25．如圖，△ABC中，∠C=90°，點G是線段AC上的一動點（點G不與A、C重合），以AG為直徑的⊙O交AB于點D，直線EF垂直平分BD，垂足為F，EF交BC于點E，連結(jié)DE．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若cosA=1/2，AB=8倍根號3，AG=2倍根號3，求BE的長；

（3）若cosA=1/2，AB=8倍根號3，直接寫出線段BE的取值范圍．

26．如圖1，AB為⊙O的直徑，點P是直徑AB上任意一點，過點P作弦CD⊥AB，垂足為P，過點B的直線與線段AD的延長線交于點F，且∠F=∠ABC．

（1）若CD=2倍根號3，BP=4，求⊙O的半徑；

（2）求證：直線BF是⊙O的切線；

（3）當點P與點O重合時，過點A作⊙O的切線交線段BC的延長線于點E，在其它條件不變的情況下，判斷四邊形AEBF是什么特殊的四邊形？請在圖2中補全圖象并證明你的結(jié)論．

27．如圖，⊙O經(jīng)過點B、D、E，BD是⊙O的直徑，∠C=90°，BE平分∠ABC．

（1）試說明直線AC是⊙O的切線；

（2）當AE=4，AD=2時，求⊙O的半徑及BC的長．

28．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形且AB=AC，BD是⊙O的直徑，過點A做AP∥BC交DB的延長線于點P，連接AD．

（1）求證：AP是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑是2，cos∠ABC=3/4，求AB的長．

29．如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF=1/2∠CAB．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若AB=5，sin∠CBF=根號5/5，求BC和BF的長．

30．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，DG⊥AC于點G，交AB的延長線于點F．

（1）求證：直線FG是⊙O的切線；

（2）若AC=10，cosA=2/5，求CG的長．

31．如圖，在△ABC中，D為AB上一點，⊙O經(jīng)過B、C、D三點，∠COD=90°，∠ACD=∠BCO+∠BDO．

（1）求證：直線AC是⊙O的切線；

（2）若∠BCO=15°，⊙O的半徑為2，求BD的長．

32．如圖，在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作直線DE垂直BC于F，且交BA的延長線于點E．

（1）求證：直線DE是⊙O的切線；

（2）若cos∠BAC=1/3，⊙O的半徑為6，求線段CD的長．

33．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接BE．

（1）求證：BE與⊙O相切；

（2）設(shè)OE交⊙O于點F，若DF=1，BC=2根號3，求由劣弧BC、線段CE和BE所圍成的圖形面積S．

34．如圖，已知，⊙O為△ABC的外接圓，BC為直徑，點E在AB上，過點E作EF⊥BC，點G在FE的延長線上，且GA=GE．

（1）求證：AG與⊙O相切．

（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求線段OE的長．

35．如圖，△ABC中，以AC為直徑的⊙O與邊AB交于點D，點E為⊙O上一點，連接CE并延長交AB于點F，連接ED．

（1）若∠B+∠FED=90°，求證：BC是⊙O的切線；

（2）若FC=6，DE=3，F(xiàn)D=2，求⊙O的直徑．

36．如圖，有一直徑MN=4的半圓形紙片，其圓心為點P，從初始位置Ⅰ開始，在無滑動的情況下沿數(shù)軸向右翻滾至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于數(shù)軸，且半⊙P與數(shù)軸相切于原點O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于數(shù)軸；位置Ⅲ中的MN在數(shù)軸上；位置Ⅴ中的點N到數(shù)軸的距離為3，且半⊙P與數(shù)軸相切于點A．

解答下列問題：

（1）位置Ⅰ中的MN與數(shù)軸之間的距離為；位置Ⅱ中的半⊙P與數(shù)軸的位置關(guān)系是；

（2）求位置Ⅲ中的圓心P在數(shù)軸上表示的數(shù)；

（3）紙片半⊙P從位置Ⅲ翻滾到位置Ⅳ時，求點N所經(jīng)過路徑長及該紙片所掃過圖形的面積；

（4）求OA的長．[（2），（3），（4）中的結(jié)果保留π]．

37．如圖，△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，點O在CB的延長線上，且OB=4，以O(shè)為圓心，2為半徑的半圓交CB的延長線于點D，E．點T在半圓上，連接TB并延長，交AC于點P．

（1）若PT與半圓相切，求∠BPC的度數(shù)；

（2）當△TOB的面積最大時，求PC的長；

（3）直接寫出點T到DE的距離為多少時，恰有AP=3．

38．如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點O，⊙O與AC相切于點D，BE⊥AB交AC的延長線于點E，與⊙O相交于G、F兩點．

（1）求證：AB與⊙O相切；

（2）若等邊三角形ABC的邊長是4，求線段BF的長？

39．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O直徑，AC=CD，連接AD交BC于點M，延長MC到N，使CN=CM．

（1）判斷直線AN是否為⊙O的切線，并說明理由；

（2）若AC=10，tan∠CAD=3/4，求AD的長．

40．如圖，四邊形ABCD為矩形，E為BC邊中點，連接AE，以AD為直徑的⊙O交AE于點F，連接CF．

（1）求證：CF與⊙O相切；

（2）若AD=2，F(xiàn)為AE的中點，求AB的長．

41．如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊上的點，且BE=BA，以點A為圓心、AD長為半徑作⊙A交AB于點M，過點B作⊙A的切線BF，切點為F．

（1）請判斷直線BE與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）如果AB=10，BC=5，求圖中陰影部分的面積．

42．如圖，在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，DE⊥BC，垂足為E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若DG⊥AB，垂足為點F，交⊙O于點G，∠A=35°，⊙O半徑為5，求劣弧DG的長．（結(jié)果保留π）

43．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD垂直平分OB于點E，點F在AB延長線上，∠AFC=30°．

（1）求證：CF為⊙O的切線．

（2）若半徑ON⊥AD于點M，CE=根號3，求圖中陰影部分的面積．

44．（12分）（2012·撫順）如圖，AB是⊙O的直徑，延長弦BD到點C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）若⊙O的半徑為6，∠BAC=60°，延長ED交AB延長線于點F，求陰影部分的面積．

45．⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC=90°，弦BD=BA，BE是⊙O的切線交DC的延長線于點E．

（1）求證：BE⊥CE；

（2）若BC=根號5，⊙O的半徑為5/2，求線段CD的長度．

46．如圖，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圓，點P在直徑BD的延長線上，且AB=AP．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）若AB=2倍根號3，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π和根號）

47．如圖，點A、B在⊙O上，直線AC是⊙O的切線，OC⊥OB，連接AB交OC于點D．

（1）AC與CD相等嗎？為什么？

（2）若AC=2，AO=根號5，求OD的長度．

48．如圖，點D是等邊△ABC中BC邊的延長線上一點，且AC=CD，以AB為直徑作⊙O，分別交邊AC、BC于點E、點F

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）連接OC，交⊙O于點G，若AB=4，求線段CE、CG與弧GE圍成的陰影部分的面積S．