文/李小喵

去年我修了兩門課，都是教老師如何教k-8（幼兒園至8年級）的數(shù)學(xué)課。教這門課的老師都是臺灣老師，在美國中小學(xué)教過多年數(shù)學(xué)，有著很豐富的經(jīng)驗，所以跟我們介紹了很多美式數(shù)學(xué)的教法，讓人腦洞大開……

美國教育最大的一個特點就是，老師必須掰開揉碎，一步一步地教，這一點跟美國人的思維方式是一樣的。所以你們看美國的教材，從幼兒園到大學(xué)，全部一步一步寫得特別清楚。

很多人在國內(nèi)學(xué)高數(shù)覺得很難，到了美國看原版教材反而覺得更簡單，就是因為美國編教材的人把讀者都想象成傻子，所以解釋得特別詳細(xì)的原因，而且還輔助大量生動的案例、插圖，等等。

美國數(shù)學(xué)教材的難度其實和國內(nèi)差不太多，我個人認(rèn)為，但是差別在于練習(xí)和考試的難度。印象中我小時候教材、書后練習(xí)、市質(zhì)量檢測和考試的難度是這樣的：

美國中小學(xué)考試是這樣的：

基本就是學(xué)什么考什么，因為考試是assessment的一種，目的就是測試學(xué)生是否掌握知識，而不是說看誰有超前學(xué)習(xí)，誰額外學(xué)得多什么的。

好了吐槽完畢，今天我們就來聊聊數(shù)感（Number Sense）的問題。

數(shù)感，簡而言之就是對數(shù)字的一種感覺。

“[They] can think and reason flexibly with numbers, use numbers to solve problems, spot unreasonable answers, understand how numbers can be taken apart and put together in different ways, see connections among operations, figure mentally, and make reasonable estimates.”

-About Teaching Mathematics, Marilyn Burns

美國對于低年級學(xué)生的其中一個訓(xùn)練就是數(shù)數(shù)。你可能問數(shù)數(shù)有嘛好數(shù)的，但是這就是培養(yǎng)對于數(shù)字的一種感覺。比如說給你幾個點點，讓你數(shù)數(shù)一共有幾個。

來來來，數(shù)一數(shù)下圖一共有幾個圓圈

6-7個以下我們都能數(shù)出來，但是再多，就很難數(shù)了。所以美國小學(xué)數(shù)學(xué)有一種練習(xí)，就是看圖數(shù)點點，然后告訴老師你是用什么方法數(shù)的。

除了數(shù)點點，我們還可以花樣數(shù)數(shù)。

我們小時候都數(shù)過。來，大家一起數(shù)偶數(shù)，2，4，6，8，10……大家5個5個數(shù)，5，10，15，20，……但是這樣一班人坐在屋里一起數(shù)很無聊啊，于是就有老師發(fā)明了一個游戲bizz buzz。聽上去很弱智，但是小朋友們很喜歡??！

比如5個5個數(shù)，小朋友排排站，挨個數(shù)數(shù)，但是不是說數(shù)字，而是說bizz和buzz。第1-4個小盆友 說bizz，第5個要說buzz，然后6-9說bizz，10說buzz，以此類推。誰說錯了可以待會唱個歌什么的。

對于小朋友，不能把規(guī)則說了就開始玩，他們會困惑。

首先要解釋規(guī)則，演示一遍(demostration)；

然后要帶著他們一起做(guided practice)；

最后再讓他們自己做(individual practice)。

也有老師管這個叫做to-with-by，怎么叫都行，反正就是這個順序。

除了這個bizz buzz的游戲以外，還有一個游戲叫做mingle and count。具體玩法就是老師一直在說mingle，然后學(xué)生四處走動，然后老師忽然說一個數(shù)字，比如5，然后5個學(xué)生就要抱在一起，然后大家一起數(shù)：5，10，15……剩下的沒有組的可能學(xué)個鴨子叫什么的，下次找好組。

老師還說了一些規(guī)則，這些規(guī)則要在小朋友們玩之前重復(fù)，比如不要拒絕不喜歡的人一組，不要推打這類的規(guī)則，否則屋里就會亂成一團(tuán)……

第二種訓(xùn)練數(shù)感的方法就是湊成10（Make 10）

老師會在白板上放上這個Make 10 Chart，用來輔助學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算。比如老師問7+3=？然后會在第一排放上5個紅色圓形，下面放上2個紅色圓形和3個黃色圓形，然后學(xué)生就很清楚地看到是10，因為老師教過一行是5個，兩行是10個。

隨著年齡的增長，會逐漸增大數(shù)值，20以內(nèi)的運(yùn)算就可以用兩個Make 10 Chart。比如12+5=？然后第一個chart放12個紅色圓形，第二個放5個黃色圓形，然后學(xué)生要把第二個chart里的3個黃色圓形放到第一個chart里，湊成10，然后第二個chart里剩下2個，就能得出12+5=10+7=17，就比較明顯。

不要小瞧這些看似很簡單或者很沒用的東西，這就是在逐漸培養(yǎng)學(xué)生number sense的過程。其實他們教育的初衷還是希望能夠讓學(xué)生多維度地去思考和解決問題，而不是看誰算得快。

我個人的看法是：學(xué)還是要這樣學(xué)的，但是不能都小學(xué)畢業(yè)了還這樣算，那時候還是需要很快地心算出來，而不是還在那畫圖來解決20以內(nèi)的加減法。

為什么要做這樣的練習(xí)？

眾所周知，中文和英文有很大的差異，其中最大的一個差異就是關(guān)于數(shù)字的數(shù)法。中文是一……十、十一、十二、十三……二十。英文是one, two,…ten, eleven, twelve, thirteen, fourteen, …nineteen, twenty.不知道大家有沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律。

中文數(shù)字的數(shù)法是十進(jìn)制的，也就是到了十以后，十加一等于十一，兩個十就是二十，這些東西因為都是母語，所以我們早就習(xí)以為常。除了中文以外，日語的數(shù)法也是跟中文一樣的，十進(jìn)制的。但是英文不一樣，英文的eleven和twelve和ten一點關(guān)系也沒有！

你完全看不出來eleven哪里能體現(xiàn)是ten+one，只有thirteen到nineteen都有個teen，才讓人有種感覺，這些數(shù)字在10-20之間，但是很遺憾，11和12不在這個范圍內(nèi)。

這樣會導(dǎo)致一個什么問題呢？講英文的孩子number sense可能不如中國孩子好。語言和思維方式其實是互相影響的，有很多潛移默化的問題我們都沒有注意到。我們習(xí)慣了十進(jìn)制的算法，所以不能理解為什么講英文的人number sense不好。我舉個例子吧，相信大家對于二進(jìn)制或者十六進(jìn)制沒有十進(jìn)制熟悉，下面大家試試看這個二進(jìn)制運(yùn)算。

這是二進(jìn)制的法則：00＋00＝00，00＋01＝01，01＋00＝01，01＋01＝10

來來來，算算這個二進(jìn)制是十進(jìn)制的多少：100101

答案是37。你算對了么？

題目來自維基百科。

所以，不熟悉十進(jìn)制的人學(xué)起來數(shù)學(xué)的難度就跟我們算二進(jìn)制一樣。

關(guān)于二進(jìn)制，我們可能暫時理解了，但是算的時候還是會總出錯。這就是為什么美國老師這么強(qiáng)調(diào)十進(jìn)制的原因——因為他們的語言習(xí)慣和我們不一樣。所以有一些老師會在數(shù)學(xué)課上教小盆友用數(shù)學(xué)語言數(shù)數(shù)，比如eleven說成ten-one，twenty數(shù)成two ten等等，便于他們理解十進(jìn)制。

今天介紹了數(shù)感的一些內(nèi)容，希望大家能夠理解它在基礎(chǔ)算數(shù)中的作用。不要覺得母語是中文就不需要這些，這些東西就像種子一樣，小時候種下去，長大之后會慢慢發(fā)芽。在年幼的時候，這些數(shù)學(xué)思維和能力的培養(yǎng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝于運(yùn)算速度的快慢。