關(guān)于四色定理，采用易經(jīng)模型的超簡(jiǎn)潔證明

有了之前的論述，關(guān)于易經(jīng)八元數(shù)系統(tǒng)（九元數(shù)系統(tǒng)），四元數(shù)系統(tǒng)（五行系統(tǒng)）等論述，

今天我們就采用四元數(shù)系統(tǒng)的變換原理，來(lái)證明世界難題：四色定理，

四色定理（世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一），又稱四色猜想、四色問(wèn)題，是世界三大數(shù)學(xué)猜想之一。

地圖四色定理（Four color theorem）最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英國(guó)大學(xué)生提出來(lái)的。

四色問(wèn)題的內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色?！?/p>

也就是說(shuō)在不引起混淆的情況下一張地圖只需四種顏色來(lái)標(biāo)記就行。

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示即“將平面任意地細(xì)分為不相重疊的區(qū)域，

每一個(gè)區(qū)域總可以用1234這四個(gè)數(shù)字之一來(lái)標(biāo)記而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字?！?/p>

這里所指的相鄰區(qū)域是指有一整段邊界是公共的。

如果兩個(gè)區(qū)域只相遇于一點(diǎn)或有限多點(diǎn)就不叫相鄰的。因?yàn)橛孟嗤念伾o它們著色不會(huì)引起混淆。

四色定理的本質(zhì)正是二維平面的固有屬性，即平面內(nèi)不可出現(xiàn)交叉而沒有公共點(diǎn)的兩條直線。

很多人證明了二維平面內(nèi)無(wú)法構(gòu)造五個(gè)或五個(gè)以上兩兩相連區(qū)域，但卻沒有將其上升到邏輯關(guān)系和二維固有屬性的層面，以致出現(xiàn)了很多偽反例。

不過(guò)這些恰恰是對(duì)圖論嚴(yán)密性的考證和發(fā)展推動(dòng)。計(jì)算機(jī)證明雖然做了百億次判斷，終究只是在龐大的數(shù)量?jī)?yōu)勢(shì)上取得成功，這并不符合數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯體系，至今仍有無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)愛好者投身其中研究。

到目前為止，四色定理的最終證明是通過(guò)計(jì)算機(jī)完成的。

還沒有一種簡(jiǎn)潔的證明這個(gè)簡(jiǎn)單的原理：任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色。

今天我們就介紹一種簡(jiǎn)潔的證明方法，其過(guò)程如下：（估計(jì)3張A4紙就夠了。）

第一步：地圖上國(guó)家的拓?fù)浠?/p>

如果整張地圖只有4個(gè)國(guó)家，包括4個(gè)以下的國(guó)家，不需要證明。

為了簡(jiǎn)明證明過(guò)程，我們直接證明五個(gè)以及五個(gè)以上國(guó)家的地圖著色問(wèn)題。

首先，我們對(duì)任一張指定的地圖，設(shè)定他們是空白的，沒有著色，

我們對(duì)這些國(guó)家進(jìn)行拓?fù)渥兓?，把每個(gè)國(guó)家變成一個(gè)一個(gè)獨(dú)立的點(diǎn)，分散鋪在平面上。

我們經(jīng)常看到的國(guó)家是這樣的，如圖：

經(jīng)拓?fù)渥儞Q后，地圖都只是一個(gè)個(gè)點(diǎn)，相鄰的國(guó)家就有連線，不相鄰國(guó)家就沒有連線，如圖：

把相鄰國(guó)家進(jìn)行連線后，可以進(jìn)一步拓?fù)浠蛇@樣：

第二步：確定平面上的坐標(biāo)系，

根據(jù)平面的二維特性，二元有理數(shù)（x，y）可以表達(dá)整個(gè)平面上的任一個(gè)點(diǎn)，

也就是說(shuō)，每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，都可以通過(guò)坐標(biāo)軸X軸、Y軸上的數(shù)值來(lái)表達(dá)。

了解到，地圖國(guó)家之間，著色問(wèn)題就是一個(gè)狀態(tài)的問(wèn)題，我們把問(wèn)題進(jìn)一步建模，

一個(gè)國(guó)家代表一種狀態(tài)，考慮到坐標(biāo)軸的二元形狀，從一個(gè)國(guó)家，到另外一個(gè)相鄰的國(guó)家，

從一種狀態(tài)到達(dá)另外一種狀態(tài)，一旦越界，我們就認(rèn)為發(fā)生了變化，我們把這些國(guó)家的點(diǎn)進(jìn)一步拉伸到對(duì)應(yīng)在數(shù)軸上的整數(shù)點(diǎn)位置。

他的變化只有以下情形：

（1）到達(dá)相鄰國(guó)家，x軸上的數(shù)值變化奇數(shù)次，或者變化偶數(shù)次（0不動(dòng)，也歸屬于偶數(shù)次），

（2）到達(dá)相鄰國(guó)家，y軸上的數(shù)值變化奇數(shù)次，或者變化偶數(shù)次（0不動(dòng)，也歸屬于偶數(shù)次），

假定，原點(diǎn)設(shè)定為初始狀態(tài)的國(guó)家，那么，相鄰的國(guó)家可能的情形如下圖：

我們給它定義為（x，y），其中：x，y=n，n為任意整數(shù)值。

到這個(gè)時(shí)候?yàn)橹梗瑸榱撕?jiǎn)便證明過(guò)程，我們把地圖安放在第一象限，

那么所有國(guó)家的狀態(tài)只有以下四種：（奇數(shù)，奇數(shù)），（奇數(shù)，偶數(shù)），（偶數(shù)，奇數(shù)），（偶數(shù)，偶數(shù)），

第三步：構(gòu)造一個(gè)四元變化系統(tǒng)，

為了方便，我們采用四元數(shù)系統(tǒng)的四元數(shù)標(biāo)識(shí)：

那么，四元數(shù)系統(tǒng)就構(gòu)造起來(lái)了，

證明過(guò)程：

第一，我們證明一個(gè)國(guó)家到達(dá)另外一個(gè)國(guó)家，必定是這四種狀態(tài)中的一種，

反證法，如果存在第五種狀態(tài)，這個(gè)國(guó)家必然不存在這個(gè)地圖上。

因?yàn)榻?jīng)過(guò)拓?fù)渥兓?，所有?guó)家的狀態(tài)都變成了：（整數(shù)，整數(shù)），

這樣只有四種情形：（奇數(shù)，奇數(shù)），（奇數(shù)，偶數(shù)），（偶數(shù)，奇數(shù)），（偶數(shù)，偶數(shù)），

第二，一個(gè)國(guó)家到另外一個(gè)國(guó)家，狀態(tài)必然發(fā)生變化，

如果不發(fā)生變化，那么要么原步不動(dòng)，要么那個(gè)和初始國(guó)家狀態(tài)一樣的國(guó)家，不和初始國(guó)家相鄰。

因?yàn)槊康揭粋€(gè)相鄰國(guó)家，X軸，Y軸上的變化，只發(fā)生一次，如果變回原來(lái)的狀態(tài)，意味著不變或者不相鄰，

到這里，就完全證明，一個(gè)國(guó)家到另外一個(gè)過(guò)，必然發(fā)生一直變化，而且是必定變換到四元數(shù)系統(tǒng)里面的一個(gè)其他因子（另外三個(gè)因子的其中一種）。

一旦越界，必然變化，而且只能是四種狀態(tài)互相變化。

而且，所有國(guó)家的狀態(tài)，都只能是四元數(shù)系統(tǒng)的四個(gè)因子：

其中的任一種。

越過(guò)地圖邊界狀態(tài)必然變化，變化有且只有三種，如果自己變化成自己，這種變化是不相鄰的。

然后，把四種狀態(tài)分別對(duì)應(yīng)換成四種顏色，那么四色定理，證明完畢！

推論1：

任何一個(gè)立體空間中的子空間區(qū)域，只用8種顏色就能使具有共同邊界的子空間區(qū)域著上不同的顏色。

采用八元數(shù)系統(tǒng)，這個(gè)是在三維立體空間的推論。

推論2：

我們都在討論四維時(shí)空，或者說(shuō)四維時(shí)空，對(duì)于一個(gè)四維超空間，邊界問(wèn)題是16種不同的顏色就足夠了。

也就是四維超空間，有十六種狀態(tài)。

推論3：

一直到六維超空間，（我們的研究結(jié)果是六維度標(biāo)準(zhǔn)時(shí)空）采用的著色問(wèn)題是64種顏色。

到了這里，大家應(yīng)該不陌生，就是六爻位對(duì)應(yīng)的六十四卦模型。其實(shí)，古人說(shuō)的八卦真的不玄乎，在說(shuō)真正的科學(xué)，說(shuō)很實(shí)在的數(shù)學(xué)模型。

后記：

這些推論，不知道具體的應(yīng)用廣泛程度，但是在超級(jí)計(jì)算機(jī)陣列問(wèn)題，提高運(yùn)算速度，和多維度計(jì)算，肯定是用得上。