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首先，大家一起來試想一個場景：每個人手里都拿著一個蘋果，假如我們在這個蘋果表面圍繞一個可以伸縮的橡皮帶，要求既不扯斷它，也不能讓它離開蘋果的表面，最終我們發(fā)現(xiàn)這個橡皮帶可以慢慢移動收縮成一個點。

你能想象到這個場景嗎？

如果大家覺得很難理解，非常抽象的話，我們再換一個場景試試。

把我們居住的房間想象成一個球形體，一個球形的房間。同時，要求這個球形房子沒有窗戶、沒有門，有足夠的多空氣供大家呼吸?，F(xiàn)在每個人手里都拿著一個氣球，來到這個球形的房間里，我們把這個氣球吹大（假設(shè)氣球非常結(jié)實，氣球的“皮”是無限薄，且不能被吹破）。

假如我們一直吹這個氣球，吹到最后會怎么樣呢？一位法國數(shù)學(xué)家龐加萊猜想，氣球吹到最后，一定是氣球表面和整個球形房子的墻壁表面緊緊地貼住，中間沒有縫隙。

這樣理解起來是不是相對容易很多？

換句話說，我們把一個等同球形房間大小的氣球，可以慢慢收縮成一個“點”，這就是數(shù)學(xué)史上非常著名的龐加萊猜想。

了解什么是龐加萊猜想，我們先簡單了解一下什么是拓?fù)鋵W(xué)。

拓?fù)鋵W(xué)是研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質(zhì)的學(xué)科。

拓?fù)鋵W(xué)只考慮物體間的位置關(guān)系，而不考慮它們的形狀和大小。

在拓?fù)鋵W(xué)里，最重要的拓?fù)湫再|(zhì)包括連通性與緊致性。

因此，無論是圍繞蘋果表面橡皮帶，還是可以“填充”整個球形房間的氣球，在這個伸縮過程中，保證了連通性與緊致性。

居于這些假設(shè)，在1904年，法國數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊提出了一個看似簡單的拓?fù)鋵W(xué)猜想：在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那么這個空間一定是一個三維的圓球。

在1905年，龐加萊發(fā)現(xiàn)其中的錯誤，從而修改為：“任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚于n維球面?！?/span>

任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚于一個三維的球面。

更直觀地講：

一個閉的三維流形就是一個有邊界的三維空間；

單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續(xù)的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球 。

后來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。

龐加萊

誰是龐加萊？

龐加萊全名是亨利·龐加萊（1854年~1912年），他是一名法國數(shù)學(xué)家、天體力學(xué)家、數(shù)學(xué)物理學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家。

龐加萊的研究涉及數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、天體力學(xué)、數(shù)學(xué)物理、多復(fù)變函數(shù)論、科學(xué)哲學(xué)等許多領(lǐng)域。

龐加萊在數(shù)學(xué)方面的杰出成就對20世紀(jì)和當(dāng)今數(shù)學(xué)的發(fā)展具有極其深遠(yuǎn)的影響，他在天體力學(xué)方面的研究被譽(yù)為是牛頓之后的一座里程碑，他因為對電子理論的研究被公認(rèn)為相對論的理論先驅(qū)。

因此，龐加萊被公認(rèn)是19世紀(jì)后四分之一和二十世紀(jì)初的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家。

跟哥德巴赫猜想一樣，龐加萊猜想的出現(xiàn)也讓無數(shù)的數(shù)學(xué)家陷入瘋狂，為了能證明這個猜想，很多數(shù)學(xué)家絞盡腦汁，傾其一生，前后長達(dá)一個多世紀(jì)才完成此猜想的證明，更是讓三位數(shù)學(xué)家陸續(xù)獲得了菲爾茨獎。

其實，龐加萊本人提出這個猜想之后，一度認(rèn)為自己能夠證明它，經(jīng)過無數(shù)次努力，發(fā)現(xiàn)有生之年無法證明這個猜想。之后，一些數(shù)學(xué)家，特別是拓?fù)鋵W(xué)家們開始了證明這個猜想的征途。

龐加萊

在龐加萊猜想提出到19世紀(jì)60年代之間，很多數(shù)學(xué)家進(jìn)行大量的證明工作，雖取得一些成就（如發(fā)展出低維拓?fù)鋵W(xué)這門學(xué)科），但離完全證明猜想還很遙遠(yuǎn)，這也讓龐加萊猜想成為出了名難證的數(shù)學(xué)問題之一。

美國數(shù)學(xué)家斯梅爾在60年代初想到了一個“舍近求遠(yuǎn)”辦法：如果三維的龐加萊猜想難以解決，那就先證明高維的加萊猜想。

在1961年的夏天，在基輔的非線性振動會議上，斯梅爾公布了自己對龐加萊猜想的五維空間以及五維以上的證明，一下子就引起數(shù)學(xué)界的轟動。

因此，斯梅爾獲得1966年菲爾茨獎。

在1983年，美國數(shù)學(xué)家福里德曼又將證明向前推動了一步，他證出了四維空間中的龐加萊猜想，并因此獲得菲爾茨獎。

雖然數(shù)學(xué)家都證明高維的龐加萊猜想，但總是無法踏入三維的龐加萊猜想。

如數(shù)學(xué)家瑟斯頓應(yīng)用其他的工具，引入了幾何結(jié)構(gòu)的方法對三維流形進(jìn)行切割，并因此獲得了1983年的菲爾茨獎。

菲爾茨獎

至此，雖然還沒有證明三維的龐加萊猜想，但人們已經(jīng)看到了希望。為了鼓勵數(shù)學(xué)界能更快證明這一猜想，美國克雷數(shù)學(xué)研究所在2000年5月24日，把龐加萊猜想列為七個“千禧年大獎難題”之一，只要能解答成功，就能拿走百萬美元大獎。

俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼在前人的基礎(chǔ)之上，花費8年的時間去研究和證明三維的龐加萊猜想。在2002年11月和2003年7月之間，佩雷爾曼將3份關(guān)鍵論文的手稿粘貼到一個專門刊登數(shù)學(xué)和物理預(yù)印本論文的網(wǎng)站上，并用電郵通知了幾位數(shù)學(xué)家，聲稱自己證明了龐加萊猜想。

2006年，數(shù)學(xué)界最終確認(rèn)佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。

雖然佩雷爾曼證明龐加萊猜想，但他一生淡泊名利，拒絕很多獎項，如直接菲爾茨獎。因此，從某種角度來說，龐加萊猜想讓四名數(shù)學(xué)家獲得了有“數(shù)學(xué)諾貝爾獎”之稱的菲爾茨獎。

佩雷爾曼

從龐加萊提出猜想，到佩雷爾曼完成證明，前后經(jīng)歷長達(dá)一個世紀(jì)的時間，中間有許多數(shù)學(xué)家為了能證明這個定理，耗盡一生的精力。

有人會問，花那么多時間和精力去證明一個猜想有什么意義呢？數(shù)學(xué)符號或數(shù)字看起來或許沒有什么意義，但它是推動人類發(fā)展的工具，更是靈魂。人類在這個證明過程中，不要說對數(shù)學(xué)發(fā)展的意義，更是讓人類的思維方式、思維的廣度和深度、邏輯能力、哲學(xué)等等，都得到前所未有的發(fā)展。

同時這也體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，數(shù)學(xué)的公式或定理不是靠猜測，需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明推理過程，這也讓數(shù)學(xué)成為一個解決本學(xué)科或其他學(xué)科問題的重要工具。

就像龐加萊猜想作為拓?fù)鋵W(xué)中一個具有基本意義的命題，將有助于人類更好地研究三維空間，加深人們對流形性質(zhì)的認(rèn)識，更好的去探索未知世界。