《高中物理思維方法集解》試筆系列

   “切導(dǎo)回路”動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)問題的破解（一）

                  山東平原一中      魏德田    253100

在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，部分導(dǎo)體或可導(dǎo)回路往往會(huì)相對(duì)于磁場(chǎng)做切割磁感線的運(yùn)動(dòng)。我們可以把此導(dǎo)體或可導(dǎo)回路稱作“切割導(dǎo)體”，簡稱“切導(dǎo)”。

所謂動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，指與磁場(chǎng)做相對(duì)、切割磁感線的運(yùn)動(dòng)“切導(dǎo)”中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。這里應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)必須具備兩個(gè)必要條件，即一則“切導(dǎo)”與磁場(chǎng)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象發(fā)生；二則該“切導(dǎo)”必須切割磁感線。實(shí)際上，“切導(dǎo)”的定義本身即包含著這兩方面的意義。

本文，擬對(duì)在磁場(chǎng)內(nèi)平動(dòng)的 “切導(dǎo)回路”中產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)問題，進(jìn)行一些嘗試性的界定和探究。

                   一、破解依據(jù)

欲解決此類問題，大致歸納為以下幾條“依據(jù)”：

㈠產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的條件（略）.

㈡大小計(jì)算：⑴其中，n為回路匝數(shù)，為回路面積的變化率。

⑵，其中E、 B、v等兩兩垂直,l可視為“有效（切割）長度”——部分或整體回路在垂直于磁場(chǎng)方向的“投影長度”。⑶，其中為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的最大值。⑷，其中，l做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

㈢方向判定：“手心對(duì)N極、拇指表運(yùn)動(dòng)、四指示動(dòng)（生）電（流）”——右手定則。 與“手心對(duì)N極、四指表通電、拇指示受力” ——左手定則顯著不同。

㈣另一重要推論：其中q、R分別為流過單匝回路的電荷量及其電阻。

㈤“切導(dǎo)回路”與“磁場(chǎng)”的相互作用，對(duì)應(yīng)“增反減同”規(guī)律則有“進(jìn)則推拒，出卻扯拉”，簡稱作“進(jìn)推出拉”的規(guī)律。

㈥若涉及外電路變換、變化以及電流、電壓、功率、效益等，則需綜合應(yīng)用“恒定電流”的有關(guān)概念和規(guī)律。

㈦若涉及沖動(dòng)聯(lián)系、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒與功能聯(lián)系（如動(dòng)能定理）、能量轉(zhuǎn)化和守恒等等，則宜采用相應(yīng)手段處理。

                   二、解題示例

所謂“切導(dǎo)回路”，即由正在做切割運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)體組成的回路，如由金屬組成的各種形式的線圈、線框等。在勻強(qiáng)磁場(chǎng)或有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做平動(dòng)的切導(dǎo)回路中，必定產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的大小常常由于回路的“有效長度”或“面積變化”的不同而不同。

一、“切導(dǎo)回路”垂直于磁場(chǎng)方向的平動(dòng)問題

若勻強(qiáng)磁場(chǎng)與“切導(dǎo)回路”所在平面垂直，其沿垂直于磁場(chǎng)方向自進(jìn)入、于內(nèi)到離開過程中，自然隨之帶來動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)、動(dòng)生電流的有無確認(rèn)、大小計(jì)算、方向判斷以及功能分析、能量轉(zhuǎn)換與守恒應(yīng)用等等一系列問題。請(qǐng)讀者看下面的典型例題的解決過程。

[例題1]（’04江蘇）如圖—1所示，一個(gè)有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外．一個(gè)矩形閉合導(dǎo)線框abcd，沿紙面由位置1(左)勻速運(yùn)動(dòng)到位置2(右)．則

   (A)導(dǎo)線框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，感應(yīng)電流方向?yàn)?/span>a→b→c→d→a

   (B)導(dǎo)線框離開磁場(chǎng)時(shí)，感應(yīng)電流方向?yàn)?/span>a→d→c→b→a

   (C)導(dǎo)線框離開磁場(chǎng)時(shí)，受到的安培力方向水平向右

   (D)導(dǎo)線框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)．受到的安培力方向水平向左

[解析]首先，當(dāng)導(dǎo)線框“進(jìn)入”磁場(chǎng)時(shí)，由“依據(jù)”㈠、㈢（右手定則）可知，動(dòng)生（或感應(yīng)）電流沿順時(shí)針方向；“離開”時(shí)，則沿逆時(shí)針方向。故知選項(xiàng)A、B均錯(cuò)。

然后，由依據(jù)㈤（即“進(jìn)推出拉”規(guī)律）（或左手定則），可判斷“進(jìn)入”時(shí)，安培力向左；“離開”時(shí)亦向左。故知選項(xiàng)C錯(cuò)而D對(duì)。

因此，本題答案為：D。

[點(diǎn)撥]應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，左手定則判“受力”，右手定則斷“感電”；無論磁場(chǎng)、感應(yīng)電流方向如何，因而“切導(dǎo)”所受安培力總與為運(yùn)動(dòng)“阻力”。

[例題2] （’05全國Ⅰ）圖中兩條平行虛線之間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，虛線間的距離為l，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里。abcd是位于紙面內(nèi)的梯形線圈，ad與bc間的距離也為l。t=0時(shí)刻，bc邊與磁場(chǎng)區(qū)域邊界重合（如圖）。現(xiàn)令線圈以恒定的速度v沿垂直于磁場(chǎng)區(qū)域邊界的方向穿過磁場(chǎng)區(qū)域。取沿a→b→c→d→a的感應(yīng)電流為正，則在線圈穿越磁場(chǎng)區(qū)域的過程中，感應(yīng)電流I隨時(shí)間t變化的圖線可能是（    ）

[解析]首先，設(shè)梯形線圈的左底邊長為l₀，分析水平向右勻速“進(jìn)入”、“離開“磁場(chǎng)時(shí)，易知其“有效長度”均為

其中。再設(shè)線圈電阻為R，由依據(jù)㈡⑵、歐姆定律可得電流大小

顯然，I為t的一次函數(shù)，隨時(shí)間增大而均勻增大。

然后，應(yīng)用依據(jù)㈢，可知線圈“進(jìn)入”則電流為負(fù)；“離開”則為正。

綜上所述，可知本題答案為：B。

[例題3]（’07全國Ⅰ）如圖—4所示，LOO^/L^/為一折線，它所形成的兩個(gè)角∠LOO^/和∠OO^/L^/均為45°。折線的右邊有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)。其方向垂直于紙面向里。一邊長為l的正方形導(dǎo)線框沿垂直于OO^/的方向以速度v作勻速直線運(yùn)動(dòng)，在t＝0的刻恰好位于圖中所示位置。以逆時(shí)針方向?yàn)閷?dǎo)線框中電流的正方向，在上面四幅圖中能夠正確表示電流-時(shí)（I-t）關(guān)系的是（時(shí)間以I/v為單位）

[解析]首先，正方形導(dǎo)線框在三段連續(xù)相等的時(shí)間內(nèi)，其“有效長度”經(jīng)歷先增大至最大而迅即為零、后增至最大、再后由最大減小為零等非連續(xù)“均勻變化”過程。又由于“磁強(qiáng)”B、速度v等均未改變。由依據(jù)㈠、㈡，可知該切導(dǎo)回路的電動(dòng)勢(shì)的大小亦隨之做類似變化。

然后，再應(yīng)用依據(jù)㈢(右手定則)可知，電流方向經(jīng)歷先正、后負(fù)、再后亦負(fù)的變化過程。

因此，本題答案為：D。         

[點(diǎn)撥]由例2、3解析可見，對(duì)勻強(qiáng)磁場(chǎng)中切導(dǎo)回路而言，欲求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小，先須求出回路的“有效長度”。

[例題4]（’00全國）空間存在以ab、cd為邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向外，區(qū)域?qū)挒?/span>l₁?，F(xiàn)有一矩框處在圖中紙面內(nèi)，它的短邊與ab重合，長度為l₂，長邊的長度為2 l₁，如圖—5所示，某時(shí)刻線框以初速v沿與ab垂直的方向進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，同時(shí)某人對(duì)線框施以作用力，使它的速度大小和方向保持不變。設(shè)該線框的電阻為R。從線框開始進(jìn)入磁場(chǎng)到完全離開磁場(chǎng)的過程中，人對(duì)線框作用力所做的功等于___________________。

[解析]首先，顯見切導(dǎo)回路的有效切割長度為l₂,切割運(yùn)動(dòng)的實(shí)際位移為2l₁。從而，由“依據(jù)”㈡⑵、歐姆定律和安培力公式得

已知線框作勻速直線運(yùn)動(dòng)，因而其水平方向受力平衡，亦即人對(duì)線框作用力與安培力的“等大反向”，人對(duì)線框作用力所做的功大小等于安培力所做的功。設(shè)人所做的功為W。從而，可得

[點(diǎn)撥]前已說明，安培力總為“切導(dǎo)”運(yùn)動(dòng)的阻力；進(jìn)而指出，安培力做功必定消耗系統(tǒng)的機(jī)械能（或曰電能），而此能量的減小表現(xiàn)為等量的熱損耗。

[例題5]（’06上海）如圖—6所示，將邊長為a、質(zhì)量為m、電阻為R的正方形導(dǎo)線框豎直向上拋出，穿過寬度為b、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直紙面向里．線框向上離開磁場(chǎng)時(shí)的速度剛好是進(jìn)人磁場(chǎng)時(shí)速度的一半，線框離開磁場(chǎng)后繼續(xù)上升一段高度，然后落下并勻速進(jìn)人磁場(chǎng)。整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終存在著大小恒定的空氣阻力f且線框不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。求： 

⑴線框在下落階段勻速進(jìn)人磁場(chǎng)時(shí)的速度v₂； 

⑵線框在上升階段剛離開磁場(chǎng)時(shí)的速度v₁； 

⑶線框在上升階段通過磁場(chǎng)過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q。

[解析]⑴首先，線框之所以在下落階段勻速進(jìn)入，一定是在豎直方向受力平衡。從而，則有

由此解得        

⑵其次，在線框離開磁場(chǎng)的上升階段、下落階段，由動(dòng)能定理可得

聯(lián)立①②③式，即可求出

⑶然后，已知線框穿越磁場(chǎng)進(jìn)入、離開時(shí)的速度分別為v₁、v₂。從而，由功能關(guān)系可得

聯(lián)立④⑤⑥式，我們即可求出線框在上升階段通過磁場(chǎng)過程中產(chǎn)生的焦耳熱

    [點(diǎn)撥]應(yīng)該說明，在討論“切導(dǎo)”在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的受力、運(yùn)動(dòng)、功能等三種分析是完全必要的。由解析可見，動(dòng)能定理、功能關(guān)系在這里起了至關(guān)重要的作用。

[例題6]（’07重慶）t=0時(shí)，磁場(chǎng)在xOy平面內(nèi)的分布如題—7圖所示。其磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小均為B₀，方向垂直于xOy平面，相鄰磁場(chǎng)區(qū)域的磁場(chǎng)方向相反。每個(gè)同向磁場(chǎng)區(qū)域的寬度均為l₀。整個(gè)磁場(chǎng)以速度v沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)。

⑴若在磁場(chǎng)所在區(qū)間，xOy平面內(nèi)放置一由a匝線圈串聯(lián)而成的矩形導(dǎo)線框abcd，線框的bc邊平行于x軸。bc=l₀、ab=L，總電阻為R，線框始終保持靜止。求

①線框中產(chǎn)生的總電動(dòng)勢(shì)大小和導(dǎo)線中的電流大?。?/span>

②線框所受安培力的大小和方向。

⑵該運(yùn)動(dòng)的磁場(chǎng)可視為沿x軸傳播的波，設(shè)垂直于紙面向外的磁場(chǎng)方向?yàn)檎嫵?/span>L=0時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度的波形圖，并求波長和頻率f。

[解析] ⑴ ①首先，已知切割磁感線的速度為v,由依據(jù)㈡任意時(shí)刻線框中電動(dòng)勢(shì)大小        

再由歐姆定律，即可求出導(dǎo)線中的電流大小

②其次，應(yīng)用安培力公式可得線框所受安培力F的大小

再由左手定則判斷，線框所受安培力的方向始終沿x軸正方向.

⑵然后，由波的知識(shí)可知，磁感應(yīng)強(qiáng)度的波長和頻率分別為

不難畫出t=0時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度的波形圖如圖—8所示。

[點(diǎn)撥]在切導(dǎo)于磁場(chǎng)中平動(dòng)的問題中，其所受安培力的大小，往往有 的表達(dá)形式，只不過在這里有效長度擴(kuò)大了兩倍而已。第⑵小題顯然應(yīng)用了波長、波速和頻率的關(guān)系式。

[例題7]（’07江蘇）如圖—9所示，空間等間距分布著水平方向的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，豎直方向磁場(chǎng)區(qū)域足夠長，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝１Ｔ，每一條形磁場(chǎng)區(qū)域的寬度及相鄰條形磁場(chǎng)區(qū)域的間距均為d=0.5m，現(xiàn)有一邊長l=0.2m、質(zhì)量m=0.1kg、電阻Ｒ＝0.1Ω的正方形線框ＭＮＯＰ以v₀=7m/s的初速從左側(cè)磁場(chǎng)邊緣水平進(jìn)入磁場(chǎng)，求

⑴線框ＭＮ邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)受到安培力的大小Ｆ。

⑵線框從開始進(jìn)入磁場(chǎng)到豎直下落的過程中產(chǎn)生的焦耳熱Ｑ。

⑶線框能穿過的完整條形磁場(chǎng)區(qū)域的個(gè)數(shù)n。

[解析] ⑴首先，分析可知當(dāng)線框MN邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域做切割磁感線運(yùn)動(dòng)時(shí)，線框MN邊中必定產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)、動(dòng)生電流。從而，由“依據(jù)”㈡⑵、歐姆定律、安培力公式可得

     聯(lián)立①②③式，代如已知數(shù)據(jù)，即可求出此時(shí)受到安培力的大小

⑵其次，在線框從開始進(jìn)入磁場(chǎng)到豎直下落的過程中，重力做正功而電能轉(zhuǎn)變?yōu)殡姛帷?/span>設(shè)線框豎直下落時(shí)，線框下落了h，速度為v_t，從而由自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律、功能關(guān)系可得

聯(lián)立④⑤式，可求出過程中產(chǎn)生的焦耳熱為

⑶然后，由于只有在線框進(jìn)入和穿出條形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，才產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。從而，由“依據(jù)”㈡⑵、歐姆定律和安培力公式，可得線框部分進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域x時(shí)所受的安培力為

由此可見，安培力是速度的函數(shù)。欲求穿過的完整條形磁場(chǎng)區(qū)域的個(gè)數(shù)n,嘗試在t→t+△t時(shí)間內(nèi)應(yīng)用動(dòng)量定理。由此，可得

以后，在時(shí)間t或磁場(chǎng)區(qū)域x內(nèi)，對(duì)②式求和可得

由③式即可解得

顯然       

最后代入已知數(shù)據(jù)，我們可以求出

即線框能穿過的完整條形磁場(chǎng)區(qū)域的個(gè)數(shù)為4個(gè)。

[點(diǎn)撥]此例應(yīng)為一道力、熱、電綜合性極強(qiáng)、難度亦較大的高考試題，屬于此類問題中的佼佼者。動(dòng)量定理的必要、巧妙的引入和應(yīng)用，令人開擴(kuò)眼界和痛感欣慰。若換一方式，從討論線框穿過第1個(gè)條形磁場(chǎng)過程入手。先取其平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為，類似地，可得平均力的沖量。顯然，平均力沖量是恒量，與穿越時(shí)間無關(guān)。依次類推，穿越n個(gè)條形磁場(chǎng)則皆然。從而，由動(dòng)量定理得。進(jìn)而可求出相同的結(jié)果。

                                            (2017-08-04  經(jīng)典重發(fā))