閑談先秦樂、律、歷的關(guān)系，和使用“八十一日分”的真正原因

秦伊人（2013.8）

一、音律和律歷的關(guān)系

《太初歷》最初使用81日分的原因是什么？《漢書·律歷志》說：“其法以律起歷，曰：'律容一龠，積八十一寸，則一日之分也。與長相終。律長九寸，百七十一分而終復(fù)。三復(fù)而得甲子。’”這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了十九年七閏的規(guī)律，才有所謂“百七十一分而終復(fù)”（171/19＝9）。“三復(fù)而得甲子”是說經(jīng)過三個(gè)19年就回到“甲子元”，如：前161甲子元，前142甲辰元，前123甲申元，前104年又是甲子元。冬至日逢甲子朔旦是稱為“甲子元”，這是歷算的基準(zhǔn)，19×4＝76年一個(gè)輪回。但是用81日分還是另有原因，因?yàn)?/span>19年包含235個(gè)朔望月，4×235＝940，朔望月＝29＋(499/940)＝29.530851，這940是“四分術(shù)”的日分，也是十九年七閏的必然結(jié)果，西漢不用940日分而用81日分，朔望月＝29＋(43/81)＝29.5308642，這會(huì)降低歷法精度，可是西漢《太初歷》是先用了81日分的，后來東漢才改用940日分。為什么知道“十九年七閏”后不用“四分術(shù)”的940日分，而是用“三統(tǒng)術(shù)”的81日分？

成熟的律算技術(shù)來自對(duì)樂律的計(jì)算，樂律的計(jì)算因?yàn)榕c度量有關(guān)，所以樂律的計(jì)量名稱如“宮”和“黃鐘”等也被使用到其他的律算中。漢武帝時(shí)期對(duì)歷法計(jì)算要求“其法以律起歷”，是為了使用成熟的律算技術(shù)，因?yàn)槁伤慵夹g(shù)是在樂律應(yīng)用上發(fā)展起來的，而追求整數(shù)比是“樂律”和“律歷”的共性。樂律有簡單的整數(shù)比音樂才和諧動(dòng)聽，而律歷有年月日三者的整數(shù)比，才能精確推算出歷法。樂律和諧在于五音的整數(shù)比，以宮音81起律；律歷精確在于年月日的整數(shù)比，以日分81起算。將成熟的樂律技術(shù)應(yīng)用于歷法，正所謂《史記·律書》說的：“建律運(yùn)歷造日度”，和《漢書·律歷志》說的：“其法以律起歷”。

最早樂律以“宮”定調(diào)其律長是有多重選擇的，不一定宮調(diào)必選81，如管仲選宮調(diào)21，對(duì)于“宮商角征羽”這些音調(diào)的確定，在司馬遷認(rèn)為是以“宮”來定低調(diào)，宮調(diào)最低，羽調(diào)最高；而早在管仲時(shí)期卻是用“宮”定中音調(diào)，并規(guī)定管樂的征調(diào)最低，角調(diào)最高；相反弦樂的征調(diào)最高，角調(diào)最低。如：在《管子·地員第五十八》中規(guī)定：

而在《史記·律書》中規(guī)定：

（先損後益：低宮音）

律數(shù)九九八十一以為宮81

三分去一五十四以為徵54

三分益一七十二以為商72

三分去一四十八以為羽48

三分益一六十四以為角64

二、宮律數(shù)八十一的來歷

在商鞅時(shí)期，有著名的“商鞅方升”流傳至今，根據(jù)《中國古代度量衡圖集》（國家計(jì)量總局編輯，文物出版社1984）的記載：

商鞅方升：（戰(zhàn)國·秦）上海博物館藏

內(nèi)體積：長五寸四（124.774）、寬三寸（69.742）深一寸（23.23）。

銘刻：“十八年，齊率卿大夫重來聘，冬十二月乙酉，大良造鞅，援積十六尊五分尊一為升?！?/span>

商鞅方升（圖）其中有銘文：“大良造鞅爰積十六尊五分尊之一為升”，故稱為“商鞅方升”，其容積為16又1/5（即16.2）立方寸。

從商鞅到王莽，秦漢時(shí)期容積基本一致，容積以“81” 為基本單位（16.2/2=8.1），也稱為“黃鐘律”，這是王莽“同律度量衡”的數(shù)字依據(jù)，也是八十一日分的理論來源。

商鞅方升的容積為什么是16.2立方寸為一升？10立方寸為一升豈不是更方便？其實(shí)這正是商鞅方升設(shè)計(jì)的巧妙之處，商鞅方升的容積是根據(jù)谷和米的比例關(guān)系而設(shè)計(jì)的，因?yàn)橐簧眺鄙?/span>16.2立方寸）谷物，經(jīng)過脫殼加工可以得到約十立方寸純米。陳夢(mèng)家在《漢簡綴述》中論證了漢代一大升谷物可以得一小升純米，大小升的比例約為16/10或10/6。

秦漢時(shí)期一寸約為23毫米，折算后商鞅方升的理論尺寸如圖：（長：5.4寸、約合124.2毫米；寬：3寸、約合69毫米；高：1寸、約合23毫米。）

從商鞅到王莽的秦漢時(shí)期，“方寸”被用來作為設(shè)計(jì)、計(jì)算計(jì)量器具的基本單位，16.2方寸為一升，一升谷物可得十方寸純糧?！胺酱纭庇米饔?jì)量單位，是以長度單位作為設(shè)計(jì)容量器具的依據(jù)，這是從商鞅時(shí)期就有的傳統(tǒng)。如上圖：現(xiàn)藏于中國歷史博物館的始建國銅方斗（新莽），有銘文：“律量斗，方六寸，深四寸五分，積百六十二寸，容十升，始建國元年正月癸酉朔日制”。（6×6×4.5＝162）這個(gè)容積是商鞅方升的整十倍，可見王莽時(shí)期對(duì)商鞅時(shí)期的計(jì)量法度是完全繼承的。這個(gè)“積百六十二寸”為何不是容16.2升？而是“容十升”，這就是谷與米的比列，是說“百六十二寸”的谷子可以“容十升”米。這個(gè)容積接近10/6的比例，和《破城子漢簡》110.14記錄“粟一斗得米六升”是一致的。

《漢書·律歷志》有：“合龠為合，十合為升，十升為斗，十斗為斛”。若當(dāng)初商鞅能設(shè)計(jì)“方寸為合，十方寸為升，百方寸為斗”的容量體系，則是十分方便的，但是由于容量的設(shè)計(jì)兼顧了谷物和純糧的容積換算，所以才出現(xiàn)了“援積十六尊五分尊一為升”（16.2方寸“粟”轉(zhuǎn)換為一升“米”）這樣一個(gè)奇特的復(fù)合型的基本容量單位。

現(xiàn)在可以認(rèn)識(shí)到，所謂的“容如黃鐘”只是一種人為解釋，如：1970年在陜西咸陽底張灣出土，現(xiàn)藏咸陽市博物館的始建國銅龠（新莽），柄上刻銘文一行：“律量龠，方寸而圈其外，兆旁九豪，冥百六十二分，深五分，積八百一十分，容如黃鐘”。 容積八十一是“容如黃鐘”，其來源是“積百六十二”，就是二倍黃鐘數(shù)，但這個(gè)最早出現(xiàn)在商鞅方升里的“百六十二”，只是因?yàn)樗谂c米的比例而特意設(shè)定的數(shù)據(jù)，這與的黃鐘律81或?qū)m律81沒有直接關(guān)系，因?yàn)閷m律也可以不選81而選其他的數(shù)值。

三、用“八十一日分”是為計(jì)算簡便

    從《歷術(shù)甲子篇》中有司馬遷死后的紀(jì)年來看，《歷術(shù)甲子篇》一定不是司馬遷本人錄入《史記》的；但是學(xué)界認(rèn)為后來的紀(jì)年是后人所加，《歷術(shù)甲子篇》的主體數(shù)據(jù)是司馬遷本人錄入《史記》的，這使得問題復(fù)雜化。所以只能從《歷術(shù)甲子篇》的實(shí)質(zhì)內(nèi)容來分析《歷術(shù)甲子篇》的產(chǎn)生年代。

    西漢司馬遷先寫有《史記》，東漢班固再寫有《前漢書》，最后在魏晉時(shí)期的范曄、司馬彪才寫有《后漢書》，這三部著作產(chǎn)生的時(shí)間順序是不容質(zhì)疑的，這是討論的基礎(chǔ)。通過對(duì)以上三本書所記錄的計(jì)算數(shù)據(jù)的不同，可以分析出《歷術(shù)甲子篇》的產(chǎn)生年代。

    年月日是觀象歷自然的計(jì)算單位，在推步歷出現(xiàn)前就使用，由于推步計(jì)算的需要，在推步歷中有推步歷專用計(jì)算單位，“章”、“蔀”、“紀(jì)”、“統(tǒng)”是推步歷的計(jì)算單位，最小的推步歷計(jì)算單位是“章”，在《前漢書律歷志第一》中，有關(guān)推步歷所使用的計(jì)算數(shù)據(jù)有五條：

1　　閏法，十九。           （19×1）

2　　章月，二百三十五。     （12×19＋7）

3　　統(tǒng)法，一千五百三十九。 （19×81）

4　　月法，二千三百九十二。 （81×29.530864）

5    日法，八十一。         （81）

相應(yīng)地在《后漢書志第三律歷下》中，有關(guān)推步歷使用的計(jì)算數(shù)據(jù)有六條：

1　  章法，十九。             （19×1）

2    章月，二百三十五。       （12×19＋7）

3    紀(jì)法，千五百二十。       （19×80）

4　　蔀日，二萬七千七百五十九。（940×29.530851）（365.25×19×4）

5　　蔀月，九百四十。         （940）

6　　蔀法，七十六。           （19×4）

已知：1、《前漢書》“三統(tǒng)歷”系統(tǒng)所使用的推步計(jì)算單位是“章”和“統(tǒng)”；

          （1章＝19年；1統(tǒng)＝81章。）

      2、《后漢書》“四分歷”系統(tǒng)所使用的推步計(jì)算單位是“章”、“蔀”和“紀(jì)”；

         （1章＝19年；1蔀＝4章；1紀(jì)＝20蔀。）（1“統(tǒng)”＝1“紀(jì)”＋1“章”。）

      3、《歷術(shù)甲子篇》的成立基礎(chǔ)是在“四分歷”系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，對(duì)子正月朔日的精

         確計(jì)算，而計(jì)算的基礎(chǔ)是對(duì)數(shù)據(jù)的掌握和使用，在《歷術(shù)甲子篇》中使用的基

         本數(shù)據(jù)和基本計(jì)算有：

         1年＝365.25日；

         1章＝19年＝6939.75日；

         1蔀＝4章＝76年＝27759日；

          “日分”＝940；

         朔望月＝蔀日／蔀月

               ＝27759／940

               ＝（365.25×19×4）／（235×4）

               ＝29＋（499／940）

推論：1、在《歷術(shù)甲子篇》里使用的數(shù)據(jù)是：“蔀法”（＝76年），和“蔀月”（＝940），

         這些概念在《史記》和《前漢書》中并沒有出現(xiàn)，所以在“蔀”概念上建立的《歷

         術(shù)甲子篇》是不應(yīng)該在《史記》中出現(xiàn)的。

推論：2、在《漢書·律歷志》中有“其法以律起歷，......法，一月之日二十九日八十一分

         日之四十三。”明言用數(shù)“八十一”為“日分”；但是《歷術(shù)甲子篇》中“日分”

         用數(shù)“九百四十”，不能支持“八十一分日”的記錄，所以《歷術(shù)甲子篇》在《史記》

　　　　 中的出現(xiàn)是與《漢書·律歷志》的記錄相矛盾的。

    從對(duì)“日分”數(shù)據(jù)的使用來看，《前漢書》所用的是“81”，《后漢書》和《歷術(shù)甲子篇》所用的是“940”；而對(duì)“日分”數(shù)據(jù)的使用是計(jì)算能力的標(biāo)志，可計(jì)算能力是隨著時(shí)代的進(jìn)步而增加的。古人用算籌計(jì)算，比較《四分歷》和《太初歷》用不同的“朔策”模擬用算籌的算法如下：

對(duì)于小馀的計(jì)算，《太初歷》算法是用十位數(shù)加減法，《四分歷》是用百位數(shù)加減法，

顯然《太初歷》算法比《四分歷》的算法更為簡易，更為優(yōu)越，這在以算籌為計(jì)算工具的時(shí)

代更是如此。并且用《太初歷》算法的計(jì)算結(jié)果規(guī)律性很強(qiáng)，這對(duì)于驗(yàn)證計(jì)算也很有利。

    古人用算籌計(jì)算非常煩瑣，算籌只能對(duì)整數(shù)和整數(shù)比（分?jǐn)?shù)）進(jìn)行四則運(yùn)算，乘法變成加法運(yùn)算，除法用分?jǐn)?shù)表示。所以對(duì)于499/940這樣大分母的分?jǐn)?shù)，從算籌計(jì)算方便考慮，古人希望用分母小的分?jǐn)?shù)來近似表示，而因?yàn)閷?duì)樂律計(jì)算的熟悉，這個(gè)分母又希望用一個(gè)律長數(shù)（宮、商、角、征、羽）來表示。古律長度有：宮＝81（基準(zhǔn)律長度）

征＝宮＋宮/3＝108；商＝征－征/3＝72；

羽＝商＋商/3＝96； 角＝羽－羽/3＝64。（先益后損）

征＝宮－宮/3＝54； 商＝征＋征/3＝72；

羽＝商－商/3＝48； 角＝羽＋羽/3＝64。（先損后益）

征(108)羽(96)宮(81)商(72)角(64)            （先益后損，中宮音調(diào)）

宮(81)商(72)角(64)征(054)羽(48)（先損后益，低宮音調(diào)）

設(shè)：499/940＝A/81＝B/72＝C/64＝D/54＝E/48＝F/108＝G/96

（宮）A＝42.9989取整為43差為0.0011

（商）B＝38.2213取整為38差為0.2213

（角）C＝33.9745取整為34差為0.0255

（征）D＝28.6660取整為29差為0.3340

（羽）E＝25.4809取整為25差為0.4809

（征）F＝57.3319取整為58差為0.6681

（羽）G＝50.9617取整為51差為0.0383

    上述計(jì)算表示，只有A＝42.9989最接近一個(gè)整數(shù)值（43），而只有整數(shù)和用整數(shù)表示的分?jǐn)?shù)才能夠用算籌進(jìn)行計(jì)算。司馬遷對(duì)上述歷算中律和歷的數(shù)字關(guān)系是認(rèn)可的，并有所敘述，這個(gè)43/81的律歷數(shù)字關(guān)系成了鄧平“以律起歷”的基礎(chǔ)，這是對(duì)499/940的簡化，而這個(gè)簡化大大方面了當(dāng)時(shí)的算籌運(yùn)算，二者的朔望月絕對(duì)差值僅為0.000013（十萬分之1.3）。

    從上述《太初歷》和《四分歷》的運(yùn)算過程和計(jì)算結(jié)果來看，《太初歷》算法簡便，但是“粗”于《四分歷》，《四分歷》算法復(fù)雜，但是“精”于《太初歷》；所以若鄧平計(jì)算的《太初歷》在當(dāng)時(shí)果然粗疏，則不會(huì)以“粗疏”為借口廢棄其他十七種歷法；若司馬遷當(dāng)時(shí)果然有“精”于《太初歷》的《四分歷》在手，鄧平也不能以其他歷法“粗疏”為借口而自立。所以合理的解釋是：由于當(dāng)時(shí)沒有能力對(duì)三位數(shù)進(jìn)行大規(guī)模的歷法運(yùn)算，改用對(duì)二位數(shù)的運(yùn)算；對(duì)三位數(shù)的歷法運(yùn)算是在《太初歷》頒布之后和東漢改歷之前，所以《歷術(shù)甲子篇》是在司馬遷之后完成的。

天文觀象和歷法推算是有區(qū)別的，不能說唐都是司馬遷的父親司馬談的天文老師，就說司馬遷也必然精通歷算；其實(shí)在制定《太初歷》時(shí)，唐都的工作也只是“分天部”，歷算工作由鄧平和落下閎承擔(dān)?！秴问洗呵铩べF因》云：“夫?qū)徧煺?，察列星而知四時(shí)，因也。推歷者，視月行而知晦朔，因也?！笨梢姟坝^星者”是分天部、定四時(shí)的，是唐都一派；“視月者”才是推歷、算歷的人，是鄧平一派，無怪乎當(dāng)時(shí)多數(shù)參與《太初歷》制定的人都說“不能為算”。司馬遷對(duì)《天官書》很熟悉，這并不表示他對(duì)歷算也精通。

另外，《史記》經(jīng)歷漢武帝和東漢章帝兩次大規(guī)模刪減，后人有增補(bǔ)《史記》的可能，所以《史記》已經(jīng)不是司馬遷時(shí)期的原貌。從《漢書》對(duì)《太初歷》的描述，《歷術(shù)甲子篇》與《太初歷》是不同兩種歷法，并且《歷術(shù)甲子篇》比《太初歷》先進(jìn)，而司馬遷時(shí)期只有《太初歷》經(jīng)過頒布，所以《歷術(shù)甲子篇》不應(yīng)該是司馬遷時(shí)期的歷法。

由于不為人知的原因，《歷術(shù)甲子篇》進(jìn)入了《史記》，學(xué)者們產(chǎn)生了一些誤解，在《〈歷術(shù)甲子篇〉淺釋》中，張汝舟說：“尤可怪者，篇末說：'大馀者，日也。小馀者，月也?！抉R遷家學(xué)甚深，怎么會(huì)有這種謬言迷惑后人，這一妄改，全篇'大馀’、'小馀’便成了一天云霧”。（《二毋室古代天文歷法論叢·〈歷術(shù)甲子篇〉淺釋》張汝舟著）；因?yàn)閺埲曛壑饔^地認(rèn)為《歷術(shù)甲子篇》一定是司馬遷錄入《史記》的，所以他要批后人“妄改”《歷術(shù)甲子篇》，同時(shí)可以看出張汝舟不認(rèn)為“小馀”和“月”有關(guān)系。

在《漢書律歷志第一下》有：“推正月朔，......小馀三十八以上，其月大?！痹凇逗鬂h書志第三律歷下》有：“推天正朔日，......小馀四百四十一以上，其月大?！薄疤煺啡铡笔侵浮白诱隆彼啡?，子正月朔日的“小馀”若小，子正月就是小月，反之“小馀”若大，就是大月，所以說：“小馀者，月也?！钡恼f法不是“妄改”《歷術(shù)甲子篇》的語言。

其實(shí)“小馀者，月也?！本褪钦f大小月的排布規(guī)律由“小馀”數(shù)值的相對(duì)大小來決定，這在《前漢書》和《后漢書》中都有敘述，所不同的是對(duì)于“小馀”數(shù)大小的界定值，《前漢書》所用的是“38”，《后漢書》所用的是“441”。由于：“38/81=0.469；441/940=0.469”，所以上述兩書所用的界定值是完全一致的。

從對(duì)“日分”數(shù)據(jù)的使用來看，《前漢書》所用的是“81”，《后漢書》和《歷術(shù)甲子篇》所用的是“940”；而對(duì)“日分”數(shù)據(jù)的使用是計(jì)算能力的標(biāo)志，可計(jì)算能力是隨著時(shí)代的進(jìn)步而增加的。所以，在知道“十九年七閏”后，雖然必有“四分歷”的940日分，但是局限于當(dāng)時(shí)的能力，對(duì)大規(guī)模的歷法計(jì)算，使用算籌計(jì)算三位數(shù)日分比計(jì)算二位數(shù)日分更困難，以至于當(dāng)時(shí)官方有“不能為算”的說法，而要調(diào)用“民間治歷者”，因此當(dāng)時(shí)鄧平選擇了使用較為方便的81日分。至于后來“三統(tǒng)術(shù)”的81日分被冠以“黃鐘律”的名稱，也只是一種文化解釋，499/940非常接近43/81也只是巧合，其實(shí)使用81日分和使用940日分的區(qū)別只在于計(jì)算的方便程度。其實(shí)“四分術(shù)”與“三統(tǒng)術(shù)”的基礎(chǔ)都來源于“十九年七閏”，兩種歷術(shù)也能互相轉(zhuǎn)換。

附錄：

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《史記·歷術(shù)甲子篇》：“太初元年，歲名焉逢攝提格，月名畢聚，日得甲子，夜半朔旦冬至。”

--------（將《歷術(shù)甲子篇》數(shù)字化）----------------------------------------------------------

         (子正朔) (冬至)

         (59.940) (59.32)