中美兩道考題帶給我們的啟示

美國南加州中學(xué)一道有趣的數(shù)學(xué)試題：

Proof thatgirls are evil.（證明女孩是魔鬼。）

老師在試卷上給出證明該命題所需要用到的假設(shè)和已知條件，然后讓學(xué)生根據(jù)條件，證明假設(shè)成立。

我們先來看一看這道題的證明過程：

首先，“‘追’女孩需要時(shí)間和金錢”，那么根據(jù)這個(gè)給出的假設(shè)條件可以得出：Girls=time×money（女孩等于時(shí)間乘以金錢）。

而我們知道“時(shí)間=金錢”，由這個(gè)已知條件可以得出：

Girls=money×money=(money)2，即女孩等于金錢的平方。

Andbecause “money is the root ofevil”（同時(shí)，因?yàn)椤敖疱X是萬惡之源”），這句話中的英文單詞root本指根源，但在數(shù)學(xué)上卻表示平方根，因此從數(shù)學(xué)意義上可以得出：

Money=evil。

而女孩等于金錢的平方，將上式進(jìn)行替代轉(zhuǎn)換后得到：

Girls=(evil)2。

上式中的根號和平方相抵，由此可以證明：

Girls=evil，即女孩是魔鬼。

思考1：這道題考什么？

用我們的常規(guī)視角來分析，這樣的試題，沒有一個(gè)數(shù)字，沒有幾何圖形，還叫數(shù)學(xué)題嗎？證明的結(jié)果讓人感到莫名其妙，老師這么考的目的是什么？是不是另有深意呢？這讓我陷入了深思。

李邦河院士曾指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也。”概念是數(shù)學(xué)思維方式構(gòu)建或轉(zhuǎn)變的基石，核心概念更是數(shù)學(xué)教學(xué)的重大關(guān)切。然而，只有概念并沒有什么實(shí)際意義，也不能表達(dá)一個(gè)完整的的思想，只有將概念和概念按一定的規(guī)則連接起來，才能形成命題，表達(dá)一個(gè)完整的思想。命題彩線串珠般把概念連接起來，共同編織光輝燦爛的數(shù)學(xué)理論體系，集中體現(xiàn)了人類對世界的認(rèn)識成果。美國的數(shù)學(xué)教育正試圖證明這一點(diǎn)：數(shù)學(xué)不僅僅是計(jì)算和應(yīng)用公式，數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)是思維方式，是演繹和歸納的邏輯思維方式。案例中，教師給予一定的假設(shè)和條件（主要就是概念），要求學(xué)生依據(jù)這些假設(shè)和條件，通過全方位的思考和辨析，由淺表向縱深發(fā)展，漸漸探尋到問題的本源，進(jìn)而證明“女孩=魔鬼”，這就使得一些“純數(shù)學(xué)”的抽象概念迅即人文化、具體化了。在命題的證明中，學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)密性都得到了一定程度的增強(qiáng)，提高了解題能力和處理信息（教師給出的各種假設(shè)）的能力，逐步體會到“言必有據(jù)”的推理特征，使懵懂的孩子領(lǐng)悟理性的精神，接受古希臘理性文明的洗禮，在內(nèi)心深處出現(xiàn)了理性文明的震撼。這種震撼，和欣賞羅中立的油畫，聽貝多芬的命運(yùn)交響曲一樣，都是一次心靈的激蕩。

思考2：對命題有什么啟示？

眾所周知，學(xué)生只有保持對數(shù)學(xué)的好奇心，主動(dòng)去探索數(shù)學(xué)的基本規(guī)律，才能成為一個(gè)懂?dāng)?shù)學(xué)的人。我想，即使一個(gè)不喜歡數(shù)學(xué)學(xué)科的人，看到這樣的問題，一定也會眼前一亮，在心里琢磨一下應(yīng)該怎么做吧？有評價(jià)者指出，這樣一道非常有趣的試題，即使生性再懶惰的學(xué)生也會興趣盎然，因?yàn)檫@樣的試題可以讓學(xué)生自由發(fā)揮想象力，在享受考試的同時(shí)加深對一些知識的了解和掌握。

在教學(xué)中，如果我們只講解具體的知識點(diǎn)，而沒有讓學(xué)生去證實(shí)或偽證自己的假設(shè)，那就忽略了對學(xué)生的懷疑精神的培養(yǎng)。實(shí)際上，上面的這道考題對培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理和歸納推理的能力而言，更具有前瞻性。反觀國內(nèi)的數(shù)學(xué)試題，大部分都陷入單純的數(shù)字演算之中，為了知識而使數(shù)學(xué)失去了本來的豐富多彩，也使學(xué)生喪失了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和熱情，其實(shí)是本末倒置。

我?！傲暌回炛茖?shí)驗(yàn)班”招生考試的一道試題：

我國唐代的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家張遂曾以“李白喝酒”為題材編了一道算題：李白街上走，提壺去買酒。遇店加一倍，見花喝一斗（斗是古代酒具，也可作計(jì)量單位）。三遇店和花，喝光壺中酒，借問此壺中，原有多少酒？（要求寫出解題的思路）

這道開放性問題引發(fā)了我們的思考。

思考1：什么樣的問題可以稱為好問題？

這道題的創(chuàng)新點(diǎn)主要有以下幾點(diǎn)：

第一，從問題創(chuàng)設(shè)看，具有很大的趣味性。問題以幽默詼諧的打油詩呈現(xiàn)，詩意明白，問題清楚——李白酒壺中原有多少斗酒？

第二，從解法上看，可以順?biāo)?，也可以逆想。順?biāo)技磸摹霸芯频臄?shù)量”出發(fā)，“持因探果”，順流而下：設(shè)“壺中原有x斗酒”，“遇店加一倍”——乘以2，“見花喝一斗”——減去1，直至“喝光壺中酒”——結(jié)果為0。逆想即從“喝光壺中酒”——結(jié)果為0出發(fā)，“持果索因”，逆流而上：“見花喝一斗”——把酒還入壺中，加上1，“遇店加一倍”——把酒還給店家，除以2。所以此題能很好地考查學(xué)生的分析和推理能力。

第三，從解題結(jié)果看，“三遇店和花”，沒有說明店和花的排列順序，所以店與花的順序不同，便有不同的結(jié)果，可謂“答案豐富多彩”，很好地考查學(xué)生的發(fā)散思維。

第四，從解題要求看，要求考生寫出自己的解題思路，也就是回答出“怎么想到的”，對解法和結(jié)果要有一個(gè)“合理的解釋”，進(jìn)一步考查了學(xué)生的邏輯思維能力和語言表達(dá)能力。

試題留給學(xué)生很大的想象空間，涌現(xiàn)出不少極富創(chuàng)意的答案。下面我們來看學(xué)生的精彩解答。

解法1：我認(rèn)為李白最后一次遇到的不一定是“花”，下面我以“店花店花花店”為例，我的解答是（從最后一個(gè)空倒著填寫）：

順序店花店花花店

酒壺中的酒（斗）121210

所以，酒壺中原有1斗酒。

評析：這是解答的精彩之作，它構(gòu)思新穎，沒有流于俗套（在網(wǎng)上有許多人對此題進(jìn)行解答，都認(rèn)為要喝光壺中的酒，李白最后一次遇到的一定是“花”）。在解答問題時(shí)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)中的逆向思維，巧妙地借助“表格法”，從最后的結(jié)果入手，通過填寫表格，“順藤摸瓜”，圓滿解決問題。解答簡便，操作簡單，因此思維顯得開闊、嚴(yán)謹(jǐn)。

還有學(xué)生把題目“還原”成一個(gè)故事，很有趣味性。

解法2：我想，李白“三遇店和花”的順序可能是“花花花店店店”，他的酒壺中原有3斗酒，第一次遇見花，喝了1斗，第二次又遇見花，喝了1斗，第三次還是遇見花，喝光了壺中最后1斗酒，這時(shí)，李白已經(jīng)喝得快醉了。他遇到一家酒店，準(zhǔn)備買點(diǎn)酒，于是走到店里，對店小二說：“店家，買酒！”店小二說：“買多少？”“里面有多少就買多少！”店小二一看，怎么一個(gè)空壺？不行，這位客官喝多了，不能讓他再喝了，于是，把壺還給了李白。后來，李白遇到兩家酒店，也都是同樣的結(jié)果。于是，李白拿著空壺回家了。

總之，此題涉及對“三遇店和花”順序的不同排列，于是，問題有多種答案（經(jīng)過計(jì)算可知，不同的排序結(jié)果有20種）。雖然沒有要求學(xué)生回答出所有的結(jié)果，但學(xué)生的每一種解答，都很好地展現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓我們看到學(xué)生的智慧在閃光。

上面兩道考題展現(xiàn)出命題的異曲同工之妙，演繹隔海相望的兩個(gè)不同國度的精彩。這樣的試題可以稱為好的問題。

思考2：“分?jǐn)?shù)重要”還是“思維重要”？

1984年4月20日，錢學(xué)森接受北師大附中教師訪問時(shí)說，自己念書時(shí)附中的選修課很多，“每天中午大家吃了午飯，在教室里互相交談感興趣的各種科學(xué)知識，數(shù)學(xué)的、物理的、化學(xué)的，什么都有……”可以看出，那時(shí)的學(xué)生沒有考試追高分的壓力，他們把大量的時(shí)間用來“玩”，其實(shí)他們的“玩”，就是讀課外書、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)和外出實(shí)踐。正是這種沒有過多限制、形式多樣的教育讓錢老對知識充滿了興趣，他博覽群書，對探索新知充滿了興趣。著名數(shù)學(xué)教師傅仲孫先生提倡創(chuàng)新，在給學(xué)生的測驗(yàn)評分時(shí)別出心裁，如果出5道題，學(xué)生都答對了，但解法平淡，只給80分；如果答對4道題，但解法有創(chuàng)新，就給100分，還要另加獎(jiǎng)勵(lì)。

在考試中出現(xiàn)這樣的題目，有利于學(xué)生獨(dú)立思考能力和發(fā)散性思維的培養(yǎng)，無疑是對現(xiàn)行“填鴨式”教學(xué)、“唯標(biāo)準(zhǔn)答案”考試進(jìn)行糾偏的有力嘗試，體現(xiàn)了“創(chuàng)造力與想象力遠(yuǎn)比記憶力更重要”，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神大有裨益。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，具體的知識學(xué)習(xí)多年后學(xué)生會逐漸忘卻，但是研究問題的方法和思路一旦領(lǐng)會就終生難忘，這才是數(shù)學(xué)教育給予學(xué)生的長遠(yuǎn)影響和一生中取之不完的利息。