《高中物理思維方法集解》試筆系列

  核反應(yīng)的“守恒規(guī)律”與“核能計(jì)算”問題

                    山東平原一中    魏德田    253100 

核物理中，常提及核反應(yīng)的“守恒規(guī)律”與“核能的計(jì)算”問題。事實(shí)上，在核反應(yīng)過程中，由于核力對(duì)核子做功，會(huì)引起“核反應(yīng)系統(tǒng)”（以下簡(jiǎn)稱“系統(tǒng)”）的能量變化。我們則把系統(tǒng)釋放或吸收的這種能量，叫做核能。從而，核反應(yīng)即可分為質(zhì)量虧損、釋放核能和質(zhì)量增加、吸收核能等兩大類型。其中，又以研究發(fā)生質(zhì)量虧損和釋放核能的一類核反應(yīng)為教學(xué)重點(diǎn)。進(jìn)而，此類核反應(yīng)又可分為衰變、嬗變、裂變和聚變等四種。因此，在本文中亦基本遵循這一原則，初步探討一下此類問題的解題規(guī)律。                              

一、破解依據(jù)

   欲解決核反應(yīng)中有關(guān)“守恒規(guī)律”與“核能的計(jì)算”問題，試歸納以下幾條“依據(jù)”：

㈠五個(gè)守恒：⑴質(zhì)量數(shù)守恒；⑵質(zhì)子數(shù)（或核電荷數(shù)）守恒；⑶質(zhì)量守恒（“虧損質(zhì)量”與釋放或吸收的“核能”相當(dāng)）；⑷能量守恒。⑸對(duì)衰變、嬗變等過程，間或應(yīng)用動(dòng)量守恒。

㈡兩個(gè)方程：

⑴質(zhì)能方程：，m指運(yùn)動(dòng)質(zhì)量。⑵核能：

㈢一個(gè)半衰期（τ）：反映衰變的速度。

⑴剩余核數(shù)：；⑵剩余質(zhì)量：。

㈣核能的計(jì)算：⑴或——質(zhì)能關(guān)系。其中， 分別為諸反應(yīng)物、生成物的靜止質(zhì)量，為反應(yīng)物、生成物的靜止質(zhì)量之差，亦即核反應(yīng)的質(zhì)量虧損。若則為釋放核能的情形；若則為吸收核能的情形。

⑵若不計(jì)光子輻射的能量時(shí)，則有，即核能（動(dòng)能）的增加等于 “系統(tǒng)能量”的減少；反之亦反之。

㈤核力及其做功問題：

⑴核力的性質(zhì)：⑴是引力，與核子（質(zhì)子、中子等）是否帶電無關(guān)；⑵短程力，作用距離小于；（由于核子距離為，因而核力只存在于相鄰的核子之間，距離稍遠(yuǎn)則迅速減為零。）⑶強(qiáng)相互作用。

⑵核力的功等于核能的變化。若核力做正功，則系統(tǒng)能量減少，故向系統(tǒng)外放出核能（動(dòng)能、光能等）；核力做負(fù)功，系統(tǒng)從外界吸收核能，故系統(tǒng)能量增加。

                            二、解題示例

[例題1]（’07上海）U衰變?yōu)?/span>Rn要經(jīng)過m次a衰變和n次b衰變，則m，n分別為（      ）

A．2，4         B．4，2         C．4，6        D．16，6

[解析]由應(yīng)用“依據(jù)”㈠⑴、⑵（質(zhì)量數(shù)、質(zhì)子數(shù)守恒）可得，，

其中，因而由以下方程組

即可求出因此，本題答案為：B。

[例題2]（’06天津）一個(gè)原子核在中子的轟擊下發(fā)生一種可能的裂變反應(yīng)，其裂變方程為，則下列敘述正確的是（    ）

A. X原子核中含有86個(gè)中子

B. X原子核中含有141個(gè)核子

C. 因?yàn)榱炎儠r(shí)釋放能量，根據(jù)，所以裂變后的總質(zhì)量數(shù)增加

D. 因?yàn)榱炎儠r(shí)釋放能量，出現(xiàn)質(zhì)量虧損，所以生成物的總質(zhì)量數(shù)減少

[解析]類似地，可得235+1=X_A+94+2×1，92=X_Z+38，容易求出核子總數(shù)X_A=140，質(zhì)子數(shù)X_Z=54，核內(nèi)中子數(shù)，故知A對(duì)B錯(cuò)。易知，重核裂變時(shí)質(zhì)量虧損而釋放能量，生成物總質(zhì)量減少但質(zhì)量數(shù)不變，故知C、D均錯(cuò)。因此，本題答案為：A。

[點(diǎn)撥]以上兩例，除應(yīng)用質(zhì)量數(shù)、質(zhì)子數(shù)守恒而外，還初步應(yīng)用質(zhì)量虧損的概念。“質(zhì)量虧損”亦即反應(yīng)物、生成物的靜止質(zhì)量之差

 [例題3]（’07廣東）下列說法中正確的是(   )

A．中子和質(zhì)子結(jié)合成氘核時(shí)吸收能量

B．升高放射性物質(zhì)的溫度，可縮短其半衰期

C．某原子核經(jīng)過一次α衰變和兩次β衰變后，核內(nèi)中子數(shù)減少4個(gè)

D．γ射線的電離作用很強(qiáng)，可用來消除有害靜電

[解析]分析易知，質(zhì)子和中子在結(jié)合為氘核時(shí)，發(fā)生聚變反應(yīng)釋放核能；物質(zhì)的半衰期決定于和本身的性質(zhì)，與溫度無關(guān)。故知A、B均錯(cuò)。

某原子核經(jīng)一次衰變，由“依據(jù)”㈠⑴、⑵可知其質(zhì)子數(shù)減少2，質(zhì)量數(shù)減少4（亦即減少質(zhì)子、中子各兩個(gè)），進(jìn)而經(jīng)兩次衰變，質(zhì)子數(shù)增加2（亦即減少兩個(gè)中子），質(zhì)量數(shù)不變，因而最終導(dǎo)致核內(nèi)中子數(shù)減少4，質(zhì)子數(shù)不變，故知C正確。

至于射線在三種放射線中貫穿能力最強(qiáng)而電離能力最弱，不帶電無法中和異種電荷，豈能消除有害靜電？故知D亦為錯(cuò)。

因此，本題答案為：C。

[例題4]（’06重慶）¹⁴C是一種半衰期為5730年的放射性同位素。若考古工作者探測(cè)到某古木中¹⁴C的含量為原來的，則該古樹死亡時(shí)間距今大約

A.22920年                    B.11460

C.5730年                     D.2865年

  [解析]顯然，應(yīng)用“依據(jù)”㈢⑵（衰變剩余質(zhì)量），由此求出年。

[點(diǎn)撥]例3、例4則涉及衰變時(shí)“半衰期”的概念及其有關(guān)計(jì)算。

[例題5]（’06四川）某核反應(yīng)方程H＋H→He＋X。已知H的質(zhì)量為2.0136u，H的質(zhì)量為3.0180u，He的質(zhì)量為4.0026u，X的質(zhì)量為1.0087u。則下列說法中正確的是   （    ）

A．  X是質(zhì)子，該反應(yīng)釋放能量    B．  X是中子，該反應(yīng)釋放能量

C．  X是質(zhì)子，該反應(yīng)吸收能量    D．  X是中子，該反應(yīng)吸收能量

    [解析]首先，應(yīng)用質(zhì)量數(shù)守恒和質(zhì)子數(shù)守恒可得。因而，，即為中子。

然后，計(jì)算質(zhì)量虧損（見“依據(jù)”㈣⑴）

    由此可見，該反應(yīng)釋放核能。因此，本題答案為：B。

[例題6]（’07廣東）物理學(xué)家們普遍相信太陽發(fā)光是由于其內(nèi)部不斷發(fā)生從氫核到氦核的核聚變反應(yīng).根據(jù)這一理論，在太陽內(nèi)部４個(gè)氫核()轉(zhuǎn)化成一個(gè)氦核()和兩個(gè)正電子()并放出能量.已知質(zhì)子質(zhì)量m_P＝1.0073u，α粒子的質(zhì)量m_α＝4.0015u，電子的質(zhì)量m_e＝0.0005u． 1u的質(zhì)量對(duì)應(yīng)931.5MeV的能量。

⑴寫出該熱核反應(yīng)方程

⑵一次這樣的熱核反應(yīng)過程中釋放出多少兆電子伏的能量?（結(jié)果保留四位有效數(shù)字）

  [解析] ⑴首先，不難寫出核反應(yīng)方程：4→+2                                         

⑵然后，計(jì)算質(zhì)量虧損

再由“依據(jù)”㈣⑴（質(zhì)能關(guān)系）得熱核反應(yīng)過程中釋放的“核能”                                               

[例題7]（’04廣東）中子n、質(zhì)子p、氘核D的質(zhì)量分別為現(xiàn)用光子能量為E的γ射線照射靜止氘核使之分解，反應(yīng)的方程為

若分解后中子、質(zhì)子的動(dòng)能可視為相等，則中子的動(dòng)能是   （     ）

A.     B.

C.     D.

[解析]類似地，質(zhì)量虧損計(jì)算，引入已知數(shù)據(jù)可得

顯然，由“依據(jù)”㈣⑴（質(zhì)能關(guān)系）可得系統(tǒng)的吸收的“核能”為

     由此可知，此反應(yīng)需吸收核能。若單個(gè)中子的動(dòng)能為，則由能量守恒可得

由①②式，即可求出

因此，本題答案為：C。

[點(diǎn)撥]以上三例雖同為核能計(jì)算問題，但5、6兩例屬于釋放核能的反應(yīng)，例7則屬于吸收核能反應(yīng)；其判斷方法只看“質(zhì)量虧損”的“正負(fù)”。

[例題8]（’07北京海淀）一個(gè)原來靜止在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的原子核發(fā)生衰變，放出某種粒子后，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中形成如圖—1所示的徑跡，原子核放出的粒子可能是（    ）

A．氦核       B．電子        C．光子     D．正電子

    [解析]在此類反應(yīng)過程中，若為衰變，由動(dòng)量守恒可知新核和粒子運(yùn)動(dòng)方向相反。再由左手定則、軌道半徑知識(shí)可知，兩者軌跡分別為半徑上大、下小的外切圓。若為衰變，同理可知新核和粒子運(yùn)動(dòng)軌跡分別為徑內(nèi)小、外大的內(nèi)切圓，恰當(dāng)如圖—1所示。

    因此，本題答案為：B。

 [例題9] （’07高考模擬）介子衰變的方程為，其中介子和介子帶負(fù)的元電荷e,介子不帶電。當(dāng)一個(gè)介子豎直向上射入水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，經(jīng)圓弧AP速度向右時(shí)，在P點(diǎn)發(fā)生上述衰變。那么，能正確描述介子、介子運(yùn)動(dòng)的軌跡的是圖—2的那一副圖？

[解析]首先，設(shè)介子的質(zhì)量、速度分別為,則、介子的速度分別為，質(zhì)量均為。從而，由動(dòng)量守恒可得

再由軌道半徑公式，又得介子的圓周運(yùn)動(dòng)半徑

由于衰變發(fā)生后，、介子具有運(yùn)動(dòng)方向的不確定性，因而展開討論。

⑴當(dāng)、的動(dòng)量（速度）均水平向右時(shí)，向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)；由①②③可知，，即做初速向右、半徑的順時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng)。圖中并無此類圖樣。

⑵當(dāng)、的動(dòng)量（速度）分別向右、向左時(shí)，向左做勻速直線運(yùn)動(dòng)；同理可得、，即做初速向右、半徑的順時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng)，故知A、C、D均錯(cuò)。

⑶當(dāng)、的動(dòng)量（速度）分別向左、向右時(shí)，向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)；同理可知無論半徑如何，做初速向左的順時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng)，故知B正確。

因此，本題答案為：B。

[點(diǎn)撥]由8、9兩例解析可見，當(dāng)放射性原子核衰變發(fā)生后，在同一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中新生核或粒子是否旋轉(zhuǎn)、方向如何等問題，必須審察其是否帶電，并需借助于動(dòng)量守恒、洛侖茲力、左手定則、軌道半徑和周期公式等等解決。

[例題10]（’07高考模擬）若反應(yīng)方程以及各介子情況仍如[例題9]，而空間分布兩同向勻強(qiáng)磁場(chǎng)，以虛線MN為理想邊界，磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為，如圖—3所示。今有一個(gè)介子沿垂直于磁場(chǎng)的方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，其軌跡為圓弧AP，P在MN上，在P點(diǎn)的速度為v,方向與MN垂直。在P點(diǎn)該介子發(fā)生了上述衰變。衰變后產(chǎn)生的介子沿v反方向射出，其軌跡為如圖虛線所示的“心”形圖線。則以下說法正確的是 （    ）

A．介子的運(yùn)行軌跡為PENCMDP               

B． 介子做勻速直線運(yùn)動(dòng)

C．介子運(yùn)行一周回到P用時(shí)為   

D．

[解析]首先，當(dāng)介子沿v反方向射出時(shí)，由左手定則、半徑公式可知該介子作順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，運(yùn)行軌跡為；由動(dòng)量守恒可知衰變后介子速度向右，因不帶電而做勻速直線運(yùn)動(dòng)。故知A錯(cuò)B對(duì)。

然后，由圖—3、軌道半徑公式，可知介子分別在磁場(chǎng)B₁、B₂中的半徑之比

再應(yīng)用周期公式，即可求出介子運(yùn)行一周回到P所用時(shí)間

由此可知，C對(duì)而錯(cuò)。因此，本題答案為：B、C。

[點(diǎn)撥]此例引用軌道半徑公式、周期公式，稍有不同的是求介子運(yùn)行一周的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，采用分段計(jì)算的方法。           

[例題11] （’07北京海淀）靜止在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的核俘獲一個(gè)運(yùn)動(dòng)方向垂直于磁場(chǎng)，速度大小為的中子，發(fā)生核反應(yīng)。若已知核的速度大小為，方向與反應(yīng)前中子的速度方向相同，求：

⑴的速度；

⑵核和核在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比；

⑶當(dāng)核旋轉(zhuǎn)3周時(shí)，核旋轉(zhuǎn)幾周？

[解析] ⑴首先，由動(dòng)量守恒定律可得

代入已知數(shù)據(jù)，即可求出的速度

其方向與中子的運(yùn)動(dòng)方向相反。

⑵然后，應(yīng)用軌道半徑公式代入已知數(shù)據(jù)，可求出核和核在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比

⑶最后，由周期-周數(shù)關(guān)系、周期公式（即同一時(shí)間內(nèi)周期與旋轉(zhuǎn)周數(shù)成反比）可得

已知周，代入③式即得

             。

即核旋轉(zhuǎn)3周時(shí)，核旋轉(zhuǎn)4.5周。

[點(diǎn)撥]此例解決以動(dòng)量守恒開端，先求出的速度，繼之采用軌道半徑公式其其比值，最后則借用在相同時(shí)間內(nèi)周期、轉(zhuǎn)動(dòng)周數(shù)成反比的關(guān)系，獲取成功。

[例題12]（’07高考模擬）如圖—4所示，在一環(huán)形區(qū)域存在著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在圓心O點(diǎn)處一靜止的鐳核放出一個(gè)粒子后變成氡核，已知鐳核在衰變過程中有的能量轉(zhuǎn)化為它們的動(dòng)能。粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后受到洛侖茲力的大小為。

⑴試寫出鐳核衰變成氡核的核反應(yīng)方程式。

⑵分別求出粒子和氡核的動(dòng)能。

⑶分別求出粒子和氡核進(jìn)入磁場(chǎng)的偏轉(zhuǎn)半徑。

   [解析] ⑴容易寫出其核反應(yīng)方程：

   ⑵其次，由動(dòng)量守恒、動(dòng)能守恒可得

   又，動(dòng)能與動(dòng)量的關(guān)系為

   考慮到兩者質(zhì)量的關(guān)系，由以上三式可得

   ⑶然后，由于粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力即洛侖茲力，從而

   由⑤⑥式，代入洛侖茲力即可求出

   最后，由半徑公式、動(dòng)量守恒定律，又得

   再把⑦式代入⑧式，即可求出氡核的半徑

   [點(diǎn)撥]應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，在解決核反應(yīng)問題時(shí)，我們?nèi)f萬不能忘記動(dòng)量守恒、能量守恒、洛侖茲力、向心力、牛頓定律等的普適性和實(shí)用價(jià)值。亦即對(duì)核反應(yīng)問題，宜針對(duì)不同問題，綜合運(yùn)用力、熱、電、光、原等最基本的物理概念和規(guī)律，靈活予以分析和解決。

   [例題13]（’07天津模擬）在天體演變的過程中，超紅巨星發(fā)生“超新星爆炸”后，會(huì)有氣體塵埃以云霧的形式向四面八方噴出，俄當(dāng)然爆炸之后剩余的星體核心部分，可以形成中子星。中子星是通過中子之間的萬有引力結(jié)合而成的球狀星體，結(jié)構(gòu)及其復(fù)雜，具有極高的密度。

⑴中子星中存在著一定量的質(zhì)子和電子，這是因?yàn)樽杂蔂顟B(tài)的中子很不穩(wěn)定，容易發(fā)生衰變生成一個(gè)質(zhì)子和一個(gè)電子，請(qǐng)寫出核反應(yīng)方程，并計(jì)算該核反應(yīng)中釋放出的能量為多少J？（質(zhì)子質(zhì)量中子質(zhì)量電子質(zhì)量，）（結(jié)果保留兩為有效數(shù)字）

⑵已知某中子星密度為半徑為，求該中子星的衛(wèi)星運(yùn)行的最小周期（衛(wèi)星的軌道近似為圓軌道，萬有引力恒量結(jié)果保留一位有效數(shù)字）

[解析] ⑴首先寫出以下核反應(yīng)方程：而質(zhì)量虧損

由質(zhì)能方程即可求出該核反應(yīng)中釋放的“核能”，從而

⑵ 然后，應(yīng)用環(huán)繞天體的周期公式，代入已知數(shù)據(jù)，可求出中子星的衛(wèi)星運(yùn)行的最小周期

           。

[例題14]（’06江蘇）天文學(xué)家測(cè)得銀河系中氦的含量約為25%。有關(guān)研究表明，宇宙中氦生成的途徑有兩條：一是在宇宙誕生后3分鐘左右生成的；二是在宇宙演化到恒星誕生后，由恒星內(nèi)部的氫核聚變反應(yīng)生成的。

⑴把氫核聚變反應(yīng)就簡(jiǎn)化為4個(gè)氫核（）聚變成氦核（He），同時(shí)放出2個(gè)正電子（e）和2個(gè)中微子（V_e），請(qǐng)寫出該氫核聚變反應(yīng)的方程，并計(jì)算一次反應(yīng)釋放的能量。

⑵研究表明，銀河系的年齡約為t=3.8×10s，每秒鐘銀河系產(chǎn)生的能量約為1×10J（即P=1×10J/s）。現(xiàn)假定該能量全部來自上述氫核聚變反應(yīng)，試估算銀河系中氦的含量（最后結(jié)果保留一位有效數(shù)字）。

⑶根據(jù)你的估算結(jié)果，對(duì)銀河系中氦的主要生成途徑做出判斷。

（可能用到數(shù)據(jù)：銀河系質(zhì)量約為M=3×10kg，原子質(zhì)量單位1u=1.66×10kg，1u相當(dāng)于1.5×10J的能量，電子質(zhì)量m=0.0005u，氦核質(zhì)量m_a=4.0026u，氫和質(zhì)量m_p=1.0078u，中微子v_e質(zhì)量為零。）

   [解析] ⑴首先，寫出其核反應(yīng)方程：4H－He+2e=2v_e

顯然，其質(zhì)量虧損為

   再由質(zhì)能方程可得釋放的“核能”

⑵其次，若忽略電子的質(zhì)量，則依題意可得銀河系氦核的總質(zhì)量

進(jìn)而，可求出銀河系中氦的含量

⑶最后，由估算結(jié)果可知ｋ≈2％遠(yuǎn)小于25％的實(shí)際值。因此，銀河系中的氦主要是宇宙誕生后不久生成的。

[點(diǎn)撥]由解析可見，以上兩例都為釋放核能的反應(yīng)，前者聯(lián)系到天體的公轉(zhuǎn)周期，后者則顯然采用質(zhì)能對(duì)應(yīng)關(guān)系。

尤其值得強(qiáng)調(diào)的是，在由于對(duì)撞導(dǎo)致正負(fù)電子的湮滅，從而轉(zhuǎn)化為一對(duì)光子的“準(zhǔn)核反應(yīng)”問題中，質(zhì)量虧損與核能的計(jì)算請(qǐng)讀者參見拙文《“質(zhì)量虧損”與“核能的計(jì)算”》，此處從略。

                                          (2017-08-04  經(jīng)典重發(fā))