本文是“萬有引力”與“衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)”的計(jì)算題部分，解決此類問題需具有較強(qiáng)分析問題的能力和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)工具的能力。

一、破解依據(jù)

㈥ 同步衛(wèi)星：

⑴線速度；

⑵角速度；

⑶周期；

⑷向心加速度；

⑸軌道半徑；

⑹對(duì)地高度；

㈦萬有引力與重力：⑴地面上的物體，引力為；向心力；重力。其中，為地面某點(diǎn)的緯度。⑵同緯度、高空中的物體，，不計(jì)自轉(zhuǎn)，引力等于重力，且隨高度增加而增大。

㈧功能關(guān)系：衛(wèi)星軌道半徑（或高度）增加，由于克服引力做功，因而動(dòng)能減少；反之則反。不計(jì)發(fā)射過程由于大氣阻力所致能量損失，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。

二、精選例題

㈢計(jì)算題

[例題16]（03天津）中子星是恒星演化過程的一種可能結(jié)果，它的密度很大?，F(xiàn)有一中子星，觀測(cè)到它的自轉(zhuǎn)周期為T=。向該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該星體的穩(wěn)定因自轉(zhuǎn)而瓦解。計(jì)算時(shí)星體可視為均勻球體。（引力常數(shù)G=6.67×10^－11m3/）

[例題17]（04廣東）某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠(yuǎn)鏡觀察被太陽光照射的此衛(wèi)星，試問，春分那天（太陽光直射赤道）在日落12小時(shí)內(nèi)有多長(zhǎng)時(shí)間該觀察者看不見此衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g,地球自轉(zhuǎn)周期為T，不考慮大氣對(duì)光的折射。

[例題18]（06江蘇）如圖所示，A是地球的同步衛(wèi)星。另一衛(wèi)星B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為h。已知地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)角速度為_o，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心。                   

（1）求衛(wèi)星B的運(yùn)行周期。

（2）如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時(shí)刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（O、B、A在同一直線上），則至少經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，他們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱?/span>

[例題19]（07上海物理）宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時(shí)間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時(shí)間5t小球落回原處。（取地球表面重力加速度g＝10m/s²，空氣阻力不計(jì)）

（1）求該星球表面附近的重力加速度g’；

（2）已知該星球的半徑與地球半徑之比為R_星:R_地＝1:4，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M_星:M_地。

[例題20](04浙江)在勇氣號(hào)火星探測(cè)器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經(jīng)過多次彈跳才停下來。假設(shè)著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)高度為h，速度方向是水平的，速度大小為υ₀，求它第二次落到火星表面時(shí)速度的大小，計(jì)算時(shí)不計(jì)大氣阻力。已知火星的一個(gè)衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期為T?；鹦强梢暈榘霃綖?/span>r₀的均勻球體。

[例題21]（07廣東物理）土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運(yùn)動(dòng)可視為圓周運(yùn)動(dòng)。其中有兩個(gè)巖石顆粒A和B與土星中心距離分別為r_A＝8.0×10⁴ km和r _B＝1.2×10⁵ km。忽略所有巖石顆粒間的相互作用。（結(jié)果可用根式表示）

⑴求巖石顆粒A和B的線速度之比；

⑵求巖石顆粒A和B的周期之比；

⑶土星探測(cè)器上有一物體，在地球上重為10 N，推算出他在距土星中心3.2×10⁵ km處受到土星的引力為0.38 N。已知地球半徑為6.4×10³ km，請(qǐng)估算土星質(zhì)量是地球質(zhì)量的多少倍？

[例題22]（06廣東物理）宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其它星體對(duì)它們的引力作用。已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行。設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為。

（1）試求第一種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的線速度和周期。

（2）假設(shè)兩種形式星體的運(yùn)動(dòng)周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少？

[例題23]（06天津）神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成。兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見星A的速率和運(yùn)行周期T。

（1）可見星A所受暗星B的引力可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為、，試求（用、表示）；

（2）求暗星B的質(zhì)量與可見星A的速率、運(yùn)行周期T和質(zhì)量之間的關(guān)系式；

（3）恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見星A的速率，運(yùn)行周期，質(zhì)量，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？

（）

[例題24]（08寧夏）天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱為雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍。利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動(dòng)特征可推算出它們的總質(zhì)量。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期均為T，兩顆恒星之間的距離為r，試推算這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。（引力常量為G）

[例題25]（08全國(guó)Ⅱ）我國(guó)發(fā)射的“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿近似于圓形的軌道繞月飛行。為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化。衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號(hào)發(fā)回地球。設(shè)地球和月球的質(zhì)量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R₁，月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為r和r₁，月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T。假定在衛(wèi)星繞月運(yùn)行的一個(gè)周期內(nèi)衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號(hào)因月球遮擋而不能到達(dá)地球的時(shí)間（用M、m、R、R₁、r、r₁和T表示，忽略月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)遮擋時(shí)間的影響）。

[例題26]（09天津）2008年12月，天文學(xué)家們通過觀測(cè)的數(shù)據(jù)確認(rèn)了銀河系中央的黑洞“人馬座A*”的質(zhì)量與太陽質(zhì)量的倍數(shù)關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)，有一星體S₂繞人馬座A*做橢圓運(yùn)動(dòng)，其軌道半長(zhǎng)軸為9.5010²天文單位（地球公轉(zhuǎn)軌道的半徑為一個(gè)天文單位），人馬座A*就處在該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。觀測(cè)得到S₂星的運(yùn)行周期為15.2年。

(1)    若將S₂星的運(yùn)行軌道視為半徑r=9.5010²天文單位的圓軌道，試估算人馬座A*的質(zhì)量M_A是太陽質(zhì)量M_s的多少倍(結(jié)果保留一位有效數(shù)字)；

(2)    黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運(yùn)動(dòng)，其具有的動(dòng)能也不足以克服黑洞對(duì)它的引力束縛。由于引力的作用，黑洞表面處質(zhì)量為m的粒子具有勢(shì)能為E_p=-G(設(shè)粒子在離黑洞無限遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零)，式中M、R分別表示黑洞的質(zhì)量和半徑。已知引力常量G=6.710^-11N·m²/kg²，光速c=3.010⁸m/s，太陽質(zhì)量M_s=2.010³⁰kg，太陽半徑R_s=7.010⁸m，不考慮相對(duì)論效應(yīng)，利用上問結(jié)果，在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)求人馬座A*的半徑R_A與太陽半徑之比應(yīng)小于多少（結(jié)果按四舍五入保留整數(shù)）。

    [例題27]（2009全國(guó)Ⅱ）如圖，P、Q為某地區(qū)水平地面上的兩點(diǎn)，在P點(diǎn)正下方一球形區(qū)域內(nèi)儲(chǔ)藏有石油，假定區(qū)域周圍巖石均勻分布，密度為；石油密度遠(yuǎn)小于，可將上述球形區(qū)域視為空腔。如果沒有這一空腔，則該地區(qū)重力加速度（正常值）沿豎直方向；當(dāng)存在空腔時(shí)，該地區(qū)重力加速度的大小和方向會(huì)與正常情況有微小偏高。重力加速度在原堅(jiān)直方向（即PO方向）上的投影相對(duì)于正常值的偏離叫做“重力加速度反常”。為了探尋石油區(qū)域的位置和石油儲(chǔ)量，常利用P點(diǎn)附近重力加速度反?，F(xiàn)象。已知引力常數(shù)為G。

⑴設(shè)球形空腔體積為V，球心深度為d（遠(yuǎn)小于地球半徑），=x，求空腔所引起的Q點(diǎn)處的重力加速度反常

⑵若在水平地面上半徑L的范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)：重力加速度反常值在與（k>1）之間變

  化，且重力加速度反常的最大值出現(xiàn)在半為L的范圍的中心,如果這種反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積。

三、參考答案

⒗[解析]考慮中子是赤道外一塊物質(zhì)，只有當(dāng)它受到的萬有引力大于或等于它隨星體所需的向心力時(shí)，中子星才不會(huì)瓦解。

    設(shè)中子星的密度為，質(zhì)量為M ，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為，位于赤道處的小塊物

為m，則有

                   -----① 

  ---------②  

------③

 由以上各式得 

                    --------④ 

代入數(shù)據(jù)解得       

⒘[解析]設(shè)所求的時(shí)間為t，用m、M分別表示衛(wèi)星和地球的質(zhì)量，r表示衛(wèi)星到地心的距離，有：

---------①

     春分時(shí)，如圖所示，圓E表示軌道，S表示衛(wèi)星，A表示觀察者，O表示地心，由圖可以看出當(dāng)衛(wèi)星S繞地心O轉(zhuǎn)到圖示位置以后（設(shè)地球自轉(zhuǎn)是沿圖中逆時(shí)針方向），其正下方的觀察者將看不見它，據(jù)此再考慮對(duì)稱性，有

 ----------②

----------- --③

--------- ④

由以上各式解得      

⒙[解析]由萬有引力定律和向心力公式得

聯(lián)立①②得          

（2）由題意得       (ω_B-ω₀) t =2π  -----------------------④

由③得     

代入④得        

⒚[解析] （1）t＝，所以g’＝g＝2m/s²，

（2）g＝/，所以M＝，可解得

M_星:M_地＝1′1²:5′4²＝1:80

⒛ [解析]我們不難列出以下四式
GMrm₀₂′ = m′g′  ----------- ---------①          

GMrm₂ = m( 2π  )²r  -----------②
υ₁² =2 g′h                     ----------------③            

 υ = √υ₁² +υ₀²  -- --------------④

聯(lián)立可得         υ =√8π²₂h r₀² r³ +υ₀²                

21.[解析]⑴設(shè)土星質(zhì)量為M₀，顆粒質(zhì)量為m，顆粒距土星中心距離為r，線速度為v，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得 

由此解出               

對(duì)于A、B兩顆粒分別得

和

進(jìn)而得到             

⑵設(shè)顆粒繞土星作圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，則：

對(duì)于A、B兩顆粒分別得

和 

從而可得         

⑶設(shè)地球質(zhì)量為M，地球半徑為r₀，地球上物體的重力可視為萬有引力，探測(cè)器上物體質(zhì)量為m₀，在地球表面重力為G₀，距土星中心r₀^/＝3.2×10⁵ km處的引力為G₀^/，根據(jù)萬有引力定律：

由此解得             

    22.[解析]（1）對(duì)于第一種運(yùn)動(dòng)情況，以某個(gè)運(yùn)動(dòng)星體為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律有：

F₁=，  F₂=---------------①

F₁+F₂=mv²/R ------------------------------ ②                                                               

運(yùn)動(dòng)星體的線速度       v=                                          

周期為T，則得

T= -------------------------- ③

T=4π. ---------------------④

(2)設(shè)第二種形式星體之間的距離為r，則三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為

R′= ---------------------- ⑤

由于星體做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力靠其它兩個(gè)星體的萬有引力的合力提供.由力的合成和牛頓運(yùn)動(dòng)定律得

F_合=--------⑥                                           

F_合=mR′---------------- ⑦

由④⑤⑥⑦式得

r=R.

23. [解析]（1）設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為、，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，設(shè)其為。由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可得

設(shè)A、B之間的距離為，又，由上述各式得

------------①   

由萬有引力定律，則有

，

將①代入得

令     比較可得

 -------------------②

（2）由牛頓第二定律，則有

----------- ③

星A的軌道半徑 

 -------------------- ④

由②③④式解得--------  ⑤

（3）將代入⑤式，得

代入數(shù)據(jù)得

------------ ⑥

設(shè)，將其代入⑥式，得

------- ⑦

可見，的值隨的增大而增大，試令，得

 ------------------------------------⑧

若使⑦式成立，則必大于2，即暗星B的質(zhì)量必大于2，由此得出結(jié)論：暗星B有可能是黑洞。

24. [解析]設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m₁、m₂，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r₁、r₂，角速度分別為w₁,w₂。根據(jù)題意有

                            w₁=w₂-----------------------------①

                                                        r₁+r₂=r-----------------------------②

根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律，有

                            G---------------③

G----------------------④

聯(lián)立以上各式解得

-----------------------------⑤

根據(jù)解速度與周期的關(guān)系知

                            -----------------------------⑥

聯(lián)立③⑤⑥式解得

25. [解析]如圖，O和O^/分別表示地球和月球的中心。在衛(wèi)星軌道平面上，A是地月連心線OO^/與地月球面的公切線ACD的交點(diǎn)，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛(wèi)星圓軌道的交點(diǎn)。根據(jù)對(duì)稱性，過A點(diǎn)在另一側(cè)作地月球面的公切線，交衛(wèi)星軌道于E點(diǎn)。衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)出的信號(hào)被遮擋。

設(shè)探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m0，萬有引力常量為G，根據(jù)萬有引力定律有

 ----------------------- ①

 -------------------- ②

式中，T₁是探月衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期。由①②式得

              ----------------------------- ③

設(shè)衛(wèi)星的微波信號(hào)被遮擋的時(shí)間為t，則由于衛(wèi)星繞月做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)有

              ------------------------------------ ④

式中， ，    。由幾何關(guān)系得

          ------------------------------------- ⑤

           ------------------------------------------⑥

由③④⑤⑥式得

  --------------------⑦

注：的也同樣給分。

    26．[解析] （1）S2星繞人馬座A^*做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由人馬座A^*對(duì)S2星的萬有引力提供，設(shè)S2星的質(zhì)量為m_S2，角速度為ω，周期為T，則

                  ------------------- ①

                 ------------------------------------- ②

設(shè)地球質(zhì)量為m_E，公轉(zhuǎn)軌道半徑為r_E，周期為T_E，則

                  ------------------------- ③

綜合上述三式得

 -------------------------④                           

       在④式中T_E=1年 , r_E=1天文單位。代入數(shù)據(jù)可得                                            

                 --------------------------   ⑤                                       

       （2）引力對(duì)粒子作用不到的地方即為無限遠(yuǎn)，此時(shí)料子的勢(shì)能為零。“處于黑洞表面的粒子即使以光速運(yùn)動(dòng)，其具有的動(dòng)能也不足以克服黑洞對(duì)它的引力束縛”，說明了黑洞表面處以光速運(yùn)動(dòng)的粒子在遠(yuǎn)離黑洞的過程中克服引力做功，粒子在到達(dá)無限遠(yuǎn)之前，其動(dòng)能便減小為零，此時(shí)勢(shì)能仍為負(fù)值，則其能量總和小于零，則有

                  --------------- ⑥                                     

依題意可知，，從而

                  --------------------- ⑦                                         

代入數(shù)據(jù)可得     ----------------- ⑧

        已知，即可求出          

----------------------  ⑨ 

注：本題考查天體運(yùn)動(dòng)的知識(shí)。其中第2小題為信息題，如“黑洞”“引力勢(shì)能”等陌生的知識(shí)都在題目中給出，考查學(xué)生提取信息，處理信息的能力，體現(xiàn)了能力立意。                                        

    27．[解析] (1)本題考查萬有引力部分的知識(shí)。如果將近地表的球形空腔填滿密度為的巖石,則該地區(qū)重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反?？赏ㄟ^填充后的球形區(qū)域產(chǎn)生的附加引力為

………①

式中的m是Q點(diǎn)處某質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量,M是填充后球形區(qū)域的質(zhì)量,而

……………②

顯然，r指球形空腔中心O至Q點(diǎn)的距離

………③

若以表示由于存在球形空腔所引起的Q點(diǎn)處重力加速度改變的大小.Q點(diǎn)處重力加速度改變的方向沿OQ方向,則重力加速度反常是這一改變?cè)谪Q直方向上的投影                                                               
                     ………④

聯(lián)立①②③④式得

,…………⑤

(2)由⑤式得,重力加速度反常的最大值和最小值分別為

……⑥

…………⑦

由題設(shè)有         ……………⑧

……⑨

聯(lián)立以上⑥⑦⑧⑨,即可求出地下球形空腔球心的深度和空腔的體積

,。