典型例題

　　 例1  已知：如圖AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求證：BE∥CF

　　證明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）

　　∴_____=_____=90°（?。?/p>

　　∵∠1=∠2（已知）

　　∴_____=_____（等式性質）

　　∴BE∥CF（ ）

　　答案：∠ABC=∠BCD，垂直定義，∠EBC=∠BCF，內錯角相等，兩直線平行．

　　說明：了解證明的結構，和邏輯關系．

　　例2  已知：如圖，EF⊥AC，BC⊥AC，∠1=∠B，求證：AD∥EF．

　　 分析：由EF⊥AC，BC⊥AC，可推出EF∥CB，又由∠1=∠B，可推出AD∥CB，從而又可推出AD∥EF．

　　證明：∵EF⊥AC，BC⊥AC （已知），

　　∴EF∥CB（垂直于同一直線的兩直線平行）．

　　∵∠1=∠B（已知)．

　　∴AD∥CB （內錯角相等兩直線平行)．

　　∴AD∥EF（平行于同一直線的兩直線平行）．

　　說明：在證明中可以清楚地看出證明的結構，這里“∵EF⊥AC，BC⊥AC （已知）， ∴EF∥CB（垂直于同一直線的兩直線平行）．”與“∵∠1=∠B（已知)． ∴AD∥CB （內錯角相等兩直線平行)．”的先后次序可以交換．

　　例3  已知：如圖，AD∥BC，AD平分∠EAC．

　　求證：∠B＝∠C．

　　 分析：由AD∥BC可推出∠1=∠B，∠2=∠C，又AD平分∠EAC，于是可推出∠1=∠2，通過等量代換即可推出∠B＝∠C．

　　證明：∵AD∥BC（已知），

　　∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），

　　∠2=∠C （兩直線平行，內錯角相等）．

　　∵AD平分∠EAC（已知），

　　∴∠1=∠2（角平分線定義）．

　　∴∠B＝∠C（等量代換）．

　　說明：由已知AD∥BC可同時推出兩個結論，∠1=∠B和∠2＝∠C，其推論過程是：

　　∵AD∥BC，

　　∴∠1=∠B．

　　∵AD∥BC，

　　∴∠2＝∠C．

　　為簡便起見，可書寫為：

　　∵AD∥BC， 

　　∴∠1=∠B，∠2＝∠C．

　　但要注意不要書寫為：

　　∵AD∥BC，

　　∴∠1=∠B．

　　∴∠2＝∠C．

　　因為這將造成“∠2＝∠C”是由“∠1=∠B”推出的錯誤推理，其實，上述沒有因果關系．

　　例4   已知：如圖，點D、E、F分別在BC、AC和AB上，DF∥AC，∠1＝∠A．

　　求證；AB∥DE．

　　分析：欲證AB∥DE，首先要觀察圖形，看AB和DE被哪一條直線所截，圖中AB和DE即被DF所截，同時又被AC所截，這時可任取其中一種情況，若取AB和DE被DF所截，只須證∠l＝∠2即可；若取AB和DE被AC所截，只須證∠3＝∠A即可．注意到已知條件EF∥AC，可以推出∠l＝∠3，∠2＝∠A，再加上之∠1＝∠A，這個已知條件，兩種證法都不難實現(xiàn)．

　　證1：∵DF∥AC（已知），

　　 ∴∠2＝∠A（兩直線平行，同位角相等），

　　∵∠1＝∠A（已知）

　　∴∠l＝∠2（等量代換）．

　　∴AB∥DE（內錯角相等，兩直線平行）．

　　證2：∵DF∥AC（已知），

　　∴∠1＝∠2（兩直線平行，內錯角相等），

　　∵∠1＝∠A（已知）

　　∴∠3＝∠A（等量代換）．

　　∴AB∥DE（同位角相等，兩直線平行）．

　　說明：用綜合分析法探求證明思路時，一般可先從求證結論出發(fā)，分析欲推出此結論需要什么條件?此時，這樣的條件可能不止一個，可選定其中一個，然后再從已知條件出發(fā)，以此條件為目標推出已知條件，這個條件一旦推出，證明思路即告形成．

　　例5  如圖，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠E．

　　求證：AD為∠BAC的平分線．

　　 分析：要證AD為∠BAC的平分線，即證∠2＝∠3，由AD⊥BC，EF⊥BC，可推得AD∥BC．所以有∠2＝∠1，∠3＝∠E，又已知∠1＝∠E，由等量代換就可以得∠2＝∠3．

　　證明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）

　　∴AD∥BC （垂直于同一直線的兩直線平行）

　　∴∠l＝∠2（兩直線平行，內錯角相等）

　　  ∠3＝∠E（兩直線平行，同位角相等）

　　又∵ ∠1＝∠2（已知）

　　∴∠2＝∠3（等量代換）

　　∴AD為∠BAC的平分線（角平分線的定義）．

　　說明：（3）分析是證題的關鍵，在分析時要緊緊抓住要征的結論(即目標)，追溯能導致結論成立的條件，一步一步追溯下去，一直到這些條件都己具備為止．這時，證題思路已經基本形成．證明過程要從“已知”說起，最后推導出結論的成立．

　　（2）“∴AD∥BC （垂直于同一直線的兩直線平行）”與“∴∠l＝∠2（兩直線平行，內錯角相等）， ∠3＝∠E（兩直線平行，同位角相等）”的位置是不能交換的，因為后者是由前者推理得到的．

　?。?）把“∵ ∠1＝∠2（已知）”與

　　“∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）

　　∴AD∥BC （垂直于同一直線的兩直線平行）

　　∴∠l＝∠2（兩直線平行，內錯角相等）

　　  ∠3＝∠E（兩直線平行，同位角相等）”

　　可以交換，但這樣因為條件與結論相距較遠，不利于推理．

　　例6  求證：如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么這條直線和另一條垂直．

　　分析：(1)根據(jù)命題畫出圖形，先畫出兩條平行線AB、CD，再畫出一條直線EF與AB垂直．(如圖)

　　(2)分清命題的題設和結論，題設是：一條直線和兩條平行線中的一條垂直．結論是：這條直線也和另一條垂直，再根據(jù)題設和結論寫出已知事項和求證事項．

　　 (3)正確地寫出推理過程．

　　已知：如圖，AB∥CD，EF⊥AB，求證：EF⊥CD．

　　證明：∵AB∥CD  (已知)，

　　∴∠1＝∠2  (兩直線平行，同位角相等)．

　　∵EF⊥AB   (巳知)，

　　∴∠1=90°  (垂直定義)，

　　∴∠2＝90° (等量代換)．

　　∴EF⊥CD  (垂直定義)

　　說明：對于一個命題的證明，第一步結合題意，畫出圖形，這是非常重要的一步，對題意不理解，或者把圖形畫錯了，下面兩步就無法進行，第二步的關鍵是分清命題的題設和結論，命題的題設是已知事項，命題的結論是求證事項，第三步是分析證明命題的途徑，正確地寫出證明過程．