初中幾何模型訓練04之輔助線添加

長沙7喜 2017-11-25

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幾何是初中數(shù)學中的重點難點，也是中考數(shù)學的壓軸題，可以說掌握好幾何，中考數(shù)學高分跑不了！而在幾何學習中，掌握幾何模型能夠為考試節(jié)省不少時間，今天周老師整理了初中幾何常用的解題方法，分享給孩子，掌握了中考數(shù)學穩(wěn)穩(wěn)拿下壓軸題~

對于初中三年有一句經典的概括：“初一不分上下，初二兩極分化，初三天上地下”，而初二數(shù)學出現(xiàn)兩極分化的主要原因是幾何難度及靈活度的提升。

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其中幾何的難點之一是添加輔助線，輔助線的添加并非無規(guī)律可尋。今天周老師就以初二中常見的“半角模型”，教同學們如何利用旋轉思想，更快速更準確地添加輔助線，從而解決問題。

模型一

半角模型

例1：如圖，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，證明：EF=BE+DF.

↑↑↑

對于此類我們經常遇到的“半角”題型（∠EAF=45°是∠BAD=90°的一半），我們采用的方法是：截長補短法。

延長CD至點G使得DG=BE，易證△ABE≌△ADG（SAS）得DG=BE，

且△AEF≌△AFG（SAS）得FG=EF。

那么，F(xiàn)G=DG+DF即EF=BE+DF得證。

那么我們如何利用旋轉思想理解此模型呢？

何為旋轉？即圖形繞著某點順時針或逆時針旋轉一定的角度，旋轉后的圖形與原圖形全等。

如：圖中AB、AD的關系是垂直且相等，用旋轉解釋即為：起始位置AB，目標終點位置AD，AB繞著點A逆時針旋轉90°得到AD。旋轉可以實現(xiàn)圖形中線段或角在位置上的變化。

【分析】

BE、DG、EF不在同一直線上，需轉化這些線段到同一直線上從而解決問題。

基于“AB=AD”且AB⊥AD，含有線段BE的是△ABE，故將△ABE繞著點A逆時針旋轉90°到△ADG的位置，從而將BE轉化到DG上實現(xiàn)位置變化。故輔助線添加的思路：構造旋轉后的全等。

添加輔助線法一：延長CD至點G使DG=BE，易證全等。

添加輔助線法二：延長CD至點G使∠BAE=∠DAG，易證全等。

添加輔助線法三：作點G使得AG=AE且AE⊥AG，減去公共角得∠BAE=∠DAG，易證全等。需再證C、D、G三點在同一直線上。

練習1：（2016·崇安區(qū)期末）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，則MN的長為______.
此題是經典的“半角模型”，很多同學知道此模型，卻對添加輔助線束手無策，那我們利用旋轉構造全等的方法嘗試做一下。
【分析】
求線段長度多用勾股定理，但MN不在直角三角形中無法直接求出。MN、BM、CN位置又相對分散，故轉化BM的位置，旋轉含有線段BM的△ABM。
利用“AB=AC”此天然條件，起始位置AB，目標位置AC，將△ABM逆時針旋轉90°，那么AM也逆時針旋轉90°，故輔助線添加：作點M’使得AM=AM’且AM⊥AM’，減去公共角∠MAC得到∠BAM=∠CAM’，易證△ABM≌△ACM’（SAS），得BM=BM’。
進一步證明△AMN≌△AM’N（SAS）得MN=M’N。三條線段BM、MN、CN轉化到△M’NC中，最后證明△M’NC為直角三角形，利用勾股定理求出線段長度。
答案：√10

提示：也可以選擇轉化CN的位置，將△ANC順時針旋轉90°進行輔助線的添加，同學們可以嘗試一下。

練習2：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD，若BE=3，DF=2，則EF=————.

【分析】
求線段長度多用勾股定理，EF不在直角三角形中無法直接求出。EF、BE、DF位置又相對分散，可以轉化BE的位置，旋轉含有線段BE的△ABE。
利用“AB=AD”此天然條件，起始位置AB，目標位置AD，將△ABE逆時針旋轉90°，那么AE也逆時針旋轉90°，故輔助線添加：作點E’使得AE=AE’且AE⊥AE’易證△ABE≌△ADE’，再證明求值類似練習1。

答案：5

幾何是初中數(shù)學非常重要的內容，

一般會在壓軸題中進行考察，

如果掌握幾何模型及其構造方法，

能為考試節(jié)省不少時間，

多拿更多分數(shù)，

你要好好學哦↓

全等變換

平移：平行等線段（平行四邊形）

對稱：角平分線或垂直或半角

旋轉：相鄰等線段繞公共頂點旋轉

對稱全等模型

說明：以角平分線為軸在角兩邊進行截長補短或者作邊的垂線，形成對稱全等。兩邊進行邊或者角的等量代換，產生聯(lián)系。垂直也可以做為軸進行對稱全等。

對稱半角模型

說明：上圖依次是45°、30°、22.5°、15°及有一個角是30°直角三角形的對稱（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對稱全等。

旋轉全等模型

半角：有一個角含1/2角及相鄰線段

自旋轉：有一對相鄰等線段，需要構造旋轉全等

共旋轉：有兩對相鄰等線段，直接尋找旋轉全等

中點旋轉：倍長中點相關線段轉換成旋轉全等問題

旋轉半角模型

說明：旋轉半角的特征是相鄰等線段所成角含一個二分之一角，通過旋轉將另外兩個和為二分之一的角拼接在一起，成對稱全等。

自旋轉模型

構造方法：

遇60度旋60度，造等邊三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋頂點，造旋轉全等

遇中點旋180度，造中心對稱

共旋轉模型

說明：旋轉中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個經?？疾斓膬热?。通過“8”字模型可以證明。

模型變形

說明：模型變形主要是兩個正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是等腰直角三角形與正方形的混用。

當遇到復雜圖形找不到旋轉全等時，先找兩個正多邊形或者等腰三角形的公共頂點，圍繞公共頂點找到兩組相鄰等線段，分組組成三角形證全等。

中點旋轉：

說明：兩個正方形、兩個等腰直角三角形或者一個正方形一個等腰直角三角形及兩個圖形頂點連線的中點，證明另外兩個頂點與中點所成圖形為等腰直角三角形。證明方法是倍長所要證等腰直角三角形的一直角邊，轉化成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋轉頂點，通過證明旋轉全等三角形證明倍長后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。

【總結】

“共頂點，等線段”是構造旋轉全等的經典突破口。“旋轉”讓我們思維不再局限，不再只會生搬硬套，如等腰直角三角形、等邊三角形、等腰三角形是手拉手模型的經典圖形，這些圖形具備邊長相等的特性，其本質是利用“共頂點、等線段”此特點將某圖形從起始位置旋轉到目標位置，從而實現(xiàn)線段或角的轉化，將分散的條件集中起來解決問題。

解題方法

根據(jù)想要轉換的線段以及“共頂點等線段”的特點鎖定旋轉目標，添加輔助線促成全等，實現(xiàn)線段或角度在位置上的變化，再根據(jù)題目中的具體條件從而解決問題。