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三角函數(shù)是最基本的初等函數(shù)之一，是以角度(數(shù)學上常以弧度制為基礎)為自變量，角度對應任意角終邊與單位圓交點坐標為應變量的函數(shù)。 所以，我們要想理解三角函數(shù)，得從如下幾個角度入手。 ①特殊三角形中的三角函數(shù) 我們在初中(我之前的文章也有提過)學習過三角函數(shù)的入門知識。 如下圖：即三角函數(shù)的定義，正限制是什么？余弦值又是什么？正切值又是什么？ 看圖可以知道，正弦sin表示對邊比斜邊，而余弦cos表示鄰邊比斜邊，正切tan表示對邊鄰邊。 這是最基本的概念，我們不需要知道為什么？因為數(shù)學家就是這樣定義的，接下來我們要用這個概念了解任意角的三角函數(shù)。 ②任意三角函數(shù)，加坐標系，引入單位圓是基礎 了解了三角函數(shù)的基本定義是不夠的，因為有的小伙伴發(fā)現(xiàn)無法求出sin167°的值。那么如何才可以求出呢？ 細心的朋友會發(fā)現(xiàn)，哎，不對啊，我們初中了解的知識不是完整的函數(shù)啊，只是其中的特殊例子，所以無法普遍應用很正常啊！那么今天我們就來正真了解一下三角函數(shù)。 首先，把三角形放入坐標系中，如下圖。接著引入單位圓(單位圓，斜邊為1)，我們會發(fā)現(xiàn)∠BOC的正弦值就等于B點的縱坐標，而它的余弦值就是他的橫坐標。于是乎：B(cos∠BOC,sin∠BOC) ③任意角三角函數(shù)定義 我們以OX為始邊(X軸正半軸)，O為軸心，開始逆時針旋轉，OX與圓交點為C。 我們會發(fā)現(xiàn)，當旋轉角度為0°-90°時，就是我們初中接觸過的三角函數(shù)，而大于90°小于180°的時候，就成了鈍角的函數(shù)了。鈍角的函數(shù)怎么求呢？ 我們通過上面結論，知道終邊與圓的交點坐標就是旋轉角度的正弦和余弦值。而在0°到180°，鈍角的函數(shù)值都有銳角與其關于Y軸對稱。而由對稱知識可知，關于y對稱，Y坐標不變，而X坐標互為相反數(shù)。即正弦不變，余弦互為相反數(shù)。即sinX＝sin(180°-X)，cosX＝-cos(180°－X)，得到這點，我們就可以把任意鈍角轉化為銳角，就可以求出其函數(shù)值了。于是有sin167°＝sin13° ④兩個特殊例子 根據(jù)上面的思維，我們繼續(xù)分析。當一個角分別加90°，180°時，結果又會如何呢？ 先加90°，我們會發(fā)現(xiàn)(看上圖)這是它的終邊交點坐標與之前角度相比有了變化。什么變化呢？仔細看一下會明白它的縱坐標是原圖的橫坐標，而橫坐標是其縱坐標。于是可得公式:sinx＝cos(90°＋x) cosx＝sin(90°＋x) 再來看180°的圖形(下圖)，我們發(fā)現(xiàn)加180°之后，兩個交點關于原點O對稱。 又初中對稱知識可知，關于原點對稱的兩點，其橫縱坐標互為相反數(shù)。 于是，sinx＝-sin(180°＋x) cosx＝-cos(180°＋x) ⑤弧度制 三角函數(shù)是以角度為自變量的，為了方便運算，引入了弧度制。 那么什么是弧度制呢？(看下圖) 弧長與半徑的比就是弧的度數(shù)，于是180°的弧對應的弧度是π，90°＝π/2，60°＝π/3 ⑥幾個基本的公式 有了上面的基礎，我覺得你看下表就應該可以看明白了吧！學三角函數(shù)的時候，老師都會給大家講解公式的推導。有的朋友看一下不懂，就覺得把公式記住就可以了。于是，他就開始記下面的公式，然后經常出錯。上面我給大家講解了一下思路，希望大家按著這個思路把下面公式一個一個自己弄出來，這樣我覺得你的三角函數(shù)這塊就沒多大問題了。 ⑦思考題 求出下面各函數(shù)值 sin135°，cos135°，sin225°，cos225° 歡迎大家評論區(qū)留言，我會第一時間回復大家。 我是藍色阿貍，記得關注我哦！ 有不明白的地方私聊我！ |
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