一、底數(shù)不統(tǒng)一

對數(shù)的運算性質(zhì)是建立在底數(shù)相同的基礎(chǔ)上的，但實際問題中，卻經(jīng)常要遇到底數(shù)不相同的情況，碰到這種情形，主要有三種處理的方法：

1、化為指數(shù)式

對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們之間有著密切的關(guān)系：log_aN=ba^b=N，因此在處理有關(guān)對數(shù)問題時，經(jīng)常將對數(shù)式化為指數(shù)式來幫助解決。

2、利用換底公式統(tǒng)一底數(shù)

換底公式可以將底數(shù)不同的對數(shù)通過換底把底數(shù)統(tǒng)一起來，然后再利用同底對數(shù)相關(guān)的性質(zhì)求解。

3、利用函數(shù)圖象

函數(shù)圖象可以將函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)直觀地顯現(xiàn)出來，當(dāng)對數(shù)的底數(shù)不相同時，可以借助對數(shù)函數(shù)的圖象直觀性來理解和尋求解題的思路。

例1、若a≠1，b≠1，a＞0，b＞0，且滿足關(guān)系式log_a2=，求a，b的值。

分析：已知關(guān)系式中的底數(shù)不相同，因此可設(shè)log_a2==m，轉(zhuǎn)化為指數(shù)來來解決

解析：設(shè)log_a2==m，則

。

于是有  ，

因為   a^m＞0,

所以 ，

于是 log_a2=log_b3=－１，

解得 。

例2、設(shè)log₂3=a，log₃7=b，求log₄₂56的值。

分析：兩個已知對數(shù)式的底數(shù)不相同，無法直接進行計算，所以首先應(yīng)考慮統(tǒng)一底數(shù)，從條件看應(yīng)該把底數(shù)統(tǒng)一為3。

解析：由log₂3=a，可得

，

所以

。

例3、若log_a2＜log_b2＜0，則a，b滿足的關(guān)系是（      ）

（A）1＜a＜b

（B）1＜b＜a

（C）0＜a＜b＜1

（D）0＜b＜a＜1

分析：兩個對數(shù)式底數(shù)不同，但真數(shù)相同，把兩個對數(shù)式看作是兩個對數(shù)函數(shù)在自變量取同一個值時的兩個不同的函數(shù)值，可通過圖象來分析。

解析：log_a2，log_b2可以看成是對數(shù)函數(shù)y= log_ax，y= log_bx在x=2時的兩個函數(shù)值，可得大致圖象（如圖）。顯然，a，b均小于1，

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的底數(shù)和圖象的關(guān)系可得0＜b＜a＜1，故選（D）。

二、真數(shù)是和差的形式

利用對數(shù)的運算性質(zhì)可將運算級別較高的運算降底為級別較低的運算，而和與差是運算中的最低級別，所以在處理真數(shù)是和差形式的對數(shù)問題時，主要有兩種處理方法：①整體考慮；②對真數(shù)因式分解。

例4、求滿足等式

的x的值。

分析：所給等式出現(xiàn)了對數(shù)之和的同時，又出現(xiàn)了一項含有x但又不帶對數(shù)符號的項，因此直接運用對數(shù)的運算法則及相關(guān)的性質(zhì)無法運算，但兩個帶有對數(shù)符號的項的結(jié)構(gòu)相似，因此解答此題要從結(jié)構(gòu)上整體考慮。

解析：由，

得，

所以  

，

令f(x)=

f(2x)=，

于是有   f(x)=－f(2x)，

易證  f(x)是R的減函數(shù)，又是奇函數(shù)，

故由f(x)=f(－2x)，可得

x=－2x，x=0。

三、對數(shù)與對數(shù)相乘

兩對數(shù)相乘無法利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解，因此在解決此類問題時，要根據(jù)所給的關(guān)系式認(rèn)真分析其結(jié)構(gòu)特點，主要有三種處理方法：①利用換底公式；②整體考慮；③化各對數(shù)為和差的形式。

例5、設(shè)log₂3·log₃4·log₄5·log₅6·log₆7·log₇8·log₈m=log₃27，求m的值。

分析：已知等式是七個對數(shù)之積，其特點是：從第二個對數(shù)開始的每一個對數(shù)的底數(shù)是前一個對數(shù)的真數(shù)，真數(shù)是后一個對數(shù)的底數(shù)，因此采用換底公式將各對數(shù)換成以2為底的兩個對數(shù)的商，然后約分可達到目的。

解析：由已知條件得

log₂3·log₃4·log₄5·log₅6·log₆7·log₇8·log₈m

=log₂3·

=log₂m=log₃27=3

所以m=8。

例6、計算：（lg2）²lg250+(lg5)²lg40。

分析：對數(shù)的乘積，無法直接運用對數(shù)性質(zhì)，可以將對數(shù)lg250，lg40的真數(shù)分解為積的形式，進而將對數(shù)轉(zhuǎn)化為和差的形式。

解析：原式

=（lg2）²lg(5²×10)+（lg5）²lg(2²×10)

=(lg2)²(2lg5+1)+(lg5)²(2lg2+1)

=(lg2)²+2lg2(lg5)²+2lg5(lg2)²+(lg5)²

=(lg2)²+2lg2lg5(lg5+lg2)+(lg5)²

=(lg2)²+2lg2lg5+(lg5)²

=(lg2+lg5)²=(lg10)²=1。