向量數(shù)乘運(yùn)算及幾何意義

1．平面向量基本定理

如果e₁，e₂是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ₁，λ₂，使a＝λ₁e₁＋λ₂e₂，其中不共線(xiàn)的向量e₁，e₂叫表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．

2．平面向量坐標(biāo)運(yùn)算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模

設(shè)a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，則

a＋b＝(x₁＋x₂，y₁＋y₂)，a－b＝(x₁－x₂，y₁－y₂)，λa＝(λx₁，λy₁)，|a|＝.

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．

②設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則＝(x₂－x₁，y₂－y₁)，||＝.

3．平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示

設(shè)a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，其中b≠0，當(dāng)且僅當(dāng)x₁y₂－x₂y₁＝0時(shí)，向量a，b共線(xiàn)．

1.如圖所示，在△ABC中，H為BC上異于B，C的任一點(diǎn)，M為AH的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________.

2.如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，則x＝___，y＝____.

3．平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1)，B(－1,3)，若點(diǎn)C(x，y)滿(mǎn)足＝α＋β，其中α，β∈R，且α＋β＝1，則x，y滿(mǎn)足的關(guān)系式為(　　)

A．3x＋2y－11＝0  B．(x－1)²＋(y－1)²＝5  C．2x－y＝0  D．x＋2y－5＝0

4.已知A(－3,0)，B(0，)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC＝60°，設(shè)＝λ＋，則實(shí)數(shù)λ等于(　?。?span lang="EN-US" style="font-family: "Times New Roman", serif;">             A.     B.     C.     D．3

5.如圖所示，在△OAB中，＝，＝，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)＝a，＝b，以a、b為基底表示.

6.如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量、、，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ、μ∈R)，則λ＋μ的值為________．

8.在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線(xiàn)，若＝(2,4)，＝(1,3)，則＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．(－2，－4)           B．(－3，－5)     C．(3,5)         D．(2,4)

9.已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，＝3，＝2，試求點(diǎn)M，N和的坐標(biāo)10.已知點(diǎn)A(1，－2)，若向量與a＝(2,3)同向，||＝2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________．

11.已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得ka＋b與a－3b共線(xiàn)，且方向相反？

12.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c滿(mǎn)足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝(　　)．

A.                    B.          C.                  D.

13.已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，則k＝________.

14.．已知向量a＝(6，－4)，b＝(0,2)，＝c＝a＋λb，若C點(diǎn)在函數(shù)y＝sin x的圖象上，則實(shí)數(shù)λ＝________.

15．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，則m＝________.

16．給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為120°.如圖所示，點(diǎn)C在以O為圓心的圓弧上變動(dòng)，若＝x＋y，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是______．

17.已知平面內(nèi)三個(gè)向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．

(1)求滿(mǎn)足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m、n；

(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k.

18.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正△ABC中，E，F分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，若＝m，＝n，m，n∈(0,1)．設(shè)EF的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N.

(1)若A，M，N三點(diǎn)共線(xiàn)，求證：m＝n；

(2)若m＋n＝1，求||的最小值