原創(chuàng) 2015年08月28日 14:26:33

群論的基本概念點(diǎn)較多，且各概念點(diǎn)之間關(guān)系縱橫交錯(cuò)，學(xué)習(xí)起來頗有本科時(shí)初學(xué)線性代數(shù)時(shí)的感覺，覺得有必要整理一下，先梳理一下群的基本定義和例子。
首先作幾點(diǎn)說明：
1、群(group)、環(huán)(ring)、域(field)是抽象代數(shù)(abstract algebra)中基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)(algebraic structures)
2、上述這些代數(shù)結(jié)構(gòu)是抽象代數(shù)(abstract algebra)的研究對(duì)象之一，另一個(gè)研究對(duì)象是通過研究這些代數(shù)結(jié)構(gòu)間的保持運(yùn)算的映射(態(tài)射(morphism))
3、1872年，F(xiàn).Klein在被聘為埃爾朗根大學(xué)的數(shù)學(xué)教授的就職演講中闡述了幾何學(xué)統(tǒng)一的思想：所謂幾何學(xué)，就是研究幾何圖形對(duì)于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學(xué)問，或者說任何一種幾何學(xué)只是研究與特定的變換群有關(guān)的不變量（《埃爾朗根綱領(lǐng)(Erlangen Program)》）

〇、前置概念

名稱	英文名稱	定義	說明
代數(shù)運(yùn)算	Algebra Calculation	非空集合S與自己的笛卡爾積S×S到S的一個(gè)映射	在群論中通常是指所謂的二元代數(shù)運(yùn)算
正交點(diǎn)變換			又稱為保距變換(isometry)
正交矩陣	Orthogonal Matrix	AAT=ATA=E
酉矩陣	Unitary Matrix	UUH=UHU=En	式中H為共軛轉(zhuǎn)置

一、群的定義

1、群的基本定義

序號(hào)	定義	說明
1	代數(shù)運(yùn)算	定義了一個(gè)代數(shù)運(yùn)算的非空幾何
2	結(jié)合律	(ab)c=a(bc),?a,b,c∈G
3	單位元存在律	?s∈G,ea=ae=a,?a∈G
4	逆元存在律	?a∈G,?b∈G,ab=e

2、 群定義的衍生

名稱	英文名稱	定義	說明
群	Group	滿足前述全部4條群的基本定義的非空集合
半群	Semigroup	僅滿足前述群的基本定義中的前2條的非空集合，即： 1）定義了集合上的代數(shù)運(yùn)算 2）適用結(jié)合律 但是，并不要求存在單位元和逆元	也有地方稱為仿群
幺半群	Monoid	滿足前述群的基本定義中的前3條的非空集合，即： 1）定義了集合上的代數(shù)運(yùn)算 2）適用結(jié)合律 3）存在單位元 但是，并不要求存在逆元
阿貝爾群	Abel Group	在滿足前述全部4條群的基本定義的前提下，再補(bǔ)充一條：群元素滿足交換律	ab=ba,?a,b∈G

二、群的例子

1、生活中群的例子

名稱	英文名稱	說明
平面晶體群	Plane Crystallographic Group	又被稱為貼墻紙群(Wallpaper Group) 已經(jīng)G.Polya在1924年完成對(duì)平面晶體群的分類：共有17種不同的平面晶體群
空間晶體群	Space Crystallographic Group	Fedorov和Schonflies分別獨(dú)立地證明了空間晶體群共有230個(gè)
魔方群	Rubik’s Cube group	https://en./wiki/Rubik%27s_Cube_group

2、數(shù)集中群的例子

名稱	符號(hào)	定義	說明
整數(shù)加群
實(shí)數(shù)加群
n次單位根群	Un		Un的生成元成為復(fù)數(shù)域中的本原n次單位根(primitive n th root of unity)

3、幾何中群的例子

中文名稱	英文名稱	符號(hào)	定義	說明
歐幾里得群	Euclidean Group	En	n維空間所有正交點(diǎn)變換的集合	E2 為平面歐氏群E3 為空間歐氏群
二面體群	Dihedral Group	Dn	正n邊形的對(duì)稱（性）群，n≥3

4、代數(shù)中群的例子

中文名稱	英文名稱	符號(hào)	定義	說明
模n剩余類環(huán)		Zm	Zm=0,1,2,…,m?1	該群的生成元是1ˉ(iˉ=i1ˉ)
Zm的單位群	Zm’s Group of Units	U(Zm)或Z?m	Zm=0,1,2,…,m?1	該群的生成元是1ˉ(iˉ=i1ˉ)
Zp的乘法群		Z?p	當(dāng)m為素?cái)?shù)p時(shí)，Zm中所有非零元組成的集合對(duì)于乘法構(gòu)成的一個(gè)abel群	該群是一個(gè)abel群 當(dāng)m為素?cái)?shù)時(shí)，根據(jù)歐拉定理Zp中的所有元素都有逆元(inverse unit)
一般線性群	General Linear Group	GLn(F)	域F上所有n級(jí)可逆矩陣組成的集合，對(duì)于矩陣的乘法所成的群	是矩陣群(Matrix Group)的一種
特殊線性群	Special Linear Group	SLn(F)	在一般線性群定義的基礎(chǔ)上再補(bǔ)充定義，所有的矩陣行列式為1	是矩陣群(Matrix Group)的一種
正交群	Orthogonal Group	On	實(shí)數(shù)域上所有n級(jí)正交矩陣(AAT=ATA=E)組成的集合	是矩陣群(Matrix Group)的一種
特殊正交群	Special Orthogonal Group	SOn	在正交群定義的基礎(chǔ)上再補(bǔ)充定義，所有的矩陣行列式為1	是矩陣群(Matrix Group)的一種 通常SOn被稱為n維旋轉(zhuǎn)群(Rotation Group) 它所指定的旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸可以通過求解一個(gè)線性方程組的基礎(chǔ)解析來計(jì)算得到
酉群	Unitary Group	Un	復(fù)數(shù)域上所有n級(jí)酉矩陣組成的集合，對(duì)于矩陣乘法所成的群
特殊酉群	Special Unitary Group	SUn	在酉群定義的基礎(chǔ)上再補(bǔ)充定義，所有的矩陣行列式為1
集合Ω的全變換群	Full Transformation Group on Set Ω	SΩ	非空集合Ω到自身的所有雙射組成的集合，對(duì)于映射的乘法構(gòu)成的一個(gè)群
n元對(duì)稱群	Symmetric Group on n letters	Sn	SΩ，當(dāng)Ω為有限集合時(shí)	Sn具備對(duì)稱性 這時(shí)其中的每一個(gè)元素(是一個(gè)雙射)被稱為Ω的一個(gè)置換(permutation)，對(duì)于Ω有n個(gè)元素的情形，該置換被稱為n元置換(permutation on n letters) Sn中引入了r-輪換(r-cycle)的概念；特別的，當(dāng)r=2時(shí)，輪換被稱為對(duì)換(transposition)；并且可以說明：每一個(gè)置換都可以表示成一些對(duì)換的乘積 并且對(duì)于置換進(jìn)一步引入了由其等價(jià)的對(duì)換分解式中的對(duì)換的個(gè)數(shù)的奇偶性確定的奇置換或偶置換
n元交錯(cuò)群	Alternating Group on n letters	An	Sn中所有偶置換組成的集合