高中數(shù)學(xué)選修3-4：對稱與群

百眼通 2017-10-29

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    對稱是自然界一種十分重要的性質(zhì)，像軸對稱、中心對稱。群是刻畫對稱性的數(shù)學(xué)概念，群論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要研究對象。
    學(xué)生將從豐富的平面圖形對稱變換的實(shí)例入手，了解變換群的概念，學(xué)習(xí)群的表達(dá)方法，學(xué)會求出一些比較簡單的幾何圖形的對稱群，并進(jìn)一步體會群在研究事物對稱性質(zhì)和研究其他數(shù)學(xué)對象中的重要作用。
一、內(nèi)容與要求
    1．通過豐富的對稱圖形，感受日常生活和現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量對稱現(xiàn)象。
    2．了解剛體運(yùn)動的基本性質(zhì)。
    3．通過分析圖形的不同對稱性和剛體運(yùn)動，尋求刻畫不同圖形對稱性的思想，逐步形成圖形對稱變換的概念。
    4．結(jié)合簡單的具體圖形，找出其所有對稱變換。
    5．結(jié)合具體的圖形實(shí)例，逐步形成對稱變換合成的概念，理解對稱變換合成的封閉性。
    6．結(jié)合具體的圖形實(shí)例，通過操作認(rèn)識對稱變換滿足結(jié)合律。
    7．結(jié)合具體的圖形實(shí)例，通過操作，理解恒等變換的概念，逆變換的概念及其性質(zhì)，針對具體的圖形能找出一個對稱變換的逆變換。
    8．通過具體實(shí)例，建立變換群的概念，并初步了解抽象群的概念。
    9.能借助幾何直觀會求出一些幾何圖形和具有一定對稱性的簡單化學(xué)分子模型的對稱群。
    10．通過具體實(shí)例，了解一種群的表示方法--乘法表法。
    11.從具體的實(shí)例入手，了解一種由較為簡單群構(gòu)造出較為復(fù)雜群的方法之一--直積。
    12.了解群論在現(xiàn)實(shí)生活中的重要應(yīng)用，如晶體分類定理。
    13．考察其他形式的對稱變換，如代數(shù)式。通過二次、三次方程的求解過程，了解代數(shù)方程根的對稱群的含義，并了解伽羅瓦利用群論方法解決方程根式解問題的科學(xué)史實(shí)，感受群論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重大作用。
    14．完成一個學(xué)習(xí)總結(jié)報告。報告應(yīng)包括三方面的內(nèi)容：（1）知識的總結(jié)。對本專題整體結(jié)構(gòu)和內(nèi)容的理解，對對稱的數(shù)學(xué)描述和群的概念的認(rèn)識。（2）拓展。通過查閱資料、調(diào)查研究、訪問求教、獨(dú)立思考，進(jìn)一步探討對稱在自然界中的廣泛性和群對刻畫對稱的作用。（3）學(xué)習(xí)本專題的感受、體會。
二、說明與建議
    1.由于對稱變換、變換的合成（乘法）運(yùn)算等概念是比較抽象的概念，因此學(xué)習(xí)過程都應(yīng)從具體的實(shí)例和恰當(dāng)?shù)那榫骋?，而不能從抽象的定義出發(fā)。
    2.對于中學(xué)生來說，群是一個全新的學(xué)習(xí)對象。對稱變換群是把對稱變換作為一個運(yùn)算系統(tǒng)來研究，與過去所學(xué)習(xí)的數(shù)與代數(shù)式的運(yùn)算系統(tǒng)有很大的區(qū)別。因此本專題只能以比較簡單的具體的群為例。教學(xué)的重點(diǎn)在于使學(xué)生了解群在刻畫對稱性的作用，而盡量避免論述群的抽象定義和性質(zhì)。同時要求學(xué)生能通過具體的幾何圖形的分析，學(xué)會求出一些簡單幾何圖形的對稱群，在操作實(shí)踐過程中感受群的含義。
    3.晶體分類與方程的伽羅瓦理論是群論的兩項重大應(yīng)用成果，在本單元不能詳細(xì)證明晶體分類定理和方程的伽羅瓦定理，但向?qū)W生介紹這兩項成果可以使學(xué)生感受現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究方法和特點(diǎn)，因此做好這種介紹性工作也是本單元的教學(xué)目標(biāo)之一。

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來自：百眼通 > 《01總論-472》

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