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希帕索斯悖論 古希臘著名數(shù)學家畢達哥拉斯提出“萬物皆數(shù)”的思想，他認為世間萬物都可以用數(shù)來解釋（此處所說的數(shù)指的是自然數(shù)）。 1表示萬物之源，2表示物質(zhì)，3表示理想數(shù)， 象征阿波羅神，一張餅分給三個人吃，那么每個得到的就是1/3……這樣看來，似乎一切都能用自然數(shù)解釋了，直到有一天，希帕索斯發(fā)現(xiàn)了√2。 事情是這樣的：畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)了畢達哥拉斯定理，我們中國叫勾股定理。這個定理大家都知道，就不在這里贅述了。下面我們來看一個例子： 假如直角三角形的兩直角邊都是1，則斜邊用現(xiàn)在的記號就是√2。按照畢達哥拉斯“萬物皆數(shù)”的理論，√2就應該可以用p/q（p，q為正整數(shù)，且沒有公約數(shù)）這樣的數(shù)來表示，然而這個結論卻是錯誤的，證明如下： 希帕索斯發(fā)現(xiàn)了這個事情，它撼動了畢達哥拉斯學派“萬物皆數(shù)”的思想基礎，于是被下令投到海里。 后來人們知道能表示成p/q的數(shù)都是有理數(shù)，而像√2這樣不能表示成p/q的數(shù)叫做無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)合起來才構成完備的實數(shù)系統(tǒng)。 貝克萊悖論 牛頓、萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了微積分基本定理，但是他們無法解決一個問題——無窮小量到底是不是零的問題，具體如下： 這讓人丈二和尚摸不著頭腦。 英國大主教貝克萊就批評說：“無窮小量是已死量的幽靈”。由于這個幽靈的出現(xiàn)，當時僅有個別的數(shù)學家能夠掌握微積分的思想。這個問題一直等到柯西、維爾斯特拉斯出現(xiàn)以后才得到解決，解決辦法就是現(xiàn)在大家熟知的ε-δ語言，有了這個語言，數(shù)學基礎就更加牢固。 值得一提的是，解決問題的辦法不僅僅有一種，后來發(fā)展的非標準分析就沒有放棄無窮小量，但是它卻從另一個角度解決了這個說不清道不明的問題。 羅素悖論 由于集合論的興起，數(shù)學家們終于找到了一個數(shù)學的共同根基，正在大家興高采烈地慶祝的時候，又一個悖論給了大家當頭一棒——羅素悖論。 羅素悖論說的這樣一個問題：定義集合S為不包含它本身的所有元素的集合，那么S是否屬于S呢？ 假如你說是，那么S就滿足性質(zhì)：S不包含S，矛盾；假如你說否，那么S就是不包含它本身的集合，滿足S的性質(zhì)，所以S屬于S，又矛盾。 假如你覺得這個聽起來太費勁兒，請看下面一個通俗版的“羅素悖論”——“理發(fā)師悖論”。 在一個鄉(xiāng)村里有一個理發(fā)師，他在理發(fā)店門口立了一塊兒牌子，上邊兒寫著：我給所有不給自己理發(fā)的人理發(fā)。這聽起來很正常，假如大家都自己給自己理發(fā)了，那還要他理發(fā)師干什么?？墒怯袀€好事之徒來到店里，他問了理發(fā)店主這樣一個問題：你給自己理發(fā)嗎？理發(fā)師一時目瞪口呆，啞口無言。 如果你是理發(fā)師，你會如何回答呢？假如你回答我給自己理發(fā)，那么你就違反了自己列的標語“只給不給自己理發(fā)的人理發(fā)”；假如你說我不給自己理發(fā)，那么你又違反了自己標語“要給所有不給自己理發(fā)的人理發(fā)”?？傊?，無論你怎么回答，你都掉進了自己的圈套。 為了解決羅素悖論，數(shù)學家發(fā)展出了公理化體系，大致意思是：我們只討論我們能說清的東西。姑且不說這種給自己劃界限的行為是進步還是退步，公理化運動看似有希望重新為數(shù)學建立一個基礎，雖然這個基礎是四分五裂的基礎，但是哥德爾的出現(xiàn)讓建立這種不穩(wěn)定基礎的努力也化為泡影。這就是后話了，有興趣的同學可以去看看科普書《哥德爾證明》。
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