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假設法解決數學實際問題 棗莊市市中區(qū)文化路小學 王 進 假設是指根據已有的經驗和材料，對事物產生的原因及其規(guī)律所作的推測、設想。利用假設法來解決數學中的實際問題，就是根據題目中所給的條件，再假設出一些與題目不矛盾而有聯系的條件，以有利于幫助解決數學問題。這種思維形式屬于邏輯思維的范疇。 “假設的思想”對學生來說并不陌生。教材有很多章節(jié)和題目都涉及這種思想。用方程來解應用題，實質上就是把未知條件直接假設成已知條件，再根據題意列出方程。分數應用題、工程問題，解題關鍵是確定“1”的問題，這種“確定”就是一種假設。 根據平時的教學，下面舉幾個例子，來說明假設在教學中的實際應用。 例1 選擇正確的答案填在括號里 一個數增加 20% 后，再減少 20% 。結果比原數是（ ） [ 變大了 變小了 沒有變 ] 分析：“一個數”不知道是多少，好像是缺少條件。但是“一個數”無論是多少，與解題無矛盾，但有一定的聯系。如果把抽象的“一個數”看作是1或者是100，那么對學生來說這個數就比較具體了。如果這個數是100，結果是： 100×（1+20%）× （1-20%）=96 。這樣根據假設的條件計算出結果，再進行與假設數來比較，就不難選擇答案了。 例2 填空 已知甲數的?與乙數的?相等，那么甲數是已乙數的（ ）倍。 分析：甲乙兩個都不知道，如果知道其中的一個數，就可以求另一數。設甲數為1。則有： 1×?=乙×? 乙=?÷?=? 1÷?=1? 甲數是乙數的（1?）倍。 例3 解答應用題 一項工程，甲獨做要20天完成，乙獨做要30天完成?，F甲乙合做，中間甲有事請假幾天。工程完成后，前后共用了15天。問中間甲請假幾天。 分析：列式為 [（?+?）×15﹣1]÷? =5（天） 這種列式就是設甲沒有請假休息，這樣算出走超額完成的工作量。這個工作量就是甲請假幾天應干的工作量。然后再計算出甲請假的天數。 例4 解答應用題 ~ 1 / 3 ~ 兩輛汽車從相距為730公里的兩地先后相向而行?？ㄜ嚸啃r行20公里，小汽車每小行36公里。當兩車相遇時，兩車行駛時間相加正好是24小時。求相遇時兩車各行了多少公里。 分析： 此題看起來是行程問題，但實質上是從前的雞兔同籠問題。730公里是兩車所行路程之和，24小時是兩車行駛時間之和。設24小時都是小汽車行的，則行駛的咯程為：36×24=864（公里），比兩車共行的路程多：864﹣730=134（公里），這是因為卡車行駛的時間當作了小汽車行駛的時間了。小汽車每小時比卡車多行：36﹣20=16（公里）。那么卡車實際行駛的時間來假設小汽車行的時間是：（36×24﹣730）÷（36﹣20）= 8（小時） 小汽車行駛的時間是：24﹣8=16（小時）。求出兩車各行駛的時間后，就好求兩車各行駛的路程了。 例5 解答應用題 要加工一批零件，師傅獨做8天完成，徒弟獨做12天完成。在加工時，師傅獨做若干天后，徒弟接著做完，前后共用了9天。師徒在加工這批零件時各做了幾天？ 分析：此題是較為復雜的工程應用題，用一般的思維方式難以解決，如果利用假設法來解決此問題就比較容易。假設9天全部由徒弟來做，則徒弟將完成的工作量為：?×9，還剩這批零件的：1﹣?×9=?。 為什么會剩 ? 呢？是因為徒弟比師傅工作效率低：?﹣?=? 。而又把師傅干的時間假設徒弟干的，所以得剩了。那么徒弟替干的時間就是師傅的工作時間：?÷?=6 天。 徒弟工作時間是：9﹣6=3（天）。 例6 解答應用題 小王和小李兩人共同要加工280個零件。小王做完自己任務的 80% ，小李做完自己任務的75% ，兩人正好完成216個零件。問小王和小李兩人所分的任務應各是多小個零件。 分析：此題是一道較為復雜的百分數應用題，解題方法比較多。下面介紹兩種利用假設法來解決此問題。 第一種：設王李都完成各自任務的80%，兩人則共同完成這么多的零件個數：280×80%=224（個），224個零件中包甲的80%和乙的80% ，這就比當時完成的多 224﹣216 = 8個 ，這8個零件就是乙任務的：80%﹣75% =5%。所以乙原來要做的零件個數是：8÷5%=160個。甲是 ： 280﹣160=120個。 ~ 2 / 3 ~ 第二種：這種方法是一種奇特的方法，但是很多復雜的應用題可以運用。 設甲要做零件200個。乙則為：280﹣200=80個。當是甲乙共完成的個數應是：200×80%+80×75%=200個。比實際多220﹣216 = 4個（為原差額）。 再設甲方要做160個，乙則為 280﹣160 = 120個。當是甲乙完成的個數應是：160×80%+120×75% = 218個。比實際多 218﹣216 = 2個。由以上兩步假設可以看出：當甲所要做的零件個數每減少40個時，就較原來的差額少： 4﹣2=2個，為使原差額完全消失，甲實際所要做的零件個數必須比原來所設的個數減少：40× [4÷（4﹣2）]= 80個，故甲實際要做的零件個數是：200﹣80 =120個。再求乙就簡單了。 總之，在實際教學過程中遇到的這樣的例了很多。由以上幾個例子可以看出利用假設法來解決數學問題，應用比較寬泛。假設這種思維方法就好比一個杠桿，把復雜的問題化難為易，它屬于邏輯思維的范籌，具有一定的規(guī)律性和科學性。如果在教學上對學有意識地去指導、開發(fā)，可以拓寬學生的思路，使學生產生豐富的想象，從而達到開發(fā)學生智力、培養(yǎng)學生能力之目的。 如何運用假設來解決實際問題，要因題目而選擇，不能生搬硬套。首先要看題目是否適用假設法去思考，且不要把較為容易的題目復雜化。如果要采用假設去思考問題，一定要使假設的條件要得當，要有助于分析和推理。假設的條件要與題目中的條件有聯系，而不能有矛盾。假設條件確定以后，要充分得利用其條件，要使它與其客觀條件建立起聯系，這樣才能有效地解決問題。 值得指出是利用假設的思想和方法來解決數學問題，具有它的局限性。它只有在特定的環(huán)境和條件下運用才有意義。但是在解決較為復雜的數學問題、發(fā)展學生智力、培養(yǎng)能力等方面，假設法具有廣闊的前景。 |
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