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摘要：極限思想貫穿了數(shù)學(xué)分析課程內(nèi)容的始終，極限計(jì)算是數(shù)學(xué)分析課程中的一個重要內(nèi)容.由于極限計(jì)算的方法分布在數(shù)學(xué)分析課程的不同章節(jié)，學(xué)生不能系統(tǒng)地掌握極限的計(jì)算，對此筆者根據(jù)自己的教學(xué)在這方面進(jìn)行一些探討.在教學(xué)中讓學(xué)生掌握極限計(jì)算的各種方法，不但可以準(zhǔn)確簡捷地計(jì)算極限，而且可以培養(yǎng)提高學(xué)生分析和解決問題的能力. 中國論文網(wǎng) http://www./9/view-4333061.htm 關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；函數(shù)極限；計(jì)算 中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）33-0097-03 極限是數(shù)學(xué)分析課程中最重要、最基本的概念之一.極限思想貫穿數(shù)學(xué)分析課程內(nèi)容的始終，極限計(jì)算是數(shù)學(xué)分析課程中的一個重要內(nèi)容.極限計(jì)算的方法分布在數(shù)學(xué)分析課程的不同章節(jié)，學(xué)生不能很好地系統(tǒng)地掌握極限計(jì)算的方法。對此筆者根據(jù)自己多年的教學(xué)在這方面進(jìn)行一些總結(jié)，對數(shù)學(xué)分析中的極限計(jì)算方法進(jìn)行系統(tǒng)的分析探討，讓學(xué)生掌握極限計(jì)算的各種方法，開拓學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生的綜合解題能力。 一、極限計(jì)算的基本方法 1.利用極限的四則運(yùn)算法則計(jì)算極限。利用極限的四則運(yùn)算法則求極限是最基本、最直接的方法，但必需注意適用的條件極限.有時可以直接利用極限的四則運(yùn)算法則即能計(jì)算，有時可能無法直接利用極限的四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，這就要求我們對所給的對象進(jìn)行化簡、變形處理，然后再利用四則運(yùn)算法來計(jì)算。 2.利用兩邊夾定理計(jì)算極限。利用兩邊夾定理可將考慮的對象進(jìn)行適當(dāng)縮小和放大，從而得到原對象的極限。 3.利用單調(diào)有界準(zhǔn)則計(jì)算極限。這種方法適用于求數(shù)列的極限，應(yīng)用單調(diào)有界準(zhǔn)則計(jì)算數(shù)列的極限時，首先可用數(shù)學(xué)歸納法或不等式的放縮法來討論數(shù)列{xn}的單調(diào)性和有界性，然后再令■xn=a，然后解關(guān)于a的方程，從而求得出■xn=a. 4.利用兩個重要極限計(jì)算極限。利用兩個重要極限計(jì)算極限關(guān)鍵在于將考慮對象化成滿足重要極限條件的形式. 5.利用洛必達(dá)法則計(jì)算極限。這種方法適用求未定式■型和■型的極限計(jì)算，其他的未定式極限都需先化為■型或■型后再求極限，但要注意這種方法只適用于導(dǎo)數(shù)存在的形式。 6.利用函數(shù)的連續(xù)性計(jì)算極限。因?yàn)橐磺谐醯群瘮?shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的，所以如果f（x）是初等函數(shù)，且x0是f（x）的定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則■f（x）=f（x0），從而計(jì)算極限就等于計(jì)算該點(diǎn)處的函數(shù)值。以上方法是計(jì)算極限的基本方法，作為大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生是必須熟練掌握的。 二、極限計(jì)算的一些特殊方法 1.利用左右極限計(jì)算極限。函數(shù)f（x）在x0處極限存在的充要條件是在該點(diǎn)處它的左極限及右極限都存在且相等，且■f（x）=■f（x）=■f（x）.這種方法對分段函數(shù)求極限問題應(yīng)用尤為重要，它是計(jì)算分段函數(shù)求極限問題的有力工具。 例1.已知f（x）=2xx＞00 x=01+x2x＜0，求■f（x）.分析：由于f（x）是分階函數(shù)，計(jì)算f（x）在分階點(diǎn)處的極限只能通過計(jì)算該點(diǎn)處它的左極限及右極限得到■f（x）.而■f（x）=■2x=1，■f（x）=■（1+x2）=1，于是■f（x）=1. 2.利用無窮小的性質(zhì)計(jì)算極限。 例2.求■（x2+y2）sin■=0.分析：由于x2+y2在（x，y）→（0，0）時是無窮小，sin■≤1是有界量，于是得到 ■（x2+y2）sin■=0. 3.利用等價無窮小計(jì)算極限。利用等價無窮小代換求函數(shù)的極限時，一般只在以乘除形式出現(xiàn)時使用，同時還應(yīng)該熟悉一些常用的等價無窮小。 例3.計(jì)算■■.分析：由于■-1：■（x→0），1-cosx：■（x→0），于是■■=■■=1. 4.利用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算極限。由于f'（x）=■■，從而可以利用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算極限。 例4.證明：若f'（x0）存在，則■■=2f'（x0）.分析：將題中極限表達(dá)式變形為導(dǎo)數(shù)定義中的極限形式表示即可證明。 5.利用定積分定義求極限。由于■f（x）dx=■■f（ξi）Δxi，因而可把黎曼和■f（ξi）Δxi的極限轉(zhuǎn)化為定積分■f（x）dx，轉(zhuǎn)化過程掌握好兩個關(guān)鍵：一是由f（ξi）確定被積函數(shù)f（x），二是由Δxi確定積分區(qū)間［a，b］.當(dāng)在定積分存在的前提下，我們選取區(qū)間［a，b］某種特殊的分割T和區(qū)間［a，b］一個特殊的點(diǎn)集{ξi}，可以得到一類特殊的和式的極限，從而可以利用定積分解決此類函數(shù)極限的求值，即當(dāng)所求極限的表達(dá)式或經(jīng)過變換后的表達(dá)式是一個 n項(xiàng)和的形式時，可以考慮用定積分定義來計(jì)算， 其關(guān)鍵在于把和式寫成積分和的形式。 例5.求■■sin■+sin■+…+sin■π.分析： 對所求極限進(jìn)行變形：■■sin■+sin■+…+sin■π=■■■sin=■g■.其中的和式是f（x）=sinx在［0，π］區(qū)間上的一個積分和.這里所取的是等分分割。Δxi=■，ξi=■為小區(qū)間 ［xi-1，xi］=■，■的左端點(diǎn)，i=1，2，…，n.于是■■sin■+sin■+…+sin■π=■■sinxdx=■（-cosx）π0=■. 6.利用級數(shù)收斂的必要條件計(jì)算極限。利用級數(shù)收斂的必要條件：若■un收斂，則■un=0.運(yùn)用這個方法首先判定級數(shù)收斂，然后求出它的通項(xiàng)的極限。 例6.求■■.分析：設(shè)un=■，由比值判別法知■un收斂，這樣就得到了■■=0. 7.利用微分中值定理或積分中值定理計(jì)算極限。 例7.求■■sinnxdx.分析：由于sinnx在0，■滿足積分中值定理的條件，從而在0，■至少存在一點(diǎn)ξ使得■sinnxdx=sinnξ■-0=■sinnξ，于是■■sinnxdx=■■sinnξ=0. 8.利用麥克勞林展開式或泰勒展開式計(jì)算極限。設(shè)函數(shù)f（x）在x=0的某個鄰域內(nèi)有定義且f（n）（0）存在，則f（x）的具有皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林展展開式為f（x）=f（0）+f'（0）x+■x2+…+■xn+0（xn），對某些較復(fù)雜的求極限問題，可以利用基本初等函數(shù)帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式來求極限。 例8.計(jì)算■■.分析：利用基本初等函數(shù)帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式得到cosx=1-■+■+0（x4），e■=1+-■+■+0（x4）.于是將上兩式代入所求極限即得■■=-■. 9.利用級數(shù)的和函數(shù)計(jì)算極限。計(jì)算此類極限時常可以輔助性的構(gòu)造一個函數(shù)項(xiàng)級數(shù)使得要求的極限恰好是該函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)在某點(diǎn)的值。 例9.計(jì)算■■（-1）n■x2n+1.分析：設(shè)S（x）■（-1）n■x2n+1，從而只要計(jì)算出S（x）即能計(jì)算所求的極限。利用函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和函的分析性質(zhì)容易計(jì)算出S（x）=arctanx，x∈［-1，1］，于是得到：■■（-1）n■x2n+1=■arctanx=■. 以上歸納了數(shù)學(xué)分析課程中計(jì)算極限的一些方法，當(dāng)然還有一些其他的計(jì)算方法.在講授完數(shù)學(xué)分析的課程之后，教師如果能系統(tǒng)地對極限計(jì)算方法進(jìn)行總結(jié)，并適當(dāng)布置一定的數(shù)量的課外習(xí)題讓學(xué)生去做，要求學(xué)生根據(jù)題目的不同靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，一定起到事半功倍的效果，那么學(xué)生對有關(guān)極限的計(jì)算就比較容易解決了，從而培養(yǎng)提高學(xué)生分析和解決問題的能力。 參考文獻(xiàn)： [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上、下冊）[M].北京：高等教育出版社，2006. [2]錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹[M].湖北：崇文書局，2003. [3]常敏慧，楊建雅.新建本科院校數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教學(xué)模式探討[J].運(yùn)城學(xué)院學(xué)報，2010，28（2）. [4]楊澤恒.數(shù)學(xué)分析課程極限理論教學(xué)的一些實(shí)踐與思考[J].大理學(xué)院學(xué)報，2007，（6）. 基金項(xiàng)目：本文由國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11161018）和廣西教育廳科研項(xiàng)目（201010LX463、201106LX589）資助 作者簡介：林遠(yuǎn)華（1964-），男，副教授，碩士，研究方向：微分方程；盧鈺松（1979-），女，講師，碩士，研究方向： 概率統(tǒng)計(jì)。 通訊作者：林遠(yuǎn)華，盧鈺松。 |
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