在文章《什么是階次？》一文中已經(jīng)講解了什么是階次、為什么要關(guān)心階次、怎么計算階次等內(nèi)容。但是，我覺得關(guān)于階次的一些方面還沒有講清楚，如階次的物理意義、階次與頻率的關(guān)系、為什么階次分析中的高階次不清晰等內(nèi)容。本文主要內(nèi)容包括：

1.    階次的物理意義；

2.    階次與頻率的關(guān)系；

3.    為什么高階次不清晰；

4.    階次實例：扇葉的通過階次。

1. 階次的物理意義

按照振動理論來分，可以把振動分成線振動和角振動。線振動是我們通常所說的常規(guī)的振動，用位移、速度和加速度來描述，對應(yīng)的載荷是力；角振動是旋轉(zhuǎn)振動或扭轉(zhuǎn)振動，用角位移、角速度和角加速度來描述，對應(yīng)的載荷是力矩或扭矩。一個剛體有6個自由度，分別為3個平動自由度和3個轉(zhuǎn)動自由度，那么平動對應(yīng)的是線振動，轉(zhuǎn)動對應(yīng)的是角振動。

對于常規(guī)的振動（線振動）而言，通常用頻率來描述一秒鐘內(nèi)振動往復(fù)的次數(shù)，這就是所謂的振動頻率。如圖1所示，在一秒鐘內(nèi)有兩個周期，因此，振動頻率是2Hz，或者說一秒鐘內(nèi)振動這個事件發(fā)生的次數(shù)是2次。用時間和頻率來描述常規(guī)的線振動。

圖1 振動頻率

對于扭轉(zhuǎn)振動而言，通常用階次這個名詞來描述，階次表示的是旋轉(zhuǎn)部件每旋轉(zhuǎn)一圈（360度）事件發(fā)生的次數(shù)。與階次相對應(yīng)的是角度或者旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，而每旋轉(zhuǎn)一圈對應(yīng)360度，因此，圈數(shù)與角度是等價的。扭轉(zhuǎn)振動中的階次與圈數(shù)（或角度）對應(yīng)于常規(guī)振動中的振動與時間。如圖2所示，橫縱表示圈數(shù)或角度，那么在一圈內(nèi)振動的周期是2個，那么振動這個事件發(fā)生2次，我們可以說階次是2階次。因此，階次的物理意義是表示每圈事件發(fā)生的次數(shù)。

圖2 階次

對于有質(zhì)量偏心的旋轉(zhuǎn)部件而言，它的階次是1階次，這是因為每旋轉(zhuǎn)一圈，這個質(zhì)量偏心的事件只發(fā)生一次。如果旋轉(zhuǎn)部件的圓形截面變成了橢圓，那么，它的階次將是2階次，這是因為橢圓有一個長軸，但長軸有兩端，每旋轉(zhuǎn)一圈長軸的兩端導(dǎo)致質(zhì)量偏心出現(xiàn)兩次，因此，是2階次。倘若在旋轉(zhuǎn)軸上有齒輪盤，齒數(shù)是29個，那么，齒輪嚙合時，每旋轉(zhuǎn)一圈，齒輪碰撞將發(fā)生29次，因此，齒輪的階次是29階次。對于4缸4沖程發(fā)動機來說，首先考慮一個缸，完成一個工作循環(huán)需要旋轉(zhuǎn)2圈，才點火一次，因此，單缸每旋轉(zhuǎn)一圈點火0.5次，對應(yīng)0.5階次，由于有4個缸，因此，曲軸每旋轉(zhuǎn)一圈點火2次，因而，我們講發(fā)動機的點火階次是2階次。所以，階次是每圈（或360度）事件發(fā)生的次數(shù)。明白這個物理意義，可以幫助我們深入理解階次這個概念。

2. 階次與頻率的關(guān)系

旋轉(zhuǎn)振動用角度和階次來描述，除此之外，還有一個關(guān)鍵的參數(shù)，即轉(zhuǎn)速（是角速度）。轉(zhuǎn)速表示每分鐘旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，單位為rpm（Revolution Per Minute），如果用每秒鐘旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)來表示，則稱為轉(zhuǎn)動頻率，簡稱為轉(zhuǎn)頻，是頻率的一種表現(xiàn)形式。也就是說轉(zhuǎn)頻與轉(zhuǎn)速的關(guān)系如下

轉(zhuǎn)頻=轉(zhuǎn)速/60

階次是表示每圈事件發(fā)生的次數(shù)，而轉(zhuǎn)頻是表示每秒鐘旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，那么，階次對應(yīng)的事件的頻率則是階次乘以轉(zhuǎn)頻。因此，1階次對應(yīng)的事件的頻率是1倍的轉(zhuǎn)頻，K階次對應(yīng)的事件的頻率是K倍的轉(zhuǎn)頻，或者說1階次對應(yīng)的頻率是1倍轉(zhuǎn)頻，K階次對應(yīng)的頻率是K倍轉(zhuǎn)頻。不管轉(zhuǎn)速如何變化，這種關(guān)系都是固定不變的，因此，我們說階次獨立于轉(zhuǎn)速。

階次對應(yīng)的事件的頻率等于階次乘以轉(zhuǎn)頻，事件的頻率不隨參考軸的變化而變化的。但是當(dāng)考慮用不同的旋轉(zhuǎn)軸來表示時，對應(yīng)的階次數(shù)與軸的轉(zhuǎn)速（或轉(zhuǎn)頻）是變化的，但二者的乘積是保持不變的，即事件的頻率是不隨參考軸變化的。

還是使用之前的例子，A軸的直徑是B軸的3倍。A軸轉(zhuǎn)速從600rpm增加到6000rpm，同時通過皮帶帶動B軸旋轉(zhuǎn)。因此，B軸的轉(zhuǎn)速是1800rpm到18000rpm。也就是說B軸的轉(zhuǎn)速是A軸的3倍，B軸的階次是A軸的3倍，或者A軸的階次是B軸的1/3。

如果考慮A軸的事件的頻率等于A軸的階次乘以它的轉(zhuǎn)頻，如果以A軸的轉(zhuǎn)速作為參考，那么A軸對應(yīng)的事件的頻率等于A軸的階次乘以A軸的轉(zhuǎn)頻（1*rpm_A/60）。如果以B軸的轉(zhuǎn)速作為參考，此時，A軸的階次是B軸的1/3，此時A軸對應(yīng)的事件的頻率等于A軸的階次乘以B軸的轉(zhuǎn)頻（1/3*rpm_B/60）。因為B軸的轉(zhuǎn)頻是A軸的3倍，所以A軸的階次對應(yīng)的事件的頻率是不變，不管以哪個軸的轉(zhuǎn)速作為參考。同理，B軸的階次對應(yīng)的事件的頻率也是相同的道理，不以轉(zhuǎn)速參考軸的變化而變化，都是固定不變的。

這個例子也說明，同一根軸，當(dāng)以不同的旋轉(zhuǎn)軸作為參考軸時，其對應(yīng)的階次數(shù)是不同的，但彼此之間的階次關(guān)系是確定的，由兩軸之間的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)遞關(guān)系決定。如果當(dāng)以A軸的轉(zhuǎn)速作為參考時，A軸的階次是1階次，B軸的階次是3階次。但如果以B軸作為轉(zhuǎn)速參考，那么，B軸的階次是1階次，A軸的階次是1/3階次。但是A軸與B軸的階次關(guān)系為1：3是不隨轉(zhuǎn)速參考軸的變化而變化的。因此，在計算階次時，將實際測量的轉(zhuǎn)速設(shè)置成第1階次，其他旋轉(zhuǎn)部件的階次通過結(jié)構(gòu)之間的轉(zhuǎn)速傳遞關(guān)系（傳動比）確定其階次數(shù)。

圖4 兩軸的階次因轉(zhuǎn)速參考不同而不同

3. 為什么高階次不清晰

在做階次分析時，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)colormap圖中的高階次成分模糊不清，不利于從這些高階次中提取有用的信息。如圖5所示，低階次非常清楚，但是高階次卻模糊不清，這是在做階次分析時經(jīng)常會遭遇到的現(xiàn)象。

圖5 高階次成分模糊不清

假設(shè)某旋轉(zhuǎn)機械的轉(zhuǎn)速（假設(shè)轉(zhuǎn)速變化率固定）以固定速率發(fā)生變化，在50s的時間間隔內(nèi)轉(zhuǎn)速從600rpm上升到6600rpm，那么，轉(zhuǎn)速的變化率是120rpm/s，轉(zhuǎn)頻的變化率是2Hz/s。1階次將以2Hz/s的速率發(fā)生變化，第3階次將以6Hz/s的速率變化，第30階次將以60Hz/s的速率變化，也就是說階次越高，頻率變化速度越快，正比例于階次成分。對于旋轉(zhuǎn)軸帶有30個齒的齒輪盤而言，就屬于這種情況，旋轉(zhuǎn)軸1秒變化2Hz，而齒輪1秒變化60Hz。

對于高階次而言，頻率成分是很高的，在同樣一個時間長度之內(nèi)，如果是一個低頻信號，可以認(rèn)為幅值變化不大，但對于一個高頻信號，幅值變化是很明顯的。除了幅值變化之外，還有頻率變化，假設(shè)一秒鐘之內(nèi)，低頻1階100Hz變化到102Hz，只有2Hz的差別。但是30階次，高頻3000Hz已變化到3060Hz，這個時候變化的頻率有60Hz。在這個時間之內(nèi)，除了這兩個信號之外，還有3000~3060之間的頻率成分，因為信號一直在變化，是從3000Hz連續(xù)變化到3060Hz，也就是說一秒鐘的時域信號里面包含了3000-3060Hz的頻率成分，實際上這個信號變化過程中永遠(yuǎn)只有一個頻率，這個頻率對應(yīng)旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速頻率的30倍頻。在這個過程中，永遠(yuǎn)是它的30倍頻，只不過從Hz上看是連續(xù)變化的，但實際上在任何時候只有一個頻率，就是旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速的30倍頻。

由于轉(zhuǎn)速連續(xù)變化，30階次這一秒鐘內(nèi)的頻譜從3000Hz連續(xù)變化到3060Hz，頻譜變成了連續(xù)譜，離散的譜線變成了譜帶或者說譜線變胖，從而導(dǎo)致高階次在頻域的階次線變得模糊。這種模糊的階次尤其針對高階諧波，帶寬按階次比例改變，譜帶更寬，譜圖變得模糊不好分辨。這就是為什么階次分析時，高階次成分模糊不清的根本原因。特別是轉(zhuǎn)速變化速率越快的情況，這個現(xiàn)象更明顯。

4. 階次實例：扇葉的通過階次

這個例子，我們之前介紹過，但介紹的是最基本的情況，在這，我再擴展一下，講解一些特殊的情況下的階次成分。

帶有6塊葉片的風(fēng)扇的主軸階次是1階次，葉片的通過階次6階次。簡單地說，主軸每轉(zhuǎn)一圈，將有6個葉片通過，使得我們可以明白葉片的通過階次是6階次?；蛘哒f主軸每旋轉(zhuǎn)一圈，在任一角度都可以看到6個葉片通過該位置，因此，葉片通過這個位置每旋轉(zhuǎn)一圈發(fā)生6次，對應(yīng)6階次。也可以理解成，旋轉(zhuǎn)時，各個葉片的角度差始終是60度的倍數(shù)，因此對應(yīng)6階次。除了6階次之外，還會產(chǎn)生諧階次，即6階次的倍頻，如12，18階次等。出現(xiàn)6階次的諧階次的可能原因是旋轉(zhuǎn)軸不對中，如旋轉(zhuǎn)軸的軌跡是橢圓，這時就容易產(chǎn)生2倍的諧階次。

圖6 帶6個均勻分布葉片的風(fēng)扇

更進(jìn)一步，假設(shè)這個風(fēng)扇還是6個扇葉，每個扇葉形狀都相同，但每兩個扇葉之間的角度都不相同，這時候產(chǎn)生的階次噪聲1-12階（連續(xù)的整數(shù)階）都有，這怎么理解呢？由于每兩個扇葉角度不一樣，那么每旋轉(zhuǎn)一圈可能在多個角度位置出現(xiàn)，并且這些角度差都不相同，不是某個角度的倍數(shù)，所以確切地說1-6階次都有。而7-12階次是它們的諧階次。如果角度相同，那么旋轉(zhuǎn)一圈，只在6個角度處出現(xiàn)，所以只有6階次及其諧階次。

假設(shè)風(fēng)扇還是6個扇葉，每個扇葉形狀都相同，而且前三個扇葉為第1組，組內(nèi)每兩個葉片之間的角度都不相同；后三個扇葉為第2組，組內(nèi)每兩個葉片之間的角度也不相同，但是第1組和第2組呈中心對稱，那么其產(chǎn)生的階次噪聲為2 、4、6、8等連續(xù)的偶數(shù)階次。如果扇葉不對稱分布，如上面那個情況，則產(chǎn)生連續(xù)的整數(shù)階次成分。因此，如果只考慮其中任一組扇葉，將產(chǎn)生連續(xù)的整數(shù)階次，但是由于兩組成對稱分布，所以連續(xù)的整數(shù)階次都要乘以2，也就是說1，2，3階次變成了 2，4，6階次。故，這種情況下產(chǎn)生的階次為連續(xù)的偶數(shù)階次。