在邊長為6厘米的正方形 內任取一點 ，將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊三等分，分別與 點連接,求陰影部分面積．

 2）  燕尾模型

 法1）不妨看△ABC是由△ABH、△ACG、△BCI和△GHI組成的。那么前三個三角形面積一樣的。

現(xiàn)在我們研究△ABH與△ABC的關系。

連接CH，假設S△BHE=1份，S△CHE=2份;

看AC邊：S△BHE=6份；

S△ABC=21份；

那么S△BHE=6/21S△ABC=2/7S△ABC;

同理：S△ACG=S△BCI=2/7S△ABC

【法2】

 3）  沙漏模型

解析：

如圖所示，設上底為a，則下底為2a，梯形的高為h，則EF= EF= 1/2（a+2a）= 1.5a，所以，

 2、關于弦圖的了解：

      2002年國際數(shù)學家大會在北京召開，大會的會標是我國古代數(shù)學家趙爽畫的“弦圖”，體現(xiàn)了數(shù)學研究中的繼承和發(fā)展.

   　趙爽，又名嬰，字君卿。中國古代數(shù)學家、天文學家。三國時吳國人，一說魏晉人，或漢人，約生活于公元3世紀初。他研究過張衡的天文數(shù)學著作和劉洪的《乾象歷》，也提到過《九章算術》。
　　他的主要貢獻是約在222年深入研究了《周髀算經》，為該書寫了序言，并作了詳細注釋。其中一段530余字的“勾股圓方圖”注文是數(shù)學史上極有價值的文獻。它記述了勾股定理的理論證明，將勾股定理表述為：“勾股各自乘，并之，為弦實。開方除之，即弦?！弊C明方法敘述為：“按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實?！?
公式
　　如圖，2ab+(b-a)^2=c^2，化簡便得a^2+b^2=c^2。其基本思想是圖形經過割補后，面積不變。劉徽在注釋《九章算術》時更明確地概括為出入相補原理，這是后世演段術的基礎。趙爽在注文中證明了勾股形三邊及其和、差關系的24個命題。例如 √(2(c-a)(c-b)) + (c-b) = a， √(2(c-a)(c-b)) + (c-a) = b， √(2(c-a)(c-b)) + (c-a) + (c-b) = c等等。他還研究了二次方程問題，得出與韋達定理類似的結果，并得到二次方程求根公式之一。此外，使用“齊同術”，在乘除時應用了這一方法，還在‘舊高圖論”中給出重差術的證明。趙爽的數(shù)學思想和方法對中國古代數(shù)學體系的形成和發(fā)展有一定影響。
  

 例1、拼割圖形

將連在一起的五個正方形拼成一個大的正方形。如圖

例2、已知：在正方形ABCD中，AE垂直BE,且AE=3,BE=5,求SOBE。

 【解析】：△OBE不是特殊三角形，不妨進行轉化，SOBE=1/2SDBE。BE=5，只要求出高就行。

延長AE到F，使得AF垂直于DF。連接DE，那么DF平行BE。那么EF就是△DBE的高。

由弦圖可知： DF=AE=3;EF=AE-AE=BE-AE=5-3=2。

SDBE=1/2 ×5×3=5；

SOBE=2.5。

【提高班學案】

1）由于△ABE的高和長方形的寬相同，加上

得知：BE:EC=1:2;同理：DF:FC=2:3。 

由鳥頭模型：

 那么： 

 則說明：S△AEF:S△ABCD=（1-1/5-1/6-1/5）：1=13/30

 2）【解析】構造燕尾：將S△ABM 、SNFCG和 SABC建立一定的關系。

同樣道理，連接CN；

 

2）【解析】利用三角形中位線性質

連接AC，取AC的中點O，連接OG、OH、OE和OF。有：GHEF是平行四邊形。

S△DHG=S△CGO=S△AHO=1/4S△ACD ,那么S△OHG=1/4S△ACD ;

同理：S△OEF=1/4S△ABC ;

那么S△OHG+S△OEF=1/4SABCD ；

而根據(jù)一半模型：S△OHG+S△OEF=1/2SEFGH.

所以有：SEFGH=1/2SABCD。

 有：PF:EC=1:2,那么FM:BM=1:2,即：FM:BF=1:3;