阿波羅尼斯（Apollonius）圓，簡稱阿氏圓。
[編輯本段]定義
　　在平面上給定相異兩點A、B，設P點在同一平面上且滿足PA/PB= λ， 當λ>0且λ≠1時，P點的軌跡是個圓，這個圓我們稱作阿波羅尼斯圓。這個結論稱作阿波羅尼斯軌跡定理。設M、N分別為線段AB按定比λ分割的內分點和外分點，則MN為阿波羅尼斯圓的直徑，且MN=［２λ／（λ^2-1）］AB。
[編輯本段]證明
　　我們可以通過公式推導出AN的長度：AN:BN＝AP:BP ，其中BN=AN+AB，所以AN:(AN+AB)＝AP:BP=>AN=AP×AB÷(BP-AP)，以NP為直徑的圓就是我們所求的軌跡圓。
[編輯本段]性質
　　由阿波羅尼斯圓可得阿波羅尼斯定理，即：
　　設三角形的三邊和三中線分別為a、b、c、ma(a為下標，下同）、mb、mc，則有以下關系： 
　　b^2+c^2=a^2/2+2ma^2； 
　　c^2+a^2=b^2/2+2mb^2； 
　　a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。

阿波羅尼斯圓：一動點P與兩定點A、B的距離之比等于定比m：n，則點P的軌跡，是以定比m：n內分和外分定線段的兩個分點的連線為直徑的圓。
這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓。
這個定理的證明方法很多。下面是筆者的分析與證明，希望讀者喜歡。
如圖，P是平面上一動點，A、B是兩定點，PA∶PB＝ m∶n ，M是AB的內分點（M在線段AB上），N是AB的外分點（N在AB的延長線上）且
AM∶MB＝AN∶NB＝m∶n，則P點的軌跡是以MN為直徑的圓。
下面先證明兩個定理：
一、如圖一，已知M是BC上一點，且AB∶AC＝BM∶MC，
求證：AM平分∠BAC（三角形內角平分線定理的逆定理）
證明：過C點作CD∥AM交BA的延長線于D，則AB∶AD＝BM∶MC
∵AB∶AC＝BM∶MC，∴AB∶AD ＝AB∶AC，∴AC＝AD，
∴∠D＝∠3，∵CD∥AM，∴∠1＝∠D，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AM平分∠BAC。
二、如圖二，N是BC延長線上一點，BN∶CN＝AB∶AC，求證：AN平分∠BAC的鄰補角∠EAC
證明：∵CD∥AN交AB于D，則BN∶CN＝AB∶AD，∵BN∶CN＝AB∶AC，∴AB∶AD＝AB∶AC，AD＝AC，∴∠3＝∠4，∵DC∥AN，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴AN平分∠BAC的鄰補角∠EAC
有了上面的證明，阿波羅尼斯圓定理的證明就不難了，證明如下：


連結PM、PN，∵M為AB的內分點， PA∶PB＝AM∶MB ＝m∶n，∴PM平分∠APB
∵N為AB的外分點，AN∶BN＝PA∶PB ＝m∶n，∴PN平分∠BPE，
∵∠APB＋∠BPE＝180o，又∠2＝∠APB/2，∠3＝∠BPE/2，
∴∠2＋∠3＝（∠APB＋∠BPE）/2
即∠MPN＝90o，∴動點P到MN的中點O的距離等于MN（定值）的一半（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），點P的軌跡，是以定比m：n內分和外分定線段AB的兩個分點的連線為直徑的圓

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