我們的數(shù)學(xué)游戲

在Suki和Sula 1-4歲之間，我們的數(shù)學(xué)啟蒙，多是圍繞在數(shù)字和形狀的認(rèn)知上。

比如在認(rèn)數(shù)字方面，我們用彈珠數(shù)數(shù)，和數(shù)字板對應(yīng)：

用數(shù)字排序來拼出圣誕樹：

做成圓點(diǎn)數(shù)字盤，Suki用數(shù)字夾子去匹配對應(yīng)的圓點(diǎn)。

我們也用珠子穿小棍的方式，去對應(yīng)數(shù)字，來玩數(shù)數(shù)的游戲。

學(xué)習(xí)形狀時(shí)，我們使用形狀模板來描畫，比較形狀的大小。

我在紙面畫出規(guī)則的線條和形狀，Suki用硬豆子去描繪形狀、記憶線條規(guī)律。

我們還自制了幾何板，用皮筋來探索點(diǎn)線面構(gòu)成的形狀。

我用不織布剪成各種形狀，Suki玩形狀拼圖粘貼的游戲，一邊貼我們一邊記憶形狀名稱。

這一類的游戲我們還做了很多，基本上都是圍繞能夠數(shù)出1～20個(gè)物體，20以上的唱數(shù)，和認(rèn)知所有基本形狀。

這個(gè)階段完成以后，我們似乎進(jìn)入一個(gè)瓶頸：數(shù)學(xué)啟蒙還要如何進(jìn)階呢？加減法似乎還有點(diǎn)早。還有哪些數(shù)學(xué)概念是孩子需要在學(xué)齡前接觸和了解的呢？

皮亞杰的認(rèn)知實(shí)驗(yàn)

近期我回到倫敦大學(xué)進(jìn)修“發(fā)展心理學(xué)”。課程很有挑戰(zhàn)，也接觸到了很多非常有趣的心理學(xué)內(nèi)容。

其中我最感興趣的就是皮亞杰（Jean Piaget, 1896-1980）的兒童認(rèn)知發(fā)生理論。皮亞杰是兒童心理學(xué)的開創(chuàng)者，被譽(yù)為心理學(xué)史上除了弗洛伊德以外的另一位“巨人”，他的認(rèn)知發(fā)生理論對當(dāng)代西方心理學(xué)的發(fā)展和教育改革具有重要影響。

皮亞杰對兒童思維或智力發(fā)展進(jìn)行了規(guī)模龐大和系統(tǒng)完整的研究，用大量的時(shí)間觀察孩子和進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。他尤其感興趣于孩子在特定年齡段所犯的那些“相似的錯(cuò)誤”。他意識到兒童在特定的年齡階段有特定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平，會(huì)通過自己的“理論”和“臆想”解釋身邊的世界，認(rèn)知水平是像臺階一樣按照年齡段遞進(jìn)，階段出現(xiàn)的先后次序是恒定不變的。

很多兒童心理學(xué)工作者對皮亞杰理論進(jìn)行了研究，并對他的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了重復(fù)性的檢驗(yàn)。據(jù)估計(jì)，僅僅關(guān)于“守恒”一項(xiàng)內(nèi)容的重復(fù)，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)就達(dá)3000次以上。

我們在課堂上溫習(xí)了皮亞杰和孩子們所做的許多認(rèn)知實(shí)驗(yàn)，過程讓人忍俊不禁又極有啟示性。尤其是在數(shù)學(xué)認(rèn)知的范疇，孩子們在相似的年紀(jì)，幾乎都會(huì)犯同樣的數(shù)學(xué)認(rèn)知錯(cuò)誤。

尤其對于2-7歲“前運(yùn)算階段”的孩子，皮亞杰的實(shí)驗(yàn)顯示出這個(gè)年齡段的孩子最容易掉入一些特定的數(shù)學(xué)認(rèn)知“陷阱”中，因而也啟示給我們，孩子可以前往進(jìn)階理解的下一步的數(shù)學(xué)概念都是哪些。

如果你有興趣，也可以和自己的孩子試一試，看看皮亞杰挖的那些認(rèn)知陷阱，你的孩子是不是中招了？看看孩子的數(shù)學(xué)認(rèn)知處在哪個(gè)位置？我和Suki也嘗試了皮亞杰的一些實(shí)驗(yàn)。除了數(shù)數(shù)和認(rèn)知形狀，以下這些數(shù)學(xué)概念和特性，都是孩子們需要時(shí)間去進(jìn)階理解的。

1. 液體的體積不變原則

這是皮亞杰最經(jīng)典的認(rèn)知實(shí)驗(yàn)，幾乎所有3-5歲的孩子都會(huì)“中招”。

實(shí)驗(yàn)過程：成人在孩子面前放兩只矮胖的玻璃杯，里面放入等量的水。問孩子，哪個(gè)杯子的水更多？通常孩子能夠答對：“是一樣的！”

但如果成人把其中一個(gè)杯子里的水倒入一個(gè)細(xì)高的杯子，再問孩子哪個(gè)杯子里的水更多，大部分孩子都會(huì)回答細(xì)高的杯子里的水更多，因?yàn)樗€更高！這個(gè)認(rèn)知的誤差，通常要到6-7歲才能逾越。

Suki在這個(gè)實(shí)驗(yàn)前面也掉入了陷阱，怎么也不理解為什么不是細(xì)高杯子里的水更多。

這個(gè)實(shí)驗(yàn)給孩子的認(rèn)知啟示是：液體的體積不根據(jù)容器的改變而改變。

2. 固體的體積不變原則

實(shí)驗(yàn)過程：成人捏出一樣大小的兩個(gè)橡皮泥的球體，問孩子，它倆誰更大？孩子通常會(huì)回答：“一樣大。”

成人把其中一個(gè)球體壓成扁平狀，再問孩子哪個(gè)更大，幾乎所有3-5歲的孩子都會(huì)指出：球體的橡皮泥比壓扁的橡皮泥體積更大。

這個(gè)實(shí)驗(yàn)給孩子的認(rèn)知啟示是：物體的體積大小不根據(jù)形狀改變而改變。

3. 長度的守恒問題

實(shí)驗(yàn)過程：兩根筷子對齊排列，成人問孩子，它倆誰更長？孩子通?；鼗卮穑?span>“一樣長。”

成人把其中一根筷子水平移動(dòng)，再問孩子哪個(gè)更長，很多孩子就會(huì)認(rèn)為被移動(dòng)的那根筷子更長了：因?yàn)楸M端突顯了出來。

這個(gè)實(shí)驗(yàn)給孩子的認(rèn)知啟示是：物體的長度不根據(jù)位置改變而改變。

4. 數(shù)量的守恒問題

實(shí)驗(yàn)過程：在孩子面前放5枚一樣的硬幣（我們用了小立方體模具），在成人面前也放5枚同樣的硬幣，等距擺好，問孩子誰的硬幣多。大部分3-5歲的孩子都會(huì)說一樣多。

成人面前的硬幣不動(dòng)，但是孩子面前的硬幣間距拉長了，再問孩子，誰的硬幣多？

這時(shí)大多數(shù)3-5歲的孩子都會(huì)落入陷阱，認(rèn)為自己面前的硬幣更多，因?yàn)榕帕衅饋砀L了。這個(gè)誤區(qū)通常要等到孩子6歲左右才能“闖關(guān)成功”。

這個(gè)實(shí)驗(yàn)給孩子的認(rèn)知啟示是：數(shù)量守恒，數(shù)量的多少是不受物體的擺放方式影響的。

5. 公平原則

實(shí)驗(yàn)過程：成人給孩子一個(gè)餅干，給自己兩個(gè)餅干，問孩子“這樣公平嗎”？

孩子們都會(huì)回答：“不公平，因?yàn)槟阌?span>2個(gè)我只有1個(gè)。”

當(dāng)成人把孩子的那一個(gè)餅干掰成了兩半，再問孩子“現(xiàn)在公平嗎？”

很多3-5歲的孩子都會(huì)說：“公平！因?yàn)槲覀兌加?span>2塊餅干了。”

這個(gè)實(shí)驗(yàn)給孩子的認(rèn)知啟示是：物體的總量多少應(yīng)該是由它的數(shù)量和每個(gè)個(gè)體的體量共同決定的。

6. 順序無關(guān)原則

實(shí)驗(yàn)過程：成人在孩子面前擺出7個(gè)硬幣（或7個(gè)物體），擺成一個(gè)圓，讓孩子從特定的某個(gè)硬幣開始數(shù)，孩子數(shù)出7個(gè)。

問孩子如果他從另一個(gè)硬幣開始，一共是幾個(gè)硬幣？大部分孩子遇到這個(gè)問題，都是要再數(shù)一遍，心里才敢確定還是7個(gè)，他們不敢直接喊出來：從哪里開始數(shù)都是同樣數(shù)量的7個(gè)硬幣！

這個(gè)實(shí)驗(yàn)給孩子的認(rèn)知啟示是：我們可以用任何順序數(shù)數(shù)，無論從哪里開始數(shù)，都能得到一樣的數(shù)。

7. 數(shù)軸

在學(xué)習(xí)加減法之前，一個(gè)對孩子很重要并且很直觀的概念是“數(shù)軸”。在數(shù)軸上，每一個(gè)數(shù)都是一個(gè)等距的單位?？梢越o3-6歲的孩子試試下面這個(gè)實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)過程：將硬幣（或者相同物品）分成3個(gè)、5個(gè)、7個(gè)三組，問孩子哪一組最多，哪一組最少，大部分3-6歲的孩子都可以回答正確，但是要問“哪一組位于中間”，對很多孩子來說就有點(diǎn)困難了。

在學(xué)習(xí)加減法之前，不僅要能數(shù)出物體的數(shù)量，也可以通過學(xué)習(xí)數(shù)軸，知道3比5少，7比5多，5處在3和7之間，且距離相等。到了這個(gè)時(shí)候，孩子才能真正理解“加”和“減”這兩個(gè)動(dòng)作都依據(jù)同一原理——數(shù)軸。

進(jìn)行數(shù)軸的引導(dǎo)，最好的游戲就是桌游，比如“蛇梯棋”。

蛇梯棋盤上每一格都是一個(gè)數(shù)字，數(shù)字之間是等距的，這個(gè)設(shè)計(jì)和數(shù)軸很相似的。骰子丟出哪個(gè)數(shù)，棋子就往前走幾步，這樣就等同于做“加法”。當(dāng)碰到蛇頭，棋子就要退后幾步，這里就是做“減法”了。

皮亞杰的這些數(shù)學(xué)認(rèn)知實(shí)驗(yàn)是不是很有趣？除了數(shù)學(xué)以外，這位心理學(xué)巨人還給孩子進(jìn)行了很多其他類別的認(rèn)知實(shí)驗(yàn)，比如他發(fā)現(xiàn)2～7歲的孩子一次只能用一種系統(tǒng)來分類（比如色彩或者形狀），而無法在其中自由切換；還有兒童的“我向思維”，也就是兒童無法意識到別人可以有與自己完全不同的思考方式和視角，傾向于從自己的角度出發(fā)看待事物。

大家有興趣的話我以后可以繼續(xù)分享。

安瀟 2017年11月 于 倫敦