一、將二面角的大小化歸為分別與兩個(gè)半平面共面且垂直于棱的兩個(gè)向量所成的角

例1、如圖1，已知四棱錐P-ABCD，PB⊥AD，側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°。

圖1

（I）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；

（II）求面PAB與面CPB所成二面角的大小。

解析：（I）過點(diǎn)P作底面ABCD的垂線，垂足為E。連結(jié)BE交AD于點(diǎn)F，則BE是PB在底面ABCD內(nèi)的射影。因?yàn)?/span>PB⊥AD，所以由三垂線定理及其逆定理得AD⊥BE，AD⊥PF。于是∠PFB就是側(cè)面PAD與底面ABCD所成二面角的平面角，則∠PFB=120°，∠PFE=60°。因?yàn)閭?cè)面PAD是邊長(zhǎng)等于2的正三角形，AD⊥PF，所以AF=1，PF=。在Rt△PEF中，，即點(diǎn)P到平面ABCD的距離為。

（II）因PB⊥AD，AD//BC，則PB⊥BC。在等腰三角形PAB中，AP=AB，取邊PB的中點(diǎn)G，則GA⊥PB。向量與所成的角θ就等于面PAB與面CPB所成二面角的大小。以E為原點(diǎn)，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則有、、，

于是。

，

則。

∴面PAB與面CPB所成二面角的大小為。

使用此法時(shí)要注意所選的兩個(gè)向量所成的角與二面角的關(guān)系。

二、將二面角的大小化歸為兩個(gè)半平面的兩個(gè)法向量所成的角

例2、如圖2，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，且EB=FB=1。求二面角C-DE-C₁的正切值。

圖2

解析：以A為原點(diǎn)，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，3，0）、D₁（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C₁（4，3，2）。

于是，

設(shè)向量與平面垂直，

則

，其中z>0。

取n₀=（-1，-1，2），則n₀是一個(gè)與平面C₁DE垂直的向量。

∵向量與平面CDE垂直

∴n₀與所成的角θ為二面角C-DE-C₁的平面角。

使用此法時(shí)應(yīng)注意所取的兩個(gè)向量所成的角與二面角的關(guān)系。

三、利用射影面積公式求解

例3、同例2。

解：由已知可得三角形C₁DE在面ABCD內(nèi)的射影是三角形CDE，且，。于是三角形C₁DE是面積，而三角形CDE的面積。

設(shè)二面角的大小為θ，由射影面積公式得，則。

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