很多文獻建議根據(jù)有效模態(tài)質量來確定所需的模態(tài)數(shù)量，其實這個方法有非常大的局限性。有效模態(tài)質量僅針對約束模態(tài)，只適用于基礎激勵引起結構響應的情況。而且很多情況下，僅靠有效模態(tài)質量并不能正確反映模態(tài)對結構響應的貢獻大小。     

最近抽時間讀了幾篇關于有效模態(tài)質量的文獻，做了一些筆記，自己也做了一些公式推導。整理出一篇短文章與大家分享。

本文首先討論剛體位移模態(tài)參與因子的性質，進而討論有效模態(tài)質量的定義和其物理意義，最后總結有效模態(tài)質量概念的適用范圍。

我們以一個包含n個集中質量，每個集中質量僅有一個x向運動自由度的振動系統(tǒng)為例，如圖1所示。

圖1 多自由度振動系統(tǒng)承受基礎激勵

該系統(tǒng)固定在基礎上，基礎的振動導致系統(tǒng)的振動，運動方程如下：

其中{U}為各集中質量相對于基礎的位移，ü_b(t)為基礎的運動加速度，[M]、[C]和[K]分別為系統(tǒng)的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，{I}為n階單位向量。

在線性范圍內(nèi)，結構位移響應可以做模態(tài)變換，由物理坐標轉換為模態(tài)坐標，

其中{φ_i}為第i階約束模態(tài)向量，q_i為第i階模態(tài)坐標。

表示系統(tǒng)剛體位移的單位向量{I}也可以表示為各階模態(tài)向量{φ_i}的線性疊加，即

其中γ_i我們稱之為剛體位移模態(tài)參與因子，表征的是系統(tǒng)不發(fā)生彈性變形，僅跟隨基礎發(fā)生剛體位移時，各階約束模態(tài)的貢獻量。

系統(tǒng)的質量陣[M]和剛度陣[K]滿足模態(tài)正交性條件，我們假定阻尼矩陣[C]為經(jīng)典阻尼，則阻尼矩陣[C]也滿足模態(tài)正交性。這樣動力學方程（1）可以解耦為n個獨立方程。

其中M_i、C_i和K_i分別為第i階模態(tài)質量、模態(tài)阻尼和模態(tài)剛度，其定義如下：

求解這n個獨立方程，解得各階q_i，再利用公式(2)，即可得到未知量{U}。

方程（4）可以看作將基礎的振動加速度激勵按各階模態(tài)進行分解，得到n個單自由度方程，剛體位移模態(tài)參與因子γ_i也就是加速度激勵分解因子。

結構模態(tài)向量{φ_i}僅僅是反映各節(jié)點（注意不是指模態(tài)節(jié)點）位移量的比值，可以乘以任意常數(shù)因子，所以γ_i的數(shù)值不固定。M_i、C_i和K_i的數(shù)值也不固定，只是保持相同的比例關系，如下式，

其中ω_i為第i階固有頻率，ζ_i為第i階模態(tài)阻尼比。

也就是說解耦后的單自由度方程，可以看做一個振動質量為M_i的單自由度振動系統(tǒng)，如圖2所示。該單自由度系統(tǒng)的阻尼比和固有頻率是確定的，但其質量M_i以及加速度載荷因子γ_i的取值并不唯一，而是跟模態(tài)向量{φ_i}的縮放因子有關。所以該單自由度振動系統(tǒng)的位移響應和支座力響應也不固定，模態(tài)向量{φ_i}的縮放將導致響應數(shù)值發(fā)生變化。

圖2 單自由度振動系統(tǒng)

如果我們不是使用全部的n階模態(tài)，而是進行了模態(tài)截斷，只使用前m階模態(tài)，求得前m個q_i。則得到的未知量的近似解{U_T}為

進而可得

對比式(1)和式(8)，可知近似解{U_T}所導致的載荷誤差為

只要模態(tài)截斷階數(shù)m取得越大，則Σ{φ_i}γ_i就越接近{I}，則載荷誤差{δ_f}就越小。所以有些情況下可以根據(jù)剛體位移模態(tài)參與因子來控制模態(tài)截斷階數(shù)。

剛體位移模態(tài)參與因子有以下幾個特點：

1. 是一個單位的量，其單位為長度單位的倒數(shù)。

2. 結構模態(tài)可以任意縮放，所以剛體位移模態(tài)參與因子的取值也不唯一，各階剛體位移模態(tài)參與因子之間也不存在固定比例關系。

3.各階剛體位移模態(tài)參與因子之和通常也不是固定值。

4.雖然剛體位移模態(tài)參與因子取值不唯一，但剛體位移模態(tài)參與因子與模態(tài)矢量的乘積{φ_i}γ_i是固定的。

第i階模態(tài)質量的定義為

第i階有效模態(tài)質量的定義如下

有效模態(tài)質量實際就是用剛體位移模態(tài)參與因子縮放后的模態(tài)γ_i{φ_i}代替原始模態(tài){φ_i}后計算出的模態(tài)質量。

各階有效模態(tài)質量的和等于系統(tǒng)總質量，證明如下。

因為各階模態(tài)φ_i關于質量矩陣有正交性，即

再根據(jù)公式(3), 可得

將n階有效模態(tài)質量疊加

也就是說n階有效模態(tài)模態(tài)質量之和恰好等于系統(tǒng)的總質量。

多自由度系統(tǒng)中各集中質量相對于基礎的加速度為{ü}基礎的運動加速度為ü_b(t)，各集中質量的絕對加速度為{ü+ü_b(t)}。因為該振動系統(tǒng)所受外力僅來源于基礎，所以各集中質量的慣性力之和就是結構底部的支座力。

前面提到過，某階模態(tài)向量乘以任意常數(shù)因子后仍然代表該階模態(tài)振型，所以我們可以用{φ_i^e}={γ_iφ_i}代替第i階模態(tài)向量{φ_i}。

顯然{φ_i^e}所對應的剛體位移模態(tài)參與因子{γ_i^e}=1，即

我們用q_i^e(t)表示模態(tài)向量{φ_i^e}的模態(tài)坐標，該階模態(tài)對于位移{U}的貢獻為q_i^e(t){φ_i^e}，該階模態(tài)對于剛體位移{I}的貢獻為{φ_i^e}，代入式（16），求得該階模態(tài)對于支座力的貢獻為

其中K_i^e和C_i^e為模態(tài)向量{φ_i^e}所對應的模態(tài)剛度和模態(tài)阻尼

模態(tài)坐標q_i^e可通過解耦后的方程求出

如果我們分別以M_i^e、K_i^e和C_i^e為質量、剛度和阻尼，建立一個單自由度振動系統(tǒng)，所受激勵為基礎加速度激勵ü_b(t)，相對于基礎的位移用z表示，如圖3。則動力學方程為

圖3 以有效模態(tài)質量建立的單自由度振動系統(tǒng)

求出z后，進而可求得該單自由度振動系統(tǒng)的支座力

將方程(20)和（18）與方程（21）和（22）對比，可知該單自由度系統(tǒng)的支座力，恰好就是多自由度振動系統(tǒng)第i階模態(tài)所產(chǎn)生的支座力。

所以，一個承受基礎激勵的N自由度振動系統(tǒng)，可以解耦為N個以各階有效模態(tài)質量為振動質量的單自由度振動系統(tǒng)，每個單自由度系統(tǒng)所產(chǎn)生的支座力與N自由度系統(tǒng)中該階模態(tài)所產(chǎn)生的真實支座力是相等的，這就是有效模態(tài)質量的物理意義。

上述推導是假設每個集中質量只有一個自由度，所以多自由度系統(tǒng)只有一個剛體位移方向。對于實際的空間結構，剛體位移包含三個轉動方向和三個平動方向，所以每階有效模態(tài)質量都是一個6*6的矩陣。

原則上有效模態(tài)質量是只針對約束模態(tài)的。對于自由狀態(tài)的結構，其剛體位移只需要用剛體模態(tài)描述，不需要彈性模態(tài)。所以此時剛體模態(tài)的有效模態(tài)質量就是系統(tǒng)的總質量，各階彈性模態(tài)的有效質量都為0。

從上面的推導過程可知，有效模態(tài)質量只適用于基礎激勵，并不適用于其他激勵形式。所以有效模態(tài)質量的概念主要用于建筑物的抗震設計。對于汽車上的結構，只有少數(shù)工況才可以應用此概念，比如蓄電池支架在車輛顛簸時的振動響應。

對于多自由度系統(tǒng)，如果各階模態(tài)的固有頻率與激勵頻率的比值接近相等，各階模態(tài)阻尼比也沒有太大差異，則各階模態(tài)所產(chǎn)生的支座力與其有效模態(tài)質量基本成正比。也就是說此時有效模態(tài)質量反映了各階模態(tài)對于支座力的貢獻。所以通常認為只要前m階模態(tài)的有效模態(tài)質量之和達到系統(tǒng)總質量95%以上，其它高階模態(tài)的影響可以忽略。很顯然，采用有效模態(tài)質量法進行模態(tài)截斷，可能會忽略掉對支座力貢獻較小而對結構的變形和應力影響較大的某些模態(tài)。

如果各階模態(tài)的固有頻率與激勵頻率的比值并不接近，并且某階模態(tài)頻率與激勵頻率耦合，此時即使該階有效模態(tài)質量比較小，該階模態(tài)仍然會產(chǎn)生較大的變形、應力和支座力。這種情況下就不能采用有效模態(tài)質量來控制模態(tài)截斷，而是要根據(jù)激勵頻率控制截斷頻率，通常我們將截斷頻率設置為最高激勵頻率的1.4倍。

1.有效模態(tài)質量只針對約束模態(tài)，只適用于承受基礎激勵的振動系統(tǒng)。

2.有效模態(tài)質量與剛體位移模態(tài)參與因子有密切關聯(lián)。

3.各階有效模態(tài)質量之和為系統(tǒng)的總質量。

4.利用有效模態(tài)質量建立的單自由度系統(tǒng)，其支座力與該階模態(tài)所產(chǎn)生的真實支座力相等。

5..利用有效模態(tài)質量來控制模態(tài)截斷頻率是一種比較粗糙的方法，有效模態(tài)質量僅能反映各階模態(tài)對于支座力的貢獻，而且并不適用于某階模態(tài)與激勵頻率耦合的情況。