封面圖為老頑童周伯通和瑛姑~

▍引子

在金庸的武俠小說當中，常常出現(xiàn)與中國古代數(shù)學有關的內(nèi)容，比如在《射雕英雄傳》之中就有這么一段情節(jié)：

黃蓉坐了片刻，精神稍復，見地下那些竹片都是長約四寸，闊約二分，知是計數(shù)用的算子。再看那些算子排成商、實、法、借算四行，暗點算子數(shù)目，知她正在計算五萬五千二百二十五的平方根，這時“商”位上已記算到二百三十，但見那老婦撥弄算子，正待算那第三位數(shù)字。黃蓉脫口道：“五！二百三十五！”

那老婦吃了一驚，抬起頭來，一雙眸子精光閃閃，向黃蓉怒目而視，隨即又低頭撥弄算子。這一抬頭，郭、黃二人見她容色清麗，不過四十左右年紀，想是思慮過度，是以鬢邊早見華發(fā)。那女子搬弄了一會，果然算出是“五”，抬頭又向黃蓉望了一眼，臉上驚訝的神色迅即消去，又見怒容，似乎是說：“原來是個小姑娘。你不過湊巧猜中，何足為奇？別在這里打擾我的正事?！表樖謱ⅰ岸偃濉蔽遄钟浽诩埳?，又計下一道算題。

83版射雕中正在低頭算題的瑛姑

這段故事當中，郭靖與黃蓉被鐵掌派追殺，郭、黃二人無意中闖到瑛姑的小屋中，正巧撞見瑛姑正在算這樣一道開平方的問題。

那么小說當中，宋朝人用來計算平方根的方法是什么呢?我們今天就來介紹一下

▍增乘開方法

小說中所提到的這種計算平方根的方法叫做增乘開方法，是由我國古代數(shù)學家賈憲在十一世紀中葉所提出來的，其方法與意大利數(shù)學家魯裴尼（P.Ruffini）和英國數(shù)學家霍納（W.G.Horner）所提出來的高次方程數(shù)值解法相同，但比他們早了750年。

此處本該有個賈憲的照片，然而我沒找到

那么增乘開方法是如何來計算一個數(shù)的平方根的呢？

▍舉個例子

我們就以小說中瑛姑所計算的求55,225的平方根這個問題為例（為了便于理解我們就直接用阿拉伯數(shù)字來表示，就不用算籌啦）：

首先我們把55,225放入實這一行；

1）由于55,225是一個五位數(shù)，因此我們估算商應當是一個三位數(shù)，并且由于萬位上的數(shù)是5，所以估計商的百位數(shù)是2（200的平方是40,000，而300的平方是90,000，所以商的百位數(shù)一定是2）

2）令借為1，法的值則為借乘商（1×2）

3）更新實，使之為原實減去商乘法（5-2×2=1），則新實為1

4）更新法為商乘借加到舊法上，（2+2×1=4）

5）將法后移一位，借后移兩位

然后我們再次重復1）到5）的循環(huán)；

1）估算商的十位為3（3×4,000=12,000＜15,225）

2）更新法，為原法加十位商乘借（4,000+3×100=4,300）

3）更新實，使之為原實減去商乘法（15,225-4,300×3=2,325），則新實為2325

4）更新法為商乘借加到舊法上，（43+3×1=46）

5）將法后移一位，借后移兩位

第二輪結(jié)束，第三輪開始，再一次重復這五個步驟，

1）估算商的個位為5；

2）更新法，為原法加個位商乘借（460+5×1=465）

3）更新實，使之為原實減去商乘法（2325-465×5=0）；

到這一步我們驚喜的發(fā)現(xiàn)，實的值為0了，也就是說我們最后解出來了55,225的平方根為235

我們可以再驗證一下，計算235的平方

發(fā)現(xiàn)235的平方果然是55,225，也就是說我們的計算結(jié)果是正確的。

▍總結(jié)

總結(jié)一下，增乘開方法其實就是一共五個步驟：

1. 估算商；

2. 用商乘借加到法上；

3. 實減去商乘法；

4. 再用商乘借加到法上；

5. 法后移一位，借后移兩位。

然后只要不斷地循環(huán)上述步驟，直到實為0，此時的商就是我們所求的平方根的值啦~

雖然步驟比較抽象，但是對照著例子還是比較容易理解的~

▍參考資料

[1] 金庸. 射雕英雄傳[M]. 北京: 生活·讀書·新知三聯(lián)書店, 1994.

[2] 梅榮照. 賈憲的增乘開方法——高次方程數(shù)值解的關鍵一步[J]. 自然科學史研究, 1989, (01): 1-8.