我國(guó)古代數(shù)學(xué)取得的光輝成就，是人類對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中邁出的重要步伐，遠(yuǎn)遠(yuǎn)走在世界的前列。擴(kuò)大了數(shù)學(xué)的領(lǐng)域，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，在人類認(rèn)識(shí)和改造世界過(guò)程中發(fā)揮了重要作用。

勾股定理是一個(gè)基本幾何定理，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。勾股定理是余弦定理的一個(gè)特例。

世界上幾個(gè)文明古國(guó)如古巴比倫、古埃及都先后研究過(guò)這條定理。我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，被稱為“商高定理”。

成書(shū)于公元前1世紀(jì)的我國(guó)最古老的天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，記載了周武王的大臣周公詢問(wèn)皇家數(shù)學(xué)家商高的話，其中就有勾股定理的內(nèi)容。

這段話的內(nèi)容是，周公問(wèn)：“我聽(tīng)說(shuō)你對(duì)數(shù)學(xué)非常精通，我想請(qǐng)教一下：天沒(méi)有梯子可以上去，地也沒(méi)法用尺子去一段一段丈量，那么關(guān)于天的高度和地面的一些測(cè)量的數(shù)據(jù)是怎么樣得到的呢？”

商高說(shuō)：“數(shù)的產(chǎn)生來(lái)源于對(duì)圓和方這些圖形的認(rèn)識(shí)。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時(shí)候，那么，它的斜邊‘弦’就必定是5?！?/p>

這段對(duì)話，是我國(guó)古籍中“勾三、股四、弦五”的最早記載。

用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述就是：在任何一個(gè)不等腰的直角三角形中，兩條直角邊的長(zhǎng)度的平方和等于斜邊長(zhǎng)度的平方。也可以理解成兩個(gè)長(zhǎng)邊的平方之差與最短邊的平方相等。

基于上述淵源，我國(guó)學(xué)者一般把此定理叫作“勾股定理”或“商高定理”。

商高沒(méi)有解答勾股定理的具體內(nèi)容，不過(guò)周公的后人陳子曾經(jīng)運(yùn)用他所理解的太陽(yáng)和大地知識(shí)，運(yùn)用勾股定理測(cè)日影，以確定太陽(yáng)的高度。這是我國(guó)古代人民利用勾股定理在科學(xué)上進(jìn)行的實(shí)踐。

周公的后人陳子也成了一個(gè)數(shù)學(xué)家，是他詳細(xì)地講述了測(cè)量太陽(yáng)高度的全套方案。這位陳子是當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)權(quán)威，《周髀算經(jīng)》這本書(shū)，除了最前面一節(jié)提到商高以外，剩下的部分說(shuō)的都是陳子的事。

據(jù)《周髀算經(jīng)》說(shuō)，陳子等人的確以勾股定理為工具，求得了太陽(yáng)與鎬京之間的距離。為了達(dá)到這個(gè)目的，他還用了其他一系列的測(cè)量方法。

陳子用一只長(zhǎng)8尺，直徑0.1尺的空心竹筒來(lái)觀察太陽(yáng)，讓太陽(yáng)恰好裝滿竹筒的圓孔，這時(shí)候太陽(yáng)的直徑與它到觀察者之間距離的比例正好是竹筒直徑和長(zhǎng)度的比例，即1比80。

經(jīng)過(guò)諸如此類的測(cè)量和計(jì)算，陳子和他的科研小組測(cè)得日下60000里，日高80000里，根據(jù)勾股定理，求得斜至日整10萬(wàn)里。這個(gè)答案現(xiàn)在看來(lái)當(dāng)然是錯(cuò)的。但在當(dāng)時(shí)，陳子對(duì)他的方案充分信心。他進(jìn)一步闡述這個(gè)方案：

在夏至或者冬至這一天的正午，立一根8尺高的竿來(lái)測(cè)量日影，根據(jù)實(shí)測(cè)，正南1000里的地方，日影1.5尺，正北1000里的地方，日影1.7尺。這是實(shí)測(cè)，下面就是推理了。

越往北去，日影會(huì)越來(lái)越長(zhǎng)，總有一個(gè)地方，日影的長(zhǎng)會(huì)正好是6尺，這樣，測(cè)竿高8尺，日影長(zhǎng)6尺，日影的端點(diǎn)到測(cè)竿的端點(diǎn)，正好是10尺，是一個(gè)完美的“勾三股四弦五”的直角三角形。

這時(shí)候的太陽(yáng)和地面，正好是這個(gè)直角三角形放大若干倍的相似形，而根據(jù)剛才實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，南北移動(dòng)1000里，日影的長(zhǎng)短變化是0.1尺，那由此往南60000里，測(cè)得的日影就該是零。也就是說(shuō)從這個(gè)測(cè)點(diǎn)到“日下”，太陽(yáng)的正下方，正好是60000里，于是推得日高80000里，斜至日整10萬(wàn)里。接下來(lái)，陳子又講天有多高地有多大，太陽(yáng)一天行幾度，在他那兒都有答案。

陳子根本沒(méi)有想到這一切都是錯(cuò)的。他要是知道他腳下大得沒(méi)邊的大地，只不過(guò)是一個(gè)小小的寰球，體積是太陽(yáng)的一百三十萬(wàn)分之一，就像飄在空中的一粒塵土，真不知道他會(huì)是什么表情。

書(shū)的最后陳子說(shuō)：一年有365天4分日之一，有12月19分月之7，一月有29天940分日之499。這個(gè)認(rèn)識(shí)，有零有整，而且基本上是對(duì)的?，F(xiàn)在大家都知道一年有365天，好像不算是什么學(xué)問(wèn)，但在那個(gè)時(shí)代，陳子的學(xué)問(wèn)不是那么簡(jiǎn)單的，雖然他不是全對(duì)。

勾股定理的應(yīng)用，在我國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期另一部古籍《路史后記十二注》中也有記載：大禹為了治理洪水，使不決流江河，根據(jù)地勢(shì)高低，決定水流走向，因勢(shì)利導(dǎo)，使洪水注入海中，不再有大水漫溢的災(zāi)害，也是應(yīng)用勾股定理的結(jié)果。

勾股定理在幾何學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，較早的案例有《九章算術(shù)》中的一題：有一個(gè)正方形的池塘，池塘的邊長(zhǎng)為1丈，有一棵蘆葦生長(zhǎng)在池塘的正中央，并且蘆葦高出水面部分有1尺，如果把蘆葦拉向岸邊則恰好碰到岸沿，問(wèn)水深和蘆葦?shù)母叨雀鞫嗌伲?/p>

這是一道很古老的問(wèn)題，《九章算術(shù)》給出的答案是“12尺”、“13尺”。這是用勾股定理算出的結(jié)果。

漢代的數(shù)學(xué)家趙君卿，在注《周髀算經(jīng)》時(shí)，附了一個(gè)圖來(lái)證明“商高定理”。這個(gè)證明是400多種“商高定理”的證明中最簡(jiǎn)單和最巧妙的。外國(guó)人用同樣的方法來(lái)證明的，最早是印度數(shù)學(xué)家巴斯卡拉·阿查雅，那是1150年的時(shí)候，可是比趙君卿還晚了1000年。

東漢初年，根據(jù)西漢和西漢時(shí)期以前數(shù)學(xué)知識(shí)積累而編纂的一部數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》里面，有一章就是講“商高定理”在生產(chǎn)事業(yè)上的應(yīng)用。

直至清代才有華蘅芳、李銳、項(xiàng)名達(dá)、梅文鼎等創(chuàng)立了這個(gè)定理的幾種巧妙的證明。

勾股定理是人們認(rèn)識(shí)宇宙中形的規(guī)律的起點(diǎn)，在東西方文明起源過(guò)程中，有著很多動(dòng)人的故事。

我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的第九章即為勾股術(shù)，并且整體上呈現(xiàn)出明確的算法和應(yīng)用性特點(diǎn)，表明已懂得利用一些特殊的直角三角形來(lái)切割方形的石塊，從事建筑廟宇、城墻等。

這與歐幾里得《幾何原本》第一章的畢達(dá)哥拉斯定理及其顯現(xiàn)出來(lái)的推理和純理性特點(diǎn)恰好形成熠熠生輝的對(duì)比，令人感慨。