Halmos的自傳中譯本《我要作數(shù)學(xué)家》

編者注：原文標(biāo)題

The Heart of Mathematics

發(fā)表于The American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 7 (Aug. - Sep., 1980), pp. 519-524。本文根據(jù)兩篇中譯文（譯者分別是西北大學(xué)數(shù)學(xué)系彌靜、上海中學(xué)唐盛昌）改編。作者Halmos是編者最喜愛的數(shù)學(xué)家之一，他根據(jù)Von Neumann的講義寫成的Finite-Dimensional Vector Spaces 是線性代數(shù)的經(jīng)典。Halmos提倡摩爾教學(xué)法，提倡解題的教學(xué)，他還專門寫了三本習(xí)題集，分別是:《希爾伯特空間問題集》（A Hilbert Space Problem Book，有中譯本），

《老少數(shù)學(xué)家皆宜的問題集》（Problems for Mathematicians, Young and Old）以及《線性代數(shù)問題集》（Linear Algebra Problem Book）。

關(guān)于Halmos的更多信息，我們以后會(huì)推出專門的文章。有興趣的讀者也可以將他的自傳（有中譯本）《我要做數(shù)學(xué)家》找過來一睹為快。

以下是改編的中譯文。

引言

從本質(zhì)上講數(shù)學(xué)是由什么組成的? 是公理(如平行公理) ? 是定理( 如代數(shù)基本定理) ? 是證明( 如哥德爾關(guān)于不可判定性的證明) ? 是概念( 如集合與類的概念)? 是定義( 如Menger對(duì)于維數(shù)的定義) ? 是理論(如范疇論) ? 是公式( 如柯西積分公式) ? 還是方法( 如逐次逼近法) ?

誠(chéng)然,沒有這些組成部分, 數(shù)學(xué)就不存在; 這些都是數(shù)學(xué)的必要組成部分。但是, 它們中的任何一個(gè)都不是數(shù)學(xué)的心臟, 這個(gè)觀點(diǎn)是站得住腳的。數(shù)學(xué)家存在的一個(gè)主要理由就是求解問題。因此, ·數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和求解。

在大多數(shù)數(shù)學(xué)家的詞匯中, “定理”是一個(gè)受尊重的字眼，而問題卻往往并不如此。有時(shí)同行們使用的“問題” 這個(gè)詞, 是指那些較初等的練習(xí), 規(guī)定給以后將學(xué)習(xí)如何證明定理的學(xué)生使用。但是, 這種富有主觀色彩的用語, 卻并不總是正確的。

自然數(shù)的交換律和復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式方程的可解性都是定理, 但前者被視作是明顯的(接近于基本定義, 易于理解也易于證明)，而后者則是深?yuàn)W的(陳述不那么顯然, 證明要用到看來關(guān)系較遠(yuǎn)的概念, 而結(jié)果有許多出人意料的應(yīng)用)。為三T游戲(tic-tac-toe,在井字格上劃圈和叉以定勝負(fù)) 尋求一種必勝策略與確定Riemann zeta-函數(shù)的所有零點(diǎn)也都是問題, 但前者是明顯的(任何一個(gè)理解定義的人, 幾乎不需要?jiǎng)邮裁茨X筋, 都能迅速想出解答。不會(huì)由此產(chǎn)生什么成功的感覺, 結(jié)論也沒有什么意思),而后者則是深?yuàn)W的(雖然有許多人致力于它, 卻還是沒有找到答案。得出部分結(jié)果就需要作出巨大的努力, 并具有深邃的洞察力。而關(guān)于它的確定答案必將包含許多不平凡的推論)。結(jié)論: 定理可以是明顯的, 問題也可以是深刻的。相信數(shù)學(xué)的核心是由問題所組成的那些人并不一定是錯(cuò)誤的。

問題集

如果你想關(guān)于數(shù)學(xué)問題寫一篇論文或一本書, 你打算怎樣進(jìn)行? 初等數(shù)學(xué)（微積分以前)問題,本科生或研究生水平的問題, 或一個(gè)未知答案的研究問題。對(duì)于已知解答的問題, 你搜不搜集? 這些問題按某個(gè)系統(tǒng)順序排列( 放在適當(dāng)位置上便會(huì)提示解答）、 或是“ 隨機(jī)”地排列? 你期望讀者從你的著作中得到什么: 趣味, 技能, 或者實(shí)際知識(shí)（或各有一些) ?

對(duì)于這些問題的所有可能的回答早己給出。論述數(shù)學(xué)問題的文獻(xiàn)資料廣博而浩瀚, 其數(shù)量仍在增加, 日新月異。在這大量文獻(xiàn)中, 只要瀏覽一下標(biāo)號(hào)為QA43(國(guó)會(huì)圖書分類)的那一部分, 就能給人以精神振奮與難以忘懷的感覺。當(dāng)然還有散布在其他各個(gè)部分的數(shù)學(xué)問題的豐富來源。下面就對(duì)此作一簡(jiǎn)捷的評(píng)述。這里所述及的問題并不是信手拈來的。它們很可能十分典型, 不是偶然收集的圖書資料就能全面包括的。

Hilbert問題

由提供給數(shù)學(xué)工作者研究的問題所構(gòu)成的問題集, 是最冒風(fēng)險(xiǎn)的。

可能也較難贏得榮譽(yù)。你的問題可能在幾星期、幾個(gè)月或者幾年

內(nèi)即得到解決。于是你的工作就將比大多數(shù)的數(shù)學(xué)探索更快地過時(shí)了。

如果你沒有如Hilbert那樣的才華, 你就難以肯定你的那些問題是否是淺薄的, 或者是根本無解的?；蚴翘岬煤懿畹? 反而使得與我們正在尋找的真理失之交臂——提煉不當(dāng), 引導(dǎo)無方, 沒有長(zhǎng)遠(yuǎn)的價(jià)值。

對(duì)二十世記的數(shù)學(xué)研究起過巨大影響的一系列研究問題, 是Hilbert于1900年在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上給出的23個(gè)著名問題[3]。Hilbert的23個(gè)問題中的第一個(gè)，是連續(xù)統(tǒng)假設(shè):實(shí)數(shù)集的每一個(gè)不可數(shù)子集，是否與實(shí)數(shù)集本身一一對(duì)應(yīng)？甚至在1900年，這個(gè)問題已經(jīng)不是最新的了，隨后雖然做出了更大的進(jìn)展，有些人認(rèn)為問題已解決，但其他一些人仍堅(jiān)持認(rèn)為，離充分了解還相距甚遠(yuǎn)。

Hilbert的問題深淺不等, 涉及到數(shù)學(xué)的許多分支。有些屬于幾何學(xué)（如果兩個(gè)四面體有相同的體積，它們能否被分割為一樣多的小四面體，使得各自的小四面體集合之間形成全等的一一對(duì)應(yīng)？回答是否定的。），有些屬于數(shù)論（二的根號(hào)二次方是超越數(shù)嗎？回答是肯定的。）其中許多問題尚未解決。截止到1974年的大多數(shù)進(jìn)展已經(jīng)發(fā)表,并被收集在1976 的一本文集[5]中。但是數(shù)學(xué)家的求知欲并不到此為止。那以后又寫出了相當(dāng)數(shù)量的解釋性的或?qū)嵸|(zhì)性的論文。（注：參見wiki條目https://en./wiki/Hilbert%27s_problems）

Pólya–Szeg? 

最負(fù)盛名、內(nèi)容也最為豐富的問題集, 恐怕是Pólya-Szeg?的那本《分析中的問題和定理》[6]。它在1925年初版, 1972 和1976 年又重版(英譯本)。半個(gè)多世記以來, 它作用巨大,是許許多多個(gè)研究課題的主要來源, 是一本標(biāo)準(zhǔn)參考書, 是各類考試題的取之不竭的源泉，引人入勝，而又對(duì)人有益。那些問題的水平從中學(xué)一直伸展到研究前沿。第一個(gè)問題問：把一塊錢兌換成，面值為1分、5分，10分、25分和50分的方法的數(shù)目。從這個(gè)簡(jiǎn)單的問題出發(fā)，逐步引出復(fù)雜的問題，深入到Hadamard的三圓定理，切比雪夫多項(xiàng)式，格點(diǎn)，行列式，以及愛森斯坦因的關(guān)于有理系數(shù)的冪級(jí)數(shù)定理。

Heinrich D?rrie

D?rrie 的書《100個(gè)著名的初等數(shù)學(xué)問題》[1]其原名是《數(shù)學(xué)的凱旋》。這本書應(yīng)該受到更多的注意。其內(nèi)容橫貫古今, 涉及2000多年的數(shù)學(xué)史實(shí)

。它按難度從初等算術(shù)的內(nèi)容一直安排到常被用作研究生課程論題的那些材料。

比如,它包含了下述源自牛頓（Arithmetica Universalis,1707）的問題：

這是100個(gè)問題中的第三個(gè)。

這些問題更多地傾向于幾何, 然而它包含著Catalan關(guān)于完全非交換、

非結(jié)合乘法系統(tǒng)里形成幾個(gè)指定因子的乘積的方法的數(shù)目(問題7 ) , 和Fermat -Gauss不可能性定理(“ 兩個(gè)立方數(shù)的和不是一個(gè)立方數(shù)” , 問題21 ) 。

還有兩個(gè)例子給整個(gè)問題集增添了特殊的風(fēng)味。“ 每個(gè)完全四邊形可以作為一個(gè)正方形的透視像” ( 問題72) , “ 在地球表面的哪一點(diǎn)直立的垂直懸桿看起來最長(zhǎng)? ”( 問題94，請(qǐng)參見wiki介紹：https://en./wiki/Regiomontanus%27_angle_maximization_problem ) 其文風(fēng)是老式的, 但是其中有許多問題是有永恒意義的, 這是值得閱讀的一本極好的書。

Hugo Steinhaus

接下來, 我們對(duì)波蘭人Steinhaus的貢獻(xiàn)作一些評(píng)論。跟D?rrie的書一樣, Steinhaus的《一百個(gè)數(shù)學(xué)問題》也恰好是100個(gè)問題, 這些問題都是最初等的又確實(shí)是有趣味的問題。當(dāng)人們提到“數(shù)學(xué)問題匯編” 時(shí), 多數(shù)人都會(huì)想到這本書, 確實(shí), 它是同類書中的典范。然而,這些問題的趣味不相同, 難度也不等。此外, 這

些問題闡明了解決問題的另一面: 要猜測(cè)一個(gè)問題的難度是多么困難, 因而

又是多么有意思。有時(shí)在得到答案以前, 幾乎不可能正確判斷問題的難度。

考慮三個(gè)例子：

當(dāng)然, 對(duì)難度和趣味的看法是主觀的, 所以我所能作的, 是寫出我對(duì)它們的評(píng)價(jià)。

(1) 困難而且沒有趣味, (2) 驚人地容易，且有中等趣味, (3) 比看上去要難些, 甚至乍看起來十分有趣味。為了詮釋我的這些意見, 先敘述一個(gè)我所用的誰則: 若果這些數(shù)字( 10, 1000,71) 不能被任意的正整數(shù)代替, 我傾向于認(rèn)為, 相應(yīng)問題真是特別的單調(diào)無味。診斷結(jié)果表明：對(duì)(1) 的答案是肯定的, 而且Steinhaus用列出問題的解來證明它( 非常具體:x_1=0.95 , x_2 =0.05, x_3=0.34, x_4=0.74等), 他用同樣的方法證明了將14 代替10 的答案也是肯定的。并且, 他用了三頁令人厭煩的計(jì)算,證明了關(guān)于75 的答案是否定的。他說, 事實(shí)上，對(duì)于17 的答案是肯定的, 而對(duì)于每個(gè)大于17 的正整數(shù)答案都是否定的。所以, 我說是單調(diào)無味。關(guān)于(2) 和(3) 的答案都是肯定的( 即1000或71可以替換為任意的正整數(shù)n)。

Glazman-Ljubi?

Glazman和Ljubic的書《有限維線性分析: 按照問題形式的系統(tǒng)表達(dá)》是一本異乎尋常的書(我不知道是否還有這種類型的其他著作)。盡管有某些缺點(diǎn), 它仍然是呈給問題文獻(xiàn)的一本漂亮而且令人振奮的作品。實(shí)質(zhì)上, 這本書是(有限維) 淺性代數(shù)和淺性分析的一種新型教科書。它從復(fù)向量空間的定義和線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念開始，此書的第一個(gè)問題是：證明由向量x組成的集合是線性無關(guān)的，當(dāng)且僅當(dāng)x≠0。各章按邏輯關(guān)系順次安排, 正如一般教科書所作的那樣: 線性算子, 雙線性泛函, 賦范空間等。

這本書不是解說性的散文, 也許可稱為解說性的詩。它仔細(xì)地給出定義和給出有關(guān)的背景材料, 此書的主體由問題組成; 它們都表述為斷言, 問題則是證明這些斷言, 書中未給證明, 列出許多參考資料, 但卻告訴讀者無需查閱它們。

這本書中真正的新觀點(diǎn)是它的鮮明中心: 這是一本不折不扣的講泛函分析的書, 初開始甚至不要求讀者知道矩陣知識(shí)。作者有創(chuàng)造性的觀點(diǎn)是給予初學(xué)者

展示了容易明晰、 有啟發(fā)性的、有限維情形, 已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的泛函分析中一些最深刻的分析事實(shí)的純代數(shù)的情形。討論主題包括譜理論, Toeplitz-Hausdorff定理, Hahn-Banach定理， 偏序向量空間, 矩量問題, 耗散算子, 以及其他許多這一類令人注目的分析結(jié)果。用這本朽可以開出一個(gè)漂亮的課程來（我很想開一個(gè)）, 在這個(gè)課程中受教育的學(xué)生有可能迅速成為神童泛函分析學(xué)家。

Gabriel Klambauer

在此評(píng)論的問題文獻(xiàn)中的新近出版的、Klambauer的 《分析中的問題與命題》。它的主題是實(shí)分析, 雖然有一些初等的問題, 然而其問題的水平比較高級(jí)。它是一本優(yōu)秀的令人興奮的書。當(dāng)然, 有一些缺點(diǎn), 包括某些印刷錯(cuò)誤和一些無意義的重復(fù), 同時(shí), 令人惱火的地方是沒有索引, 以致在使用這本憐時(shí)產(chǎn)生了不應(yīng)有的困難。然而, 它是一本啟發(fā)性問題的巨大的來源。包括著名的和不太著名的例題和反例, 典范的和非典范的證明。它應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)在每一個(gè)問題愛好者、每一個(gè)分析( 微積分水平以上) 教師、每一個(gè)想認(rèn)真學(xué)習(xí)實(shí)分析的學(xué)生的書架上。

目錄將此書分為四章: 算術(shù)和組合, 不等式, 序列和級(jí)數(shù), 實(shí)函數(shù)。對(duì)每一章，我都將給出一些例子, 以傳播它的風(fēng)味。并且, 我希望, 更進(jìn)一步激勵(lì)讀者的興趣。

組合學(xué)一章證明: “ 舍9 校驗(yàn)的規(guī)則”( 就是檢驗(yàn)一個(gè)整數(shù)能否被9 整除, 看它的十進(jìn)位數(shù)字之和能否被9 整除) ；1000！的十進(jìn)制展開的末尾有多少個(gè)0？

又問:

與這樣的問題相伴的, 也有一些沒那么有趣的問題, 也許只有它的創(chuàng)作者會(huì)喜愛它。這里, 有幾個(gè)奇妙的問題( 例如, 用良序原理證明側(cè)根2的無理性)。一個(gè)

簡(jiǎn)單的但激起興趣的奇特問題是下面的命題:

在不等式一章中包括許多著名的不等式（H?lder，Minkowski，Jensen 等人的不等式)和許多其他的分析學(xué)上有價(jià)值的, 但較為特殊的因而不太著名的不等式。似乎很少人有可能猜到答案的一個(gè)奇特問題是:

序列一章有我所見到的最詳細(xì)和完全的關(guān)于用符號(hào)

表示的無限過程的那令人著迷的( 而又非平凡的) 收斂問題的討論。學(xué)生可能樂于知道，這個(gè)結(jié)果歸功于Euler 。一個(gè)更使人困惑的難題是: 

實(shí)函數(shù)一章也很豐富。它包含e的超越性,Cantor集的某些基本性質(zhì),Lebesgue的處處連續(xù)而處處不可微函數(shù)的例子, 以及F. Riesz( 利用“ 太陽升起引理”) 對(duì)單調(diào)連續(xù)函數(shù)幾乎處處可微的證明。有一個(gè)稱為Osgood定理的討論題, 即是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的Lebesgue有界收斂定理。還有Weierstrass多項(xiàng)式逼近定理( 巧妙地分成許多小引理), 還有一個(gè)引起好奇的問題是代數(shù)基本定理的Gauss證明。作為最后的例子, 我提出一個(gè)問題: 它也許是常見的, 是否存在函數(shù)級(jí)數(shù)的一個(gè)例子, 在閉區(qū)間上連續(xù),絕對(duì)收斂且一致收斂, 然而, 在這里Weierstrass M-判別法失效?

問題課程

我們今天的教師如何運(yùn)用向題文獻(xiàn)?我們承擔(dān)的工作, 是為了把數(shù)學(xué)知識(shí)的火炬?zhèn)鹘o技術(shù)員, 工程師, 科學(xué)家, 人文科學(xué)家, 教師, 以及尤其是未來研究數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家: 問題會(huì)對(duì)我們有幫助嗎?

是的, 會(huì)有幫助的, 任何人有意義的生活的主要部分是解問題, 技術(shù)員, 工程師, 科學(xué)家等等專業(yè)人員的生活的相當(dāng)一部分是解數(shù)學(xué)問題。所有教師, 特別是數(shù)學(xué)教師是給他們的學(xué)生多提問題少講事實(shí)。也許教師在講臺(tái)上自信滿滿做一堂關(guān)于Weierstrass M-判別法的優(yōu)美的演講, 比起引導(dǎo)一堂瞎摸亂撞并用“ 有界性假設(shè)對(duì)于其結(jié)論是否需要的? ” 這樣的問題來結(jié)束討論要更令人滿意。然而, 我堅(jiān)信，努力啟發(fā)學(xué)生搜尋反例的摸索討論會(huì)有無比的價(jià)值。

我曾經(jīng)教過這樣的課程, 其全部?jī)?nèi)容是由學(xué)生去解( 然后在全班展示) 的問題。從這樣的課程中學(xué)生所學(xué)到的定理的數(shù)目, 將近于他們從系統(tǒng)講演課中所能學(xué)到的一半數(shù)目。然而, 在問題課程中, 學(xué)習(xí)意味著獲得聰明地提問題的素質(zhì)和某些補(bǔ)漏洞的技術(shù), 而證明多半會(huì)就此進(jìn)行下去。從一個(gè)講授課程中, 學(xué)習(xí)有時(shí)不過意味著學(xué)到一個(gè)定理的名字, 被它的復(fù)雜證明嚇住了, 以及耽心它是否會(huì)在考試中出現(xiàn)。

取材

許多教師都苦惱于一個(gè)課程中取材的總量應(yīng)該多少? 一個(gè)憤世嫉俗的人提出一個(gè)公式, 他講,因?yàn)橹械鹊膶W(xué)生對(duì)你告訴他們的東西只記得40%, 所以你應(yīng)當(dāng)在每個(gè)課程中塞進(jìn)你所希望填人的材料的250%。照這種說法, 也許沒法工作。

習(xí)題課起了作用。參加過我的問題課的學(xué)生, 被后繼的教師所贊許。贊許他們靈活的態(tài)度, 迅速抓住事物核心的能力, 以及對(duì)問題敏銳探索的本領(lǐng), 這說明他們懂得了課程內(nèi)容。所有這些發(fā)生于不同的水平, 在微積分中, 在線性代數(shù)中, 在集合論, 當(dāng)然, 也在測(cè)度論和泛函分析等研究生的課程中。

為什么我們必須把希望學(xué)生最后將要習(xí)得的所有內(nèi)容都包含進(jìn)去呢? 假設(shè)在一學(xué)期中, 學(xué)生必須掌握的重點(diǎn)課題有40個(gè), 是否我們必須給出40 個(gè)完備的講座, 并希望所有的學(xué)生都專心致志呢? 換一種做法是不是會(huì)更好些呢? 對(duì)20個(gè)課題, 只是每個(gè)化十分鐘時(shí)間提及一下(名稱、陳述、指示一下應(yīng)用它的某個(gè)方向), 而對(duì)其他的20個(gè)課題, 則深入研究, 讓學(xué)生解決問題, 學(xué)生構(gòu)筑反例, 學(xué)生發(fā)現(xiàn)應(yīng)用。我堅(jiān)信, 后一種方法會(huì)教得更多,教得更好。某些材料確實(shí)沒有包括進(jìn)去, 但是許多東西卻被發(fā)現(xiàn)了。因?yàn)榉椒ū旧砜梢源蜷_探索的大門。在牢固建立起來的固定的事物結(jié)構(gòu)的后面, 竟然存在這樣的入口處,這可真是沒有預(yù)料到的啊! 至于Weierstrass M-判別法本身或需要進(jìn)行教學(xué)的別的什么材料——課本和雜志都放在那里, 學(xué)生只要研讀一下就會(huì)知道的。

問題研討班

問題課程可以是討論一個(gè)集中的課題, 也可以通過討論遍及幾個(gè)領(lǐng)域的某些問題, 致力于促進(jìn)那種探討問題的態(tài)度與改善技巧。那樣的技巧課程有時(shí)稱為問題研究班。它可以適用于各種水平(初學(xué)者, 博士學(xué)位研究生或任一中間程度的團(tuán)體)。

主持一個(gè)問題研討班的最好途徑，當(dāng)然是提出問題。但是就如一個(gè)無所不知的教師在講座課程中講個(gè)沒完一樣, 如果一個(gè)學(xué)識(shí)淵博的教師在問題研究班中問個(gè)沒完, 那同樣是不恰當(dāng)?shù)?。我?qiáng)烈地推薦這樣的方法: 在問題研究班中, 應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題(可從對(duì)在別處已接觸過的那些問題提出修改問題開始)。對(duì)這些發(fā)現(xiàn)應(yīng)予以公開表揚(yáng)。正如

你不應(yīng)該把所有的答案告訴學(xué)生一樣, 你也不應(yīng)該把所有的問題都交給學(xué)生。解決問題的最困難的一個(gè)方面, 就是提出恰當(dāng)?shù)膯栴}, 而學(xué)會(huì)這樣做的僅有途徑就是實(shí)踐。特別在研究水平一級(jí), 如果我向研究生提一個(gè)確定的論題, 那我就不是在教他如何從事研究工作。一旦我不再管他, 他將如何選擇下一個(gè)研究課題呢?

不存在教會(huì)一個(gè)人如何提出高質(zhì)量問題的簡(jiǎn)單方法, 就如在教游泳或拉大提琴時(shí)沒有捷徑一樣。但這不能成為無所作為的借口。你不可能代替別人游泳。你所能做的就是懷著同情的態(tài)度進(jìn)行指導(dǎo), 并用贊同這個(gè)手段來強(qiáng)化他所摸索到的正確方向。有時(shí)你可給以建議, 幫助他從壞的提法中得出好的問題。但是沒有任何方法可以替代反復(fù)的嘗試和實(shí)踐。

一個(gè)明顯的建議是一般化（推廣）；而不那么顯然的建議則是特殊化；一個(gè)比較成熟的建議則是尋找一般化中的非平凡的特殊情況。另一個(gè)眾所周知的忠告屬于Pólya: 把問題搞得容易一些(make it easier)。

(Pólya 的格言應(yīng)該被反復(fù)宣傳, 具體來說, 這是指: 如果你不能解決一個(gè)問題, 那么必存在一個(gè)尚未解決的較容易的問題,你的第一步工作就是找到它! ) 我最喜歡的建議則是:提得尖銳一些(make it sharp)。這是指不要立即致力于原始的問題(是什么…… ? 何種情況下……? 是多少…… ?) ，而是先集中到一個(gè)較容易的(但不那么明顯)是非問題：(是否…… ? )。

波利亞的名著《怎樣解題》（有中譯本，推薦給所有學(xué)數(shù)學(xué)、教數(shù)學(xué)的朋友）

跋

我確實(shí)相信, 問題是數(shù)學(xué)的核心。我希望,作為教師, 無論是在教室里, 在研討班里, 還是在我們所寫的書籍文章里, 都應(yīng)該反復(fù)強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)。

應(yīng)該把我們的學(xué)生培養(yǎng)成比我們更好的問題提出者與問題解決者。

參考文獻(xiàn)

1. H. Dorrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Dover, New York, 1965. 有中譯本

2. I. M. Glazman and Ju. I. Ljubic, Finite-Dimensional Linear Analysis: A Systematic Presentation in Problem Form, MIT, Cambridge, 1974.

3. D. Hilbert, Mathematical problems, Bull. Amer. Math. Soc., 8 (1902) 437-479.

4.  G. Klambauer, Problems and Propositions in Analysis, Dekker, New York, 1979. 有中譯本

5. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, AMS, Providence, 1976.

   6. G. Polya and G. Szego, Problems and. Theorems in Analysis, Springer,               Berlin, 1972, 1976. 有中譯本

   7. H. Steinhaus, One Hundred Problems in Elementary Mathematics, Basic               Books, New York, 1964. 有中譯本