初等幾何變換

　　旋轉(zhuǎn)變換　如果平面到其自身的一個映射，使得定點(diǎn)O保持不動，并且，對于任一點(diǎn)P 映射到P┡點(diǎn),有OP=OP┡,∠POP┡=θ(0°≤θ≤180°)，且從射線 OP到OP┡的方向與給定方向相同，這個映射叫做繞中心O,按已知方向旋轉(zhuǎn)θ的旋轉(zhuǎn)變換。O點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心,θ叫做旋轉(zhuǎn)角（圖3）。

初等幾何變換初等幾何變換

旋轉(zhuǎn)變換下各對應(yīng)直線所成的角不變，都等于其旋轉(zhuǎn)角。一個圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換，得到與它正常全等的圖形。
　　旋轉(zhuǎn)角為180°的旋轉(zhuǎn)變換叫做中心反射。（圖4）中圖形F和F┡是關(guān)于O點(diǎn)中心反射,O點(diǎn)叫做反射中心,此時,圖形F和F┡正常全等。
　　如果在某個中心反射下，一個圖形的像與它自身重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形或中心反射圖形。如平行四邊形是關(guān)于對角線中點(diǎn)對稱的中心對稱圖形（圖5之a(chǎn)）。圓（圖5之b）、橢圓（圖5之c）、雙曲線（圖5之d）都是中心對稱圖形。

初等幾何變換

　　空間旋轉(zhuǎn)變換有繞軸的旋轉(zhuǎn)，它是空間到其自身的映射，且滿足下述條件：①點(diǎn)P的像P┡與P同在與給定軸線S垂直的平面M內(nèi),②點(diǎn)P和P┡到軸線S的距離相等,即PP0=P┡P0。P0是平面M與軸線S的交點(diǎn),③∠PP0P┡為定角θ（圖6）。

初等幾何變換

這個映射叫做繞軸S旋轉(zhuǎn)定角θ的空間旋轉(zhuǎn)變換。由PP0到P┡P0的旋轉(zhuǎn)方向規(guī)定為：如果θ>0就表示用右手握拳，拇指指向軸上正方向；如果θ<0，旋轉(zhuǎn)與此反向。
　　空間旋轉(zhuǎn)還有空間中心反射。每個點(diǎn),對于中心O都有它的像與之對應(yīng)。空間中心反射變換把一個圖形變?yōu)榕c它反常全等的圖形（圖7 ）。

初等幾何變換

關(guān)于某定點(diǎn)的中心反射空間圖形，常見的有平行六面體，它是關(guān)于對角線交點(diǎn)為反射中心的中心反射圖形（圖8）。

初等幾何變換

　　反射變換　有直線反射變換和平面反射變換。
　　直線反射變換是從P點(diǎn)向直線g引垂線，垂足為O,延長PO到P┡,使OP┡=PO,把P┡點(diǎn)稱為P點(diǎn)關(guān)于直線 g反射的像,直線g叫做反射軸(圖9)。一個從平面到它自身的映射，如果把平面內(nèi)的每一點(diǎn)映射到它關(guān)于直線g的反射的像，這個映射稱為以直線g為反射軸的直線反射變換或直線對稱變換。顯然，反射軸是各對應(yīng)點(diǎn)所連線段的中垂線，反射軸上任一點(diǎn)到各對應(yīng)點(diǎn)的距離相等。

初等幾何變換

　　關(guān)于直線反射的兩個圖形，是互為反常全等的圖形（圖10）。

初等幾何變換

　　如果沿著一條直線把兩個圖形對折后能夠互相重合，這兩個圖形叫做以這條直線為對稱軸的互為對稱的圖形。如果一個圖形被一條直線分成的兩個部分關(guān)于此直線互為對稱，此圖形稱為軸對稱圖形。如等腰三角形是關(guān)于底邊上的高為對稱軸的軸對稱圖形。矩形、菱形、等腰梯形等都是軸對稱圖形。
　　對于空間圖形,如果一個圖形關(guān)于直線g反射變換到它自身,就說這個圖形是關(guān)于軸g的空間反射圖形。顯然，一個圖形繞這個軸旋轉(zhuǎn)180°后,就與它自身重合。如果一個圖形借助于某平面反射變換到它自身，這個圖形叫做關(guān)于這個平面的反射對稱圖形。例如直圓柱是以所有含軸的平面為對稱面的對稱圖形，球是以一切通過中心的平面為對稱面的對稱圖形（圖11）。

初等幾何變換

　　直線反射與平移、旋轉(zhuǎn)有密切的聯(lián)系，有如下的定理：在平面（空間）內(nèi)，對于直線（平面）的兩次反射的積,如果①兩反射軸（平面）重合,則為恒等變換；②兩反射軸（平面）平行,則為平移變換;③兩反射軸（平面）相交，則為旋轉(zhuǎn)變換。
　　平面內(nèi)每個全等變換都可以看作是不多于三次直線反射的積，每個異于恒等變換的正常全等變換都可以看作是兩次直線反射的積;任意給出兩個反常全等圖形,可以施行一次或接連施行三次反射，使此形變成彼形。
　　相似變換　平面（空間）到其自身的一個映射，如果對于任意兩點(diǎn)A、B及其像A┡、B┡有A┡B┡=kAB(k>0),把這個映射叫做平面（空間）的相似變換。當(dāng)k=1時,相似變換就是全等變換。
　　平面內(nèi)有兩種相似變換，第一種叫做真正相似變換（正相似變換），第二種叫做鏡像相似變換（負(fù)相似變換）。真正相似變換把一個圖形變換成與它真正相似(正相似)的圖形,即使得兩個相似圖形的每對對應(yīng)三角形有同一的方向,每對對應(yīng)角有同一方向（圖12之a(chǎn)）。

初等幾何變換

鏡像相似變換把一個圖形變換成與它鏡像相似的(負(fù)相似)圖形。即使得兩個相似圖形的每對對應(yīng)三角形有相反的方向，每對對應(yīng)角有相反的方向（圖12之b）。
　　類似地，空間真正相似變換，把一個空間圖形變換成與它真正相似的圖形，即使得兩個空間相似圖形的每兩個對應(yīng)四面體同向，對應(yīng)三面角也同向。鏡像相似變換，把一個空間圖形變換成與它鏡像相似的圖形，即使得兩個空間相似圖形的對應(yīng)四面體反向，對應(yīng)三面角也反向。
　　相似變換保持兩直線所成角的大小不變，并且不改變圖形的形狀而改變其大小，兩個相似的平面圖形，其面積之比等于它們的相似比的平方；兩個相似的空間圖形，其體積之比等于它們的相似比的立方。
　　平面（空間）的全體相似變換組成一個群，稱為相似變換群。
　　相似變換的特殊情形是位似變換。
　　位似變換　對于平面到其自身的一個映射，如果存在定點(diǎn)S及常數(shù)k(k≠0)。使得對于任意點(diǎn)M及其像M┡,滿足:①S,M,M┡三點(diǎn)共線;②SM┡=│k│SM,則這種映射稱為以S為位似中心,k為位似比的位似變換。當(dāng)k>0時，對應(yīng)的兩點(diǎn)在位似中心的同側(cè)，稱為順位似（圖13之a(chǎn)）,S稱為外位似中心；當(dāng)k<0 時，對應(yīng)的兩點(diǎn)在位似中心的異側(cè)，稱為逆位似（圖13之b）,S稱為內(nèi)位似中心，當(dāng)丨k丨>1。原圖形被放大；當(dāng)丨k丨<1,原圖形被縮小。特別地,當(dāng)k=-1的位似變換,可看作是以S為中心，旋轉(zhuǎn)角為180°的旋轉(zhuǎn)變換。
　　在位似變換下，任何一條直線變?yōu)榕c它平行的直線(圖14),直線AB經(jīng)位似變換得到A┡B┡，則A┡B┡∥AB。

初等幾何變換初等幾何變換

　　任意兩個不等的圓，都可看作是位似圖形，兩圓心是對應(yīng)點(diǎn)。如圖15

初等幾何變換

，圓O的半徑為R，圓O┡的半徑為r。S 和S┡分別以定比R/r外、內(nèi)分線段OO┡。圓O 和圓O┡分別關(guān)于S 和S┡位似，它們的位似比為R/r。
　　類似地，任意兩個不等的球也可以看作是位似圖形，并且有兩種方法使它們位似。
　　反演變換　在平面內(nèi)設(shè)有一半徑為R，中心為O的圓，對任一異于O點(diǎn)的P點(diǎn),將其變換成該射線OP上一點(diǎn)P┡,且使OP┡·OP=R2,這個變換叫做平面反演變換。圓O叫做反演基圓，圓心O 叫做反演中心或反演極，R 叫做反演半徑或反演冪（圖16）。

初等幾何變換

從定義可知，反演變換將過反演中心的射線變成自身，且在此射線上建立對合對應(yīng)，它使位于圓內(nèi)的點(diǎn)變成圓外的點(diǎn),位于圓外的點(diǎn)變成圓內(nèi)的點(diǎn)，反演中心變成平面內(nèi)的無限遠(yuǎn)點(diǎn)。而反演圓上的點(diǎn)則保持不變。
　　空間反演變換可以看作是平面反演變換繞反演基圓的直徑旋轉(zhuǎn)而得。反演變換下，將不過反演中心的直線或平面，分別變成過反演中心的圓或球面；將不過反演中心的圓或球面，分別變成另一個不過反演中心的圓或球面。反之也成立。
　　反演變換是反向保角的，即使兩線（或兩面）所成的角度的大小保持不變，但方向相反。