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各種數(shù)的由來(lái) 真是神奇又有趣 數(shù)的進(jìn)化 回顧從自然數(shù)1，2，3，4，…開始，再加上分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)，直到成為實(shí)數(shù)的發(fā)展過(guò)程，可以說(shuō)它很像是許多涓涓細(xì)流匯成一條大河。 [注：本文涉及的自然數(shù)不包括0。]  自然數(shù)添上分?jǐn)?shù)，再添上負(fù)數(shù)就成為了有理數(shù)（當(dāng)然還要添上0）；有理數(shù)再加進(jìn)無(wú)理數(shù)就成為實(shí)數(shù)?？墒枪庥袑?shí)數(shù)還不夠，再加上新來(lái)的虛數(shù)，這就誕生了更廣泛的數(shù)——復(fù)數(shù)。 那么，為什么在數(shù)的世界里，要從自然數(shù)擴(kuò)大到實(shí)數(shù)呢？他細(xì)想一想，這里有個(gè)一貫的原則。比如說(shuō)，有一個(gè)人只知道10以內(nèi)的數(shù)。 1，2，3，…，10 當(dāng)然對(duì)這個(gè)人來(lái)說(shuō)：加法也是不太行的。也就是說(shuō)，即使取其中任意兩個(gè)數(shù)相加，也有可能答不上來(lái)。如果是2 3，他知道是5。要是6 7的話，他就只好說(shuō)“不知道”了。他即使知道10000以內(nèi)的數(shù)也是一樣。因?yàn)?000 7000的答案不可能在10000以內(nèi)的數(shù)里找出來(lái)。 因此，為了無(wú)限制地進(jìn)行＋運(yùn)算，就必須有無(wú)限多的自然數(shù)。這樣就產(chǎn)生了所謂無(wú)限多的自然數(shù)的整體的想法，這就是 1，2，3，… 想象有這樣一個(gè)自然數(shù)的整體，就可以自由的進(jìn)行＋運(yùn)算了。這時(shí)，自然數(shù)的整體對(duì)于＋來(lái)說(shuō)叫做閉合。由于乘法也是自然數(shù)的相乘，是加法的重復(fù)，因此也能自由地進(jìn)行。也就說(shuō)自然數(shù)的整體對(duì)于×是閉合的。 所以在只考慮＋或×的時(shí)候。只要自然數(shù)就夠用，沒(méi)有必要再考慮新的數(shù)。  可是要考慮×的逆運(yùn)算÷的時(shí)候，自然數(shù)就不再閉合。因?yàn)槿我馊蓚€(gè)自然數(shù)作除法結(jié)果卻不一定是自然數(shù)。例如2÷3的結(jié)果就不是自然數(shù)。 自然數(shù)的范圍太狹窄了，要想自由地進(jìn)行除法運(yùn)算，就必須增加新的數(shù)，這就是分?jǐn)?shù)。在自然數(shù)與分?jǐn)?shù)合起來(lái)的更寬廣的數(shù)的范圍內(nèi)，＋，×，÷就可以自由地進(jìn)行。 然而，想到＋的逆運(yùn)算－的時(shí)候，這個(gè)范圍又窄了。因?yàn)椴荒軓男?shù)減去大數(shù)，例如2－5，即使寫出這個(gè)式子，也得不出答案。 為了讓這個(gè)式子也能有答案，就必須想出－3這樣一個(gè)新數(shù)。也就是說(shuō)要自由地做－運(yùn)算，需要有一種新的數(shù)——負(fù)數(shù)。 把數(shù)的范圍擴(kuò)大到正的自然數(shù)、負(fù)的自然數(shù)及分?jǐn)?shù)，即有理數(shù)時(shí)，＋，－，×，÷四則運(yùn)算可以自由的無(wú)限制地進(jìn)行。換句話說(shuō)有理數(shù)對(duì)于四則運(yùn)算是閉合的。  19世練的天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦把對(duì)于四則運(yùn)算閉合的數(shù)的集合叫做域。按照這個(gè)叫法，也可以說(shuō)整個(gè)有理數(shù)的集合是域。當(dāng)然，叫域的除了有理數(shù)之外還有許多，對(duì)于我們來(lái)說(shuō)最熟悉的首先就是有理數(shù)。 當(dāng)數(shù)的世界擴(kuò)展到有理數(shù)時(shí)，＋，－，×，÷的計(jì)算雖然能自由地進(jìn)行，但是還不具有連續(xù)性，所以仍然不能表示直線上所有的點(diǎn)。填滿這些空缺就需要無(wú)理數(shù)。有理數(shù)與無(wú)理數(shù)合起來(lái)就是實(shí)數(shù)。有了實(shí)數(shù)就可以表示直線上所有的點(diǎn)。 總而言之，實(shí)數(shù)的集合就是對(duì)于＋，－，×，÷閉合的一個(gè)域，同時(shí)還具有連續(xù)性。到此為止，似乎可以認(rèn)為數(shù)的世界擴(kuò)展可以暫時(shí)停止了。 可是，如果實(shí)數(shù)世界就是終點(diǎn)，數(shù)的交響樂(lè)不過(guò)是缺少最后樂(lè)章的未完成的交響樂(lè)而已。隨著實(shí)數(shù)而來(lái)的最后的樂(lè)章就是復(fù)數(shù)。 四則逆運(yùn)算 以前擴(kuò)大數(shù)的世界時(shí)，在很多情況下它的契機(jī)是逆運(yùn)算。例如，由于×的逆運(yùn)算÷而增加了新的分?jǐn)?shù)；由＋的逆運(yùn)算－而產(chǎn)生了新的負(fù)數(shù)。從實(shí)數(shù)產(chǎn)生復(fù)數(shù)的契機(jī)也仍然基于逆運(yùn)算。 假如我們對(duì)于x這樣一個(gè)實(shí)數(shù)任意進(jìn)行＋，－，×，÷四則運(yùn)算時(shí)，可得到以下的式子：  不管這些式子多么復(fù)雜，也只是＋，－，×，÷的組合，所以只要x是實(shí)數(shù)，代入計(jì)算的值就也是實(shí)數(shù)。 比如設(shè)下面式子等于y：  假定這個(gè)式子是從x算出y的，這就是四則運(yùn)算。 現(xiàn)在來(lái)考慮四則運(yùn)算的逆運(yùn)算，也就是從y求出x。例如當(dāng)y=2時(shí)，x等于多少呢？這個(gè)計(jì)算就是 為此，只要解答下面的式子求出x，  去掉分母  移項(xiàng)得 解滿足這個(gè)方程的x，結(jié)果呢？所謂 以前也有這樣的事，就是逆運(yùn)算要比原來(lái)順運(yùn)算難，如－比＋難，÷比×難?，F(xiàn)在的情況也是如此，解代數(shù)方程的運(yùn)算是比四則運(yùn)算要難。  那么在實(shí)數(shù)的范圍里，能不能自由地進(jìn)行解這個(gè)代數(shù)方程的運(yùn)算呢？答案是否定的。請(qǐng)看下面的實(shí)例。 在四則運(yùn)算中，要是反過(guò)來(lái)從y求x的話，就不是任何時(shí)候都能行得通的。如果y是正數(shù) 可以求出實(shí)數(shù)x。如果y是負(fù)數(shù)，例如y=－1就不能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)找出與之對(duì)應(yīng)的x。因?yàn)椋▽?shí)數(shù)）? 決不會(huì)是負(fù)數(shù)。 因此我們知道，在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)，對(duì)于四則運(yùn)算的逆運(yùn)算“解代數(shù)方程”來(lái)說(shuō)，不是閉合的。要想自由地解代數(shù)方程，就必須打破實(shí)數(shù)的框框，導(dǎo)入新的數(shù)。這個(gè)新的數(shù)就是虛數(shù)。 代數(shù)學(xué)的基本定理 我們知道，如果把數(shù)的世界擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，那么二次方程，三次方程以及zn-1=0形式的n次方程就都是有限的。而且不管什么情況，根的個(gè)數(shù)和方程的次數(shù)相同。 這個(gè)試試能不能再一般化呢？也就是說(shuō)所有的n次代數(shù)方程 axn a1xn-1 … an-1x an= 0 是不是一定有復(fù)數(shù)根呢？ 這件事大約在200年前就曾設(shè)想過(guò)，但在漫長(zhǎng)歲月里誰(shuí)也不能證明。  高斯：沒(méi)錯(cuò)，又是我 首先證明這個(gè)事實(shí)的是20歲的青年高斯。他在1797年哥廷根大學(xué)的畢業(yè)論文里首先證明了這個(gè)事實(shí)。這個(gè)定理叫做代數(shù)學(xué)的基本定理，理由是解代數(shù)方程是代數(shù)學(xué)的最大任務(wù)。 這個(gè)定理就保證了代數(shù)方程不論如何都有根存在，不用擔(dān)心為了找出不存在的根而白費(fèi)勁，可是即便知道有根，要找出它來(lái)也決不是容易的事。 首先，解一次方程是很早以前就知道的。二次方程也是很早以前知道解法的。 但三次方程就是后來(lái)才找到解法。對(duì)于這件事，卡爾達(dá)諾和塔爾塔利亞還爭(zhēng)論不休呢。  卡爾達(dá)諾：貌似我每次出場(chǎng)都是因?yàn)檫@個(gè)…… 到了四次方程可就難得多了，那是卡爾達(dá)諾的弟子費(fèi)拉里（1522-1563）發(fā)現(xiàn)的。 方程的次數(shù)一高，方程的解法就像加速度一樣變得更難。 征服了四次方程的數(shù)學(xué)家們，又著眼于解五次方程。在很長(zhǎng)的時(shí)期里，這是數(shù)學(xué)家進(jìn)軍的目標(biāo)。 你問(wèn)登山家：“為什么要登喜馬拉雅山呢？”登山家回答說(shuō)：“因?yàn)樗谀莾骸！?/div> 數(shù)學(xué)家也像登山家那樣，把阻擋在眼前的五次方程作為目標(biāo)，不斷地發(fā)起突擊。 然而，所有的突擊都被擋了回來(lái)。人們就漸漸知道這五次方程是格外棘手的目標(biāo)。 于是人們開始重新考慮。雖然根的存在是根據(jù)代數(shù)學(xué)的基本定理而得到保證的?？墒墙夥匠痰氖侄稳绾文?？ 仔細(xì)推敲解方程的手段，到四次方程為止，根是可以用＋，－，×，÷還有開n次方n√等手段解出來(lái)。仍然只用＋，－，×，÷和n√能解五次方程嗎？ 就像不帶氧氣，只用冰鎬和繩索已經(jīng)不能登上喜馬拉雅山那樣，數(shù)學(xué)家開始懷疑用以前的手段不能解五次方程了。 阿貝爾：（回復(fù)樓上）你的感覺(jué)我都懂！ 挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾（1802-1829）從這種懷疑出發(fā)，終于證明了只用＋，－，×，÷和n√不能解五次方程。 伽羅瓦：（不理樓上幾位）群論得有我。 接著伽羅瓦（1811-1832）把這個(gè)問(wèn)題一般化，發(fā)現(xiàn)了只用＋，－，×，÷和n√所能解的方程的形式。他因此所創(chuàng)立的群論使后來(lái)的數(shù)學(xué)發(fā)生了很大的革命。 本文節(jié)選自日本當(dāng)代著名數(shù)學(xué)教育家遠(yuǎn)山啟的作品——《數(shù)學(xué)與生活（修訂版）》，為廣大讀者著想，該書避開了專用術(shù)語(yǔ)，力求結(jié)合日常邏輯來(lái)介紹數(shù)學(xué)。 本文由超級(jí)數(shù)學(xué)建模編輯整理 文字資料來(lái)源于數(shù)學(xué)與生活 配圖來(lái)源于網(wǎng)絡(luò) 轉(zhuǎn)發(fā)、分享請(qǐng)隨意
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