方差分析的基本思想

在進(jìn)行科學(xué)研究時(shí)，有時(shí)要按實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)將所研究的對(duì)象分為多個(gè)處理組進(jìn)行不同的處理，其中處理因素(treatment)至少有兩個(gè)水平（level）。這類科研資料的統(tǒng)計(jì)分析，是通過(guò)所獲得的樣本信息來(lái)推斷各處理組均數(shù)間的差別是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，即處理是否有影響。常用采用的分析方法就是方差分析（ANOVA，analysis of variance），這是由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher首創(chuàng)，以F命名，故方差分析又稱為F檢驗(yàn)。

設(shè)處理因素有g(shù)(g>= 2)個(gè)不同水平，實(shí)驗(yàn)對(duì)象隨機(jī)分為g組，分別接受不同水平的干預(yù)，第i(i=1,2,...,g)組的樣本含量為n_{i}，第i處理組的第j(j=1,2,…ni個(gè)觀測(cè)值用Xij來(lái)表示，其計(jì)算結(jié)果可能可以整理成以下面的形式，如下所示：

方差分析的目的就是在 成立的條件下，通過(guò)分析各處理組均數(shù)之間的差別大小，推斷g個(gè)總體均數(shù)之間有無(wú)差別，從面說(shuō)明處理因素的效應(yīng)是否存在。

記總均數(shù)為

各處理組均數(shù)為

總例數(shù)為其中，g為處理組數(shù)。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有三個(gè)不同的變異：
1. 總變異。全部觀測(cè)值大小不同，這種變異稱為總變異?？傋儺惖拇笮】赡苡秒x均差平方和(sum of squares of deviations from eman,SS)來(lái)表示，即各觀測(cè)值與總均數(shù)X差值的平方和，記為。公式略。

2. 組間變異。各處理組由于接受處理的水平不同，各組的樣本均數(shù)也大小不等，這種變異稱為組間變異，其大小用各組均數(shù)與總均數(shù)的離均差平方和表示，記為SS組間，計(jì)算公式略。

各組均數(shù)之間相關(guān)越懸殊，它們與總均數(shù)的差值越在在，就越大，反之就越小。反應(yīng)了各組均數(shù)的變異，存在這種變異的原因有：①隨機(jī)誤差；②處理的不同水平可能對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響。

3. 組內(nèi)變異。在同一處理組中，雖然每個(gè)實(shí)驗(yàn)對(duì)象接受的處理相同，但觀測(cè)值仍各不相同，這種變異稱為組內(nèi)變異（誤差）。組內(nèi)變異用組內(nèi)各觀測(cè)值與其所在組的均數(shù)的差值的平方和表示，記為，表示隨機(jī)誤差的影響。公式略。

總離均差平方和分解為組間離均差平方和與組內(nèi)離均差平方和，就有了以下公式：

各離均差平方和的自由度為：

變異程序除與離均差平方和的大小有關(guān)外，還與其自由度有關(guān)，由于各部分自由度不相等，因此積分離均差平方和不能直接比較，須將各部分離均差平方和除以相應(yīng)的自由度，其比值稱為均方差，簡(jiǎn)稱為均方（mean square, MS)。公式為：

如果各組樣本的總體均數(shù)相等()，即各處理組的樣本來(lái)自相同的總體，無(wú)處理因素的作用，則組間變異同組內(nèi)變異一樣，只反映隨機(jī)誤差作用的大小，組間均方與組內(nèi)無(wú)方的比值稱為F統(tǒng)計(jì)量，如下所示：

如果F值接近于1，就沒有理由拒絕H0;反之，F(xiàn)值越大，拒絕H0的理由越充分，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論證明，當(dāng)H0成立時(shí)，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量服從F分布，方差分析是單側(cè)F檢驗(yàn)。

變異是方差分析的基本思想

上面的話可能不太好理解?，F(xiàn)在用大白話來(lái)理解一下，例如我們要研究某個(gè)化合物是否有改善肥胖的效果，我們最初肯定是要做動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，動(dòng)物實(shí)驗(yàn)的話，例如采用C57的小鼠，分為5組，第1組，給生理鹽水，第2組，給減肥藥（相當(dāng)于陽(yáng)性對(duì)照），第3組，給高劑量的化合物，第4組，給中劑量的化合物，第5組，給低劑量的化合物。分別喂一段時(shí)間后，我們發(fā)現(xiàn)小鼠的體重有所變化，這個(gè)變化由兩部分構(gòu)成，第一個(gè)就是外界的刺激因素導(dǎo)致的，第二種就是小鼠自身導(dǎo)致的。這種變化我們可以稱為變異（variance），方差分析研究的本質(zhì)就是這種變異（體重的變化，不是基因變異那種變異），方差分析的英語(yǔ)就是Analysis of variance，如果外界的刺激的因素導(dǎo)致的變異程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于小鼠自身因素導(dǎo)致的變異，那么我們就可以認(rèn)為，導(dǎo)致小鼠體重這種變異是由外界刺激引起的。

不過(guò)這樣還有一個(gè)問(wèn)題，因?yàn)閿?shù)據(jù)越多，變異程度就越大，為了解決這個(gè)問(wèn)題，就需要用變異除以自由度（例數(shù)-1），這樣比較的就是平均的變異，因此方差分析中就出現(xiàn)了均方（MS）和組內(nèi)均方的概念。組間均方/組內(nèi)均方就是通常所說(shuō)的F值，實(shí)際上代表了這樣一個(gè)含義：如果組間變異遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于組內(nèi)變異，那么組間均方除以組內(nèi)均方的值肯定很大，反之，這一值就會(huì)很小。但是，到底大到什么程度才認(rèn)為有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義呢，那就得根據(jù)F分布來(lái)判斷。

方差分析的應(yīng)用條件

多個(gè)樣本均數(shù)比較的方差分析其應(yīng)用條件為：①各樣本是相互獨(dú)立的隨機(jī)樣本，均來(lái)自**正態(tài)分布總體；②相互比較的各樣本的總體方差相等，即具有等方差齊性。

R中的方差分析函數(shù)

所用的函數(shù)為aov()：
語(yǔ)法為：aov（formula,data=dataframe）
其中formula可使用的特殊符號(hào)如下，其中y為因變量，A、B、C為自變量：

單因素方差分析

單因素方差分析（one-way ANOVA）是指對(duì)單因素試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，檢驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著性影響的方法。單因素方差分析是用來(lái)檢驗(yàn)多個(gè)平均數(shù)之間的差異，從而確定因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著性影響的一種統(tǒng)計(jì)方法。對(duì)于完全隨機(jī)設(shè)計(jì)試驗(yàn)且處理數(shù)大于2時(shí)可以用單因素方差分析（等于2 時(shí)用t檢驗(yàn)）。離差平方和的分解公式為：SST(總和)=SSR(組間)+SSE(組內(nèi))，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量為MSR/MSE，MSR=SSR/k-1,MSE=SSE/n-k。其中SST為總離差、SSR為組間平方和、SSE為組內(nèi)平方和或殘差平方和、MSR為組間均方差、MSE為組內(nèi)均方差。

案例分析

單因素方差分析例4-2：某醫(yī)生為了研究一種降血脂新藥的臨床療效，按統(tǒng)一納入標(biāo)準(zhǔn)選擇120名高血脂患者，采用完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方法將患者等分為4組（具體分組方法見例4-1），進(jìn)行雙盲試驗(yàn)。6周后測(cè)得低密度脂蛋白作為試驗(yàn)結(jié)果，見表4-3。問(wèn)4個(gè)處理組患者的低密度脂蛋白含量總體均數(shù)有無(wú)差別?
數(shù)據(jù)如下所示：

計(jì)算過(guò)程如下所示：

1. 導(dǎo)入數(shù)據(jù)

2.正態(tài)檢驗(yàn)

方差分析需要一定的假設(shè)，即數(shù)據(jù)集應(yīng)該符合正態(tài)和各組的方差相等，可以分別用shapiro.test和bartlett.test檢驗(yàn)從P值觀察到這兩個(gè)假設(shè)是符合的。對(duì)于不符合假設(shè)的情況，我們就要用到非參數(shù)方法，例如Kruskal-Wallis秩和檢驗(yàn)

結(jié)果如下所示：

P值大于0.05說(shuō)明數(shù)據(jù)正態(tài)P值大于0.05說(shuō)明數(shù)據(jù)正態(tài)

3. 方差齊性檢驗(yàn):

方差齊性檢驗(yàn)就是檢驗(yàn)各組樣本所代表的總體方差是否一致的檢驗(yàn)，兩樣本方差齊性檢驗(yàn)使用Bartlett法，同樣，它也適用于多樣本的方差齊性檢驗(yàn)，它是它要求所檢驗(yàn)的樣本總體符合正態(tài)分頁(yè)，當(dāng)不符合正態(tài)分布的時(shí)候，就不能使用，則要用Levene檢驗(yàn)。Levene檢驗(yàn)不受數(shù)據(jù)頒販限制，是一種穩(wěn)健的檢驗(yàn)，因而被廣泛地認(rèn)為是一種標(biāo)準(zhǔn)的檢驗(yàn)方差齊性的檢驗(yàn)。

方差齊性通常用bartlett檢驗(yàn)

結(jié)果如下所示：

結(jié)果顯示p值大于0.05，可認(rèn)為方差齊性。

或者用levene檢驗(yàn)：

結(jié)果如下所示：

結(jié)果發(fā)現(xiàn)sig值大于0.05,表明符合方差齊性假設(shè),可以進(jìn)行進(jìn)一步的參數(shù)檢驗(yàn)。

4. 檢驗(yàn)整體均值是否有差異

結(jié)果如下所示：

其中p值小于0.001，因此各組之間存在顯著性差異。另外，R給出的F值是24.88，而書中的例子是24.93，書中的值是由查F表得來(lái)的，是個(gè)范圍，R中的是具體值。

另外也可以采用oneway.test()函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，如下所示：

5. 均數(shù)間的多重比較

方差分析得出總體之間有差異，要進(jìn)一步知道哪兩組之間有差異，就要使用均數(shù)間的多重比較，常用的比較方法有SNK檢驗(yàn)（q檢驗(yàn)），LSD檢驗(yàn)，Bonferroni檢驗(yàn)，Dunnett檢驗(yàn)，TurkeyHSD檢驗(yàn)。

現(xiàn)在計(jì)算各組之間的均數(shù)與SD

結(jié)果如下所示：

繪制箱形圖可能觀察到不同因素對(duì)于因變量的影響

繪制有置信區(qū)間的組均值圖

圖片如下所示：

6. 組間均值的兩兩比較

通過(guò)方差分析后，如果整體有差異，則進(jìn)一步進(jìn)行兩兩比較，常用的方法有LSD，TukeyHSD，Scheffe檢驗(yàn)，如下所示：

LSD檢驗(yàn)

結(jié)果如下所示：

注：R給出的F值是24.88，而書中的例子是24.93，書中的值是由查F表得來(lái)的，是個(gè)范圍，R中的是具體值。
Bonferroni校正('bonferroni')，用于多重比較的p值校正，次數(shù)不多時(shí)適用。如果在同一數(shù)據(jù)集上同時(shí)檢驗(yàn)n個(gè)獨(dú)立的假設(shè)，那么用于每一假設(shè)的統(tǒng)計(jì)顯著水平，應(yīng)為僅檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè)時(shí)的顯著水平的1/n。舉個(gè)例子：如要在同一數(shù)據(jù)集上檢驗(yàn)兩個(gè)獨(dú)立的假設(shè)，顯著水平設(shè)為常見的0.05。此時(shí)用于檢驗(yàn)該兩個(gè)假設(shè)應(yīng)使用更嚴(yán)格的0.025。即0.05* (1/2)。該方法是由Carlo Emilio Bonferroni發(fā)展的，因此稱Bonferroni校正。在藥理實(shí)驗(yàn)中，動(dòng)物數(shù)通常不會(huì)太多，用Bonferroni校正的居多。

TukeyHSD檢驗(yàn)

結(jié)果如下所示：

圖片結(jié)果：

glht()函數(shù)做Tukey檢驗(yàn)

此外，multcomp包中glht()函數(shù)提供了多重均值更全面的方法，適用于線性模型和廣義線性模型，下面的代碼重現(xiàn)Tukey HSD檢驗(yàn)，如下所示：

計(jì)算結(jié)果如下所示：

繪制不同組的箱線圖，如下所示：

7.殘差分析

這一步做殘差分析就是為了再次驗(yàn)證原始數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布，如下所示：

殘差的QQ圖如下所示（如果不了解QQ圖，可以參考這篇文章《分位數(shù)及其應(yīng)用》：

shapiro檢驗(yàn)，如下所示：

p值的為0.4026，可以認(rèn)為殘差滿足正態(tài)性。

繪制殘差圖，如下所示：

對(duì)殘差進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)，如下所示：

P值大于0.05，可以認(rèn)為殘差滿足方差齊性。

參考資料

1. 白話統(tǒng)計(jì).馮國(guó)雙

2. 醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué).第四版.孫振球