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二十世紀(jì)中葉，人們試圖嚴(yán)格區(qū)分物理與數(shù)學(xué)， 其結(jié)果是災(zāi)難性的。 ——俄國數(shù)學(xué)家弗拉基米爾·阿諾爾德（Vladimir Arnold） 撰文：毛淑德（清華大學(xué)、國家天文臺(tái)）、鄭曉晨（清華大學(xué)） 自然界的美妙之處，莫過于總是存在一些神奇的絲帶，可以將看起來毫無關(guān)聯(lián)的事物，緊密地聯(lián)系起來。突變論就是這樣一條絲帶，它可以將引力透鏡、系外行星，甚至游泳池、天才和瘋子意想不到地串聯(lián)起來。
1. 引力透鏡與突變 1.1 光學(xué)透鏡 & 引力透鏡 透鏡一詞，一般指將光線聚合或分散的光學(xué)設(shè)備[1]。常見的光學(xué)透鏡可分為兩大類：凸透鏡和凹透鏡。顧名思義，凸透鏡是一類中間較厚，邊緣較薄的透鏡。相反地，凹透鏡的鏡片則中間較薄，邊緣較厚。光學(xué)透鏡因其特殊的幾何構(gòu)型，可導(dǎo)致光線偏折，在日常生活中有非常廣泛的應(yīng)用。例如，近視眼鏡就是利用凹透鏡發(fā)散光線的特點(diǎn)來矯正視力，而凸透鏡匯聚光線的特點(diǎn)，多應(yīng)用于遠(yuǎn)視鏡和老花鏡。此外，凸、凹透鏡也可以組合起來使用，比如現(xiàn)在的照相機(jī)鏡頭就是由多個(gè)凸、凹鏡共同組成的復(fù)式匯聚透鏡。 根據(jù)愛因斯坦的廣義相對論，物質(zhì)告知時(shí)空如何彎曲，而彎曲的時(shí)空告知物質(zhì)如何運(yùn)動(dòng)。所以，當(dāng)光線經(jīng)過引力場時(shí)，也會(huì)如通過光學(xué)凸透鏡一樣發(fā)生偏折。不過，與光學(xué)透鏡不同的是，引力透鏡導(dǎo)致的光線偏折，并非匯聚于一點(diǎn)（見圖1），每條光線的偏折角度與引力源質(zhì)量成正比，與距離成反比。所以，引力透鏡并不存在光學(xué)透鏡中的“焦點(diǎn)”。所有出射光線的包絡(luò)面，將形成光學(xué)上的焦散面，焦散面投影在光源平面上的曲線即為焦散線（caustics）[4]。 圖1. 光學(xué)凸透鏡與引力透鏡對光線匯聚作用的比較（圖片改自參考資料【3】）。左二圖為凸透鏡對物體（上圖）和平行光（下圖）的匯聚成像，右二圖為引力透鏡的作用效果。其中，引力透鏡沒有“焦點(diǎn)”。
1.2 引力透鏡中的突變現(xiàn)象 在天文學(xué)領(lǐng)域，引力透鏡效應(yīng)為天體的探測提供了一種新思路。畢竟，宇宙中不乏大質(zhì)量的天體，這些引力源一方面如同凸透鏡一樣樂此不疲地匯聚著來自遙遠(yuǎn)天體（也稱背景光源）的光線，增大（或者減?。┢淞炼?，以及其被觀測到的可能性；另一方面引力透鏡也以其獨(dú)特的成像方式，向我們泄漏著透鏡天體的信息，包括宇宙中的暗物質(zhì)。 以單一天體（比如恒星）的引力透鏡為例，背景光源的光線經(jīng)過透鏡時(shí)發(fā)生偏折，在地球上的觀測者將看到兩重虛像，原理如圖2所示。有趣的是，往往這兩個(gè)像的亮度加起來要高于背景天體的實(shí)際亮度。 圖2. 單星引力透鏡成像示意圖（圖片改自參考資料【5】），背景源將形成兩個(gè)虛像。
相對于可視為點(diǎn)源的單星透鏡來說，雙星系統(tǒng)組成的引力透鏡源，情況則要復(fù)雜得多。 眾所周知，在經(jīng)典的牛頓力學(xué)框架下，兩體問題可以精確求解，最終答案為兩個(gè)物體將在相互的引力作用下做橢圓運(yùn)動(dòng)。然而，在多體引力透鏡領(lǐng)域，即使是最為簡單的雙星引力透鏡，都難以求得其解析解。所幸，對這一問題的求解可簡化為一個(gè)五階多項(xiàng)式。最終結(jié)果表明，在雙星組成的引力透鏡作用下，背景光源將呈現(xiàn)3重或5重像。 焦散線的存在劃分了多重像的產(chǎn)生區(qū)域。不過，雙星引力透鏡在光源平面產(chǎn)生的焦散線相當(dāng)復(fù)雜，圖3給出了其中一個(gè)例子。當(dāng)背景光源穿入圖示區(qū)域，將會(huì)多出兩個(gè)明亮的像，像的數(shù)目由3重增加至5重，反之，則成像數(shù)目由5重減少為3重。
圖3. 雙星引力透鏡在光源面的焦散線舉例。若背景光源出現(xiàn)在焦散面內(nèi)（藍(lán)線陰影區(qū)域），則其經(jīng)過雙星引力透鏡的作用，將呈現(xiàn)5重像，反之將呈現(xiàn)3重像。在幾何光學(xué)近似下，當(dāng)光源恰巧位于紅色的焦散線上時(shí)，其亮度將被無限放大。
而且，由于焦散線對應(yīng)能量密度的極大值區(qū)域，如果光源恰巧位于透鏡的焦散線上，理論上講，其亮度將被放大至無窮大。 這種背景光源成像（在雙星引力透鏡效應(yīng)下）由3重突變到5重（或者5重突變?yōu)?重），以及觀測亮度的驟增（或驟減），在數(shù)學(xué)上有一個(gè)與之相對應(yīng)的理論，即突變論，是數(shù)學(xué)上一個(gè)非常有趣的分支。
2. 數(shù)學(xué)工具：突變論 2.1 突變論的數(shù)學(xué)映射 “突變”（Catastrophe）一詞，來源于希臘悲劇，指的是情節(jié)的突發(fā)性轉(zhuǎn)折，強(qiáng)調(diào)變化過程的簡短或形容突然發(fā)生的轉(zhuǎn)變[6]。突變論這一概念最先由法國數(shù)學(xué)家托姆（Thom）于20世紀(jì)60年代末，為了解釋胚胎的成胚過程而提出。1972年，他發(fā)表了《結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和形態(tài)發(fā)生學(xué)》一書，研究過程連續(xù)而結(jié)果不連續(xù)的復(fù)雜性系統(tǒng)行為，標(biāo)志著突變論正式誕生[7]。隨后，被譽(yù)為當(dāng)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一的俄國數(shù)學(xué)家阿諾爾德（Arnold），將突變論的純正數(shù)學(xué)內(nèi)核分離出來，即光滑映射的奇點(diǎn)理論[8]。 圖4. 左圖為俄國數(shù)學(xué)家弗拉基米爾·阿諾爾德（1937-2010），曾于2001年獲得沃爾夫獎(jiǎng)（Wolf Prize）并于2008年獲得邵逸夫數(shù)學(xué)科學(xué)獎(jiǎng)（Shaw Prize）[8]；右圖為法國數(shù)學(xué)家勒內(nèi)·托姆（1923-2002），1958年菲爾茲獎(jiǎng)（Fields Medal）得主[9]。
可以說，突變論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為奇點(diǎn)理論（singularity theory）。以一個(gè)簡單的三次曲線為例，如圖5中左圖所示。對于特定區(qū)域內(nèi)（兩條灰色虛線之間的部分）的任何一個(gè)y值，都有三個(gè)x（解）值相對應(yīng)；而在特定區(qū)域外（例如紅線部分），y值與x值一一對應(yīng)。在這條三次曲線中，存在兩個(gè)切點(diǎn)（灰色虛線與曲線交點(diǎn)），切點(diǎn)附近任何小的偏離都將產(chǎn)生截然不同的對應(yīng)值數(shù)目。所以，這兩點(diǎn)即為此曲線的突變點(diǎn)（奇點(diǎn)）。在突變點(diǎn)處，1/（dy/dx）趨向于無窮大，與前面提到的能量密度極大的焦散線區(qū)域相對應(yīng)。 圖5中的右圖以一個(gè)三維球的二維投影為例，進(jìn)一步闡述了突變論的數(shù)學(xué)內(nèi)涵與引力透鏡的對應(yīng)關(guān)系。假設(shè)光線自上而下傳播，經(jīng)過球面，投影到y(tǒng)1-y2平面。由于球體的遮擋，y1-y2平面將出現(xiàn)一個(gè)圓形陰影區(qū)域。在陰影區(qū)域內(nèi)，每一個(gè)點(diǎn)都能在球面上找到兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)。而在陰影區(qū)域外，沒有任何球面對應(yīng)點(diǎn)。實(shí)際上，圖中的圓圈形陰影可以理解為引力透鏡中的焦散線，它作為突變點(diǎn)集，劃分了不同的成像區(qū)間。換而言之，引力透鏡效應(yīng)在數(shù)學(xué)層面，就是從源平面到像平面的一個(gè)投影，而突變成像正是投影映射過程中產(chǎn)生的自然結(jié)果。
圖5. 左圖：三次曲線突變圖例。兩條紅線只和三次曲線相交一次，兩條灰色虛線與曲線相交兩次，而紫色實(shí)線則與曲線相交三次。右圖：三維球面的二維投影圖例。在平面的圓形陰影區(qū)域內(nèi)，每一個(gè)點(diǎn)（y1, y2）在球面上都有兩個(gè)點(diǎn)（x1, x2）相對應(yīng)，反之則無[10]。 在自然界中存在大量的不連續(xù)事件，按照托姆的理論，所有突變均可由特定的幾何形狀來表示，并將其歸納為七種基本類型（詳見引文【7】，本文不再一一贅述）。其中，折疊型（fold）突變、尖頂型（cusp）突變在引力透鏡中尤為常見，例如在圖3中，分別有6個(gè)尖頂型突變和6個(gè)折疊型突變。 2.2 突變論的現(xiàn)實(shí)映射 突變理論的數(shù)學(xué)描述看起來似乎非常抽象，但是現(xiàn)實(shí)生活中，突變現(xiàn)象隨處可見。例如玻璃水杯的光下投影。當(dāng)光線穿過透明水杯時(shí)，其投影到桌面上的光斑往往明暗相間，如圖6所示，其中光斑明亮的區(qū)域即對應(yīng)杯子產(chǎn)生的焦散線（突變點(diǎn)集）。而且，由于不同水杯作為透鏡產(chǎn)生的焦散線有所不同，折射出的光斑形狀以及亮度放大效果也都各有不同。 圖6. 光透過玻璃杯產(chǎn)生的不同焦散結(jié)構(gòu)[4、11]。 另一個(gè)類似的現(xiàn)象常見于清澈見底的河流或游泳池。以泳池為例，當(dāng)水面沒有任何波動(dòng)的情況下，光線在泳池底部投影均勻。一旦泳池表面出現(xiàn)波動(dòng)，起起伏伏的水面組成了無數(shù)個(gè)大大小小的透鏡，光線經(jīng)過這些褶皺的水面折射后，聚集于各個(gè)透鏡的焦散線上，泳池底部將呈現(xiàn)出或明或暗的美麗光斑，如圖7所示。 圖7. 泳池中的突變現(xiàn)象[12]。左圖為平靜池面下的均勻投影，右圖為波動(dòng)池面下的斑斕投影。 3. 突變論的跨學(xué)科應(yīng)用 盡管突變論是一門數(shù)學(xué)理論，但它作為研究系統(tǒng)階躍演化的數(shù)學(xué)工具，自誕生之初就具有跨學(xué)科屬性。它可以將物理、數(shù)學(xué)、生物、社會(huì)學(xué)以及哲學(xué)等學(xué)科自然地關(guān)聯(lián)到一起，應(yīng)用非常廣泛。 3.1 系外行星探測 比如，在天文學(xué)領(lǐng)域，目前已經(jīng)可以利用引力透鏡中所呈現(xiàn)的突變現(xiàn)象來探測系外行星。 基本原理類比于雙星引力透鏡：由恒星、行星組成的雙體引力透鏡（也稱微引力透鏡）系統(tǒng)，在其焦散線區(qū)域（如圖3所示），將對背景光源產(chǎn)生驚人的放大效果，且其對背景天體的放大率與背景天體的位置息息相關(guān)。隨著背景天體穿入、穿出其焦散線，我們將得到一個(gè)戲劇性的U型光度突變曲線，如圖8所示（MOA-2009-BLG-387L觀測實(shí)例）。這一由微引力透鏡效應(yīng)引發(fā)的特征性光變曲線，為系外行星的探測提供了可能。而且，利用微引力透鏡法探測行星，可以和其他傳統(tǒng)探測方法（如徑向速度法、凌星法等）優(yōu)勢互補(bǔ)，潛力巨大。 目前，已經(jīng)有超過50個(gè)行星根據(jù)這一方法被探測到。隨著美國宇航局（NASA）衛(wèi)星工程——廣域紅外巡天望遠(yuǎn)鏡（WFIRST）提上日程（預(yù)計(jì)2025年發(fā)射），相信微引力透鏡未來將帶給我們更多驚喜。
圖8. 太陽系外行星系統(tǒng)MOA-2009-BLG-387L的一次微引力透鏡事件。由13個(gè)遍布全球（包括業(yè)余愛好者）的望遠(yuǎn)鏡提供數(shù)據(jù)（不同顏色點(diǎn)標(biāo)出），黑線為最佳擬合結(jié)果。右上插圖展示了微引力透鏡焦散線和背景源的軌跡，兩者每次相交，觀測到的光變曲線就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)對應(yīng)峰值（圖片改自參考資料【13】）。 3.2 天才與瘋子理論
當(dāng)然，突變論還有其它很多意想不到的應(yīng)用，比如基于幾種基本突變類型拓展出的折紙藝術(shù)[14]，塞曼（Zeeman）甚至曾引用突變論來解釋了狗咬人的行為[15]。在阿諾爾德著寫的《突變理論》一書中，也基于突變論，提出了一個(gè)關(guān)于天才與瘋子的理論。 圖9. 左圖為阿諾爾德著作《突變理論》，右圖為書中提到的天才—瘋子理論 [10]。 根據(jù)他的理論，一個(gè)創(chuàng)造性人格（比如科學(xué)家）可以用三個(gè)參數(shù)來描述，即技術(shù)熟練度（Technical proficiency），熱情度（Enthusiasm）以及成就值（Achievement）。很顯然，這三個(gè)參數(shù)是彼此相關(guān)聯(lián)的，可以構(gòu)成一個(gè)三維空間的曲面（如圖9中的右圖所示），其中技術(shù)熟練度（T）與熱情度（E）為參考平面。
如果一個(gè)人只注重提升自己的技術(shù)熟練度，卻對自己所從事的工作缺乏熱情，他最終也許會(huì)有所成就，不過進(jìn)步緩慢（沿曲面遠(yuǎn)端緩慢攀升）。但如果一個(gè)人已然技術(shù)嫻熟，與此同時(shí)，其對工作的熱情也與日俱增，那么他的成就可能將極高（到達(dá)曲面點(diǎn)2），成為世人口中所說的“天才”（Geniuses）。另一方面，如果一個(gè)人工作伊始就有很高的熱情度，一旦他完善了相應(yīng)的知識(shí)儲(chǔ)備（技術(shù)熟練度），則其成就將呈現(xiàn)井噴之勢（對應(yīng)路徑1）。
相反地，如果一個(gè)人對工作的熱情不斷瘋長，但卻缺乏與之相匹配的專業(yè)度（技術(shù)熟練度）（對應(yīng)路徑3），他最終極有可能一無所成（對應(yīng)曲面中點(diǎn)4），成為“民科”，更有甚者成為不被理解的“瘋子”（Maniacs）群體。 總而言之，阿諾爾德利用突變理論（三維曲面），完美地詮釋了一句箴言：天才與瘋子之間往往只有一線之隔。而天才與瘋子之間的區(qū)隔，則具有很強(qiáng)烈的教育意義。一個(gè)對工作抱有極大熱情的瘋子，甚至也許其技術(shù)熟練度與天才并沒有太大的區(qū)別，但他的無所成就（以及之前的經(jīng)歷）卻注定他成不了人人贊譽(yù)的天才。 總結(jié) 提出突變論的數(shù)學(xué)家可能很難想象，有朝一日，他們的數(shù)學(xué)玩具能夠產(chǎn)生最為實(shí)際的效用，例如利用微引力透鏡事件中的突變現(xiàn)象實(shí)現(xiàn)太陽系外行星探測的新途徑，以及其在社會(huì)學(xué)中的應(yīng)用等等。而自然界的神奇之處就在于，似乎總存在著那么一些隱形的絲線可以將眾多領(lǐng)域、不同事物巧妙地聯(lián)系起來，這條絲線也許是數(shù)學(xué)，也許是物理。而渺小如我們，在驚嘆于這些不可思議的聯(lián)系之外，還可以據(jù)此推寫預(yù)言，以期與自然造化的不謀而合，探索巧合之下深刻內(nèi)在的自然奧義，這也正是吸引無數(shù)科學(xué)家前仆后繼的原力之所在。
親愛的讀者：您能在生活中找到突變論的實(shí)例嗎？
參考來源： 1. https://en./wiki/Lens_(optics) 2. Wheeler, J. A. 1990, A Journey Into Gravity and Spacetime, Scientific American Library, San Francisco: W. H. Freeman, ISBN 0-7167-6034-7 3. Bartell, B. Gravitational Lensing (http://minerva./bartellb/description.html) 4. https://en./wiki/Caustic_(optics) 5. Miller, D. M. Basics of Radio Astronomy for the Goldstone-Apple Valley Radio Telescope (http:///Science/RadioAstronomy.asp#Gravitational_Lensing) 6. Pushpanathan,V. 2014, The Catastrophe Theory (http://dip9./the-catastrophe-heory/) 7. http://wiki.mbalib.com/zh-tw/突變理論 8. https://en./wiki/Vladimir_Arnold 9. http://www./node/1441693 10. Arnold,V. I. 1992, Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag 11. Gaulincho, 2013, Caustics (https://cgiknowledge./2013/01/26/caustics/) 12.http://www./uploads/wallpapers/2014/08/09/419796/6e75b74d385472dace1b3af368f09aab.jpg 13. Batista,V., et al. 2011, MOA-2009-BLG-387Lb: a massive planet orbiting an M dwarf, A& A, 529, A102 (http://www./articles/aa/pdf/2011/05/aa16111-10.pdf) 14. Chit,L. C. Origami & Catastrophe Theory (http://www./academic/disaster.php) 15. Zeeman,E. C. 1976, Catastrophe Theory, Scientific American, April Issue, pp. 65 (http://www./pdf/dynamics/zeeman-catastrophe_theory.pdf) |
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