呢？是浩瀚的宇宙？滿天的星辰？還是永遠數(shù)不到頭的數(shù)？

人類對無窮的發(fā)明或者叫做發(fā)現(xiàn)，是人類認識的一次飛躍，同時也恰恰映襯了人類的渺小。

今天我們就從數(shù)學上聊一聊無窮。

相信大家最為熟知的無窮應該就是從簡單的自然數(shù)列開始的。

當我們從1開始數(shù)2,3,4,5,6…的時候，我們發(fā)現(xiàn)我們永遠也數(shù)不到頭。

無論數(shù)到一個多么大的數(shù)，永遠都會有比之大1或者大更多的數(shù)。

以此類推，總有更大的一個數(shù)存在。

有了這個最初的無窮印象，接下來我們可以思考一下，我們熟悉的奇數(shù)列、偶數(shù)列是不是也是無窮的？當然是肯定的！

那么第一個問題出現(xiàn)了——同樣是無窮大，自然數(shù)列1,2,3,4,5…和偶數(shù)列2,4,6,8,10…能否比較大小，孰大孰??？

有的人可能覺得當然是自然數(shù)列了，畢竟看上去比偶數(shù)列明顯多了一個奇數(shù)列的數(shù)出來，甚至可以猜測自然數(shù)列的數(shù)量應該是偶數(shù)列數(shù)量的2倍??！

的確，一切好像都是那么的合理。

可是！可是！如果我們稍作對應，看看有什么不同？

把每個自然數(shù)乘以2，我們得到2,4,6,8,10…的數(shù)列，也就是：

1*2=2；

2*2=4；

3*2=6；

4*2=8；

5*2=10；

….

驚訝的一幕出現(xiàn)了（反正當時筆者在看到此的時候，激動了很長時間），到底發(fā)生了什么？

最左列的自然數(shù)與最右側的偶數(shù)列是一一對應的，從集合上講，是一個映射。

一一對應的意思是什么——有一個自然數(shù)就有一個偶數(shù)與之對應。

從這個角度而言，自然數(shù)列與偶數(shù)列是一樣的多的！

沒錯！它們的無窮是一樣的！

同樣，通過乘以2再減1，自然數(shù)列與奇數(shù)列也是一一對應的，它們的無窮也是一樣的！

沒錯！沒有弄錯，自然數(shù)列的子集和它自身可以一樣多。

這在有限集合中簡直是不可能的事情，在無限集合的尺度上，竟然就奇跡的發(fā)生了。

至于是為什么會這樣，只能說明，無窮很神奇，神奇的出乎意料，超出常識！

無窮量級的集合關系，與有限的量級的集合關系有很大差異！

我們邁出了關于無窮大小的第一步！

接下來繼續(xù)深入，問題二——小數(shù)，或者說是有理數(shù)的無窮有多大？

還記得有理數(shù)是哪些嗎？

有理數(shù)是整數(shù)和分數(shù)的集合，如果把整數(shù)看成是分母為1的分數(shù)，那么可以直接把有理數(shù)看成是分數(shù)，或者是兩個整數(shù)的比值。

為了介紹方便，我們引入一條直線，或者稱作數(shù)軸。

前面的自然數(shù)就是一維數(shù)軸上原點右側均勻間隔的無窮多點。

有理數(shù)是數(shù)軸上的哪些點呢？

好像一下子說不上來，但是我們可以肯定的是，有理數(shù)是數(shù)軸上密密麻麻的布滿整個數(shù)軸的一些點。

而且在臨近的兩個自然數(shù)之間有無數(shù)多個有理數(shù)點存在，任何兩個有理數(shù)之間甚至有無數(shù)個有理數(shù)存在。

雖然有些繞，但是說明的問題就是，有理數(shù)是很緊密的，而自然數(shù)沒有那么緊。

貌似，有理數(shù)比自然數(shù)要多，而且要多很多？

那么。。。是這樣的嗎？

既然有理數(shù)可以看做兩個整數(shù)的比值，那么我們按照如下圖的方式進行構造，就可以把正有理數(shù)排列出來，負有理數(shù)同樣也可以排列出來。

所以，結論就是，有理數(shù)也是可以從1開始一直數(shù)下去的。

有理數(shù)與自然數(shù)的無窮同樣是一樣的。

哇…世界觀有沒有又被刷新了。

那么，神奇的直線上剩下的數(shù)還有什么呢？

無理數(shù)?（無限不循環(huán)小數(shù)）??！

不禁要問，無理數(shù)有多少呢？

無理數(shù)是否也能夠按順序排列出來，就像有理數(shù)一樣？

這個問題著實有些困難。

說到這里，不得不引出一個數(shù)學家Georg Cantor。

對于實數(shù)總體的無窮級別，Cantor給出了精彩的論述。

大概思路是這樣的：

他按照二進制的方式來表示一個實數(shù)。

假設實數(shù)是可以排列出來的話，那應該表示成下述的樣子：

s1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)

s2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)

s3 = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)

s4 = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)

s5 = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1 ,...)

s6 = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...)

s7 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...)

...

下面他取所有數(shù)字的二進制表示中的一位，按照表中下劃線的規(guī)則來取。

然后取所得數(shù)字的相反數(shù)，得到S = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, ...)。

S不同于排列出來的任何一個數(shù)字。

這樣就與我們的假設矛盾，從而證明實數(shù)是不能排列出來的。

由于實數(shù)是有理數(shù)加上無理數(shù)，所以無理數(shù)是不可排列的，且與實數(shù)的無窮級別是一樣的。

Cantor把自然數(shù)以及與自然數(shù)相等級別的集合的無窮量級定義為??（希伯來字母，讀作阿列夫0），把無理數(shù)以及與其等級別的集合的無窮量級定義為?，是一種比??更大級別的無窮級別。

Cantor進一步得出結論，實數(shù)的無窮量級也是?，并且即使在諸如[0,1]區(qū)間上的點的無窮量級也是?。

現(xiàn)在我們有了更清楚的認識，一條直線上的點的無窮量級是?。

也就是說，Cantor認為直線是由點組成的，是一個點集，無窮集合。

集合的無窮量級是?。

著名數(shù)學家大衛(wèi)·希爾伯特1900年8月8日在巴黎第二屆國際數(shù)學家大會上，提出了新世紀數(shù)學家應當努力解決的23個數(shù)學問題。

第一個問題就是關于今天討論的問題。

通俗的解釋是：在無窮量級??和無窮量級?之間是否存在其他的量級，史稱連續(xù)統(tǒng)假設。

經(jīng)過多名數(shù)學家的論證，得出結論：在ZFC公理體系下，該假設無法證明正確與否。

說了這么多，你可能要問，我只要知道直線是由無窮多個點組成的，就可以了，管他是什么量級呢，反正又沒有其他影響。

我相信這是很多讀者都會產(chǎn)生的疑問，甚至這是很多基礎和理論科學面臨的窘境。

我希望通過下邊的故事，給大家從一個側面做出解釋。

Cantor師從Karl  Weierstrass，可能非數(shù)學專業(yè)的人對Weierstrass不是很熟悉。

Weierstrass被譽為分析學之父，數(shù)學分析這門課中大名鼎鼎的ε-δ語言便是由其發(fā)明， Weierstrass對微積分賦予了分析學上嚴謹?shù)倪壿嫿Y構。

然而，隨著一些學者對微積分研究的日漸深入，傳統(tǒng)的Riemann積分暴露出了一些問題。

Riemann積分應該是我們接觸最多的一種積分方法了。

物理、化學甚至經(jīng)濟學中都是應用黎曼積分對具體問題進行計算和處理。

比如，給出速度和時間的函數(shù)關系計算位移等等。

然而，Riemann積分自身的方法對被積函數(shù)的連續(xù)性等性質有著較高要求，在遇到一些奇異函數(shù)時候就變得無能為力。

比如說，Dirichlet函數(shù)（圖2），這引起了包括Weierstrass在內(nèi)的很多人的關注。

微積分是建立在極限的基礎之上，極限本身就要依賴于實數(shù)的性質。

Cantor就是在這樣的背景下著手關于實數(shù)性質的研究，也就是我們標題提到的——數(shù)一數(shù)直線上的點。

回到積分。

積分的意義是曲線圍成的圖形面積，Riemann積分的定義是建立在對區(qū)間長度分割的基礎上。

基于Cantor在集合特別是實數(shù)連續(xù)統(tǒng)方面的研究，Lebesgue把積分概念置于集合測度理論框架中（測度可以通俗理解為點集的長度），引入了新的積分定義，把有界實值函數(shù)的值進行分劃（Riemann是對定義域進行分劃），計算每個分劃中定義域點集的測度，然后累加求極限。

Lebesgue對他的積分思想給出過精彩的比喻：一個人要償還一筆錢，如果依次從口袋里取出不同面值的鈔票，逐一相加計算總額，還給債主，這是Riemann的做法。

另一種做法是把錢全部拿出來把相同面值的鈔票放在一起，然后再求和，這就是勒貝格積分。

通過Lebesgue積分很容易可以得到上邊Dirichlet函數(shù)的結果為1。

除此之外，點集測度理論和Lebesgue積分也是整個概率論的理論基礎，有機會再做詳細介紹。

說到現(xiàn)在，我們對直線有了新的認識，也是初步的認識。

簡單總結一下吧！

在科技騰飛的今天，我們可以把宇宙飛船送上遙遠的太空，可以利用核能，可以無線通訊，甚至如今我們的人工智能技術也有了重大發(fā)展。

在這些偉大的科技發(fā)明面前，我們大多數(shù)人感覺到，人類有了高超的本領能夠駕馭當前甚至未來。

但是，僅僅是一條直線，我們從小學就接觸并熟知的直線，都沒能得到徹底解決，沒有明確的答案。

可見，人類的認識仍然有限，數(shù)學作為人類理性思維、科學精神的基礎之一，在基礎研究方面仍然有很多問題需要去思考和解決。

我們有理由相信，我們可以通過努力去解決一個又一個問題，去接近真理。

因為，現(xiàn)在的我們就是從過去這樣一步步走過來的!