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私募工場，私募FOF基地 關(guān)于私募工場（ID：simugongchang） 來源： 編輯：私募工場，轉(zhuǎn)載請聯(lián)系客服，了解轉(zhuǎn)載方式 第 7 章 - 隨機(jī)微分方程
官方定義： A stochastic differential equation (SDE) is essentially an ordinary differential equation (ODE) in which at least one of the terms is a stochastic process. 定義的不錯(cuò)。
隨機(jī)微分方程 (SDE) 就是常微分方程 (ODE) 加個(gè)隨機(jī)過程。
7.1 伊藤公式和隨機(jī)微分方程
回到小節(jié) 6.1，下表給出 ODE 和 SDE 的方程形式和解。兩者唯一區(qū)別就是紅色標(biāo)記的隨機(jī)項(xiàng)。 對于隨機(jī)微分方程，dt 前面的項(xiàng)叫做漂移項(xiàng) (drift term)，dB(t) 前面的項(xiàng)叫做擴(kuò)散項(xiàng) (diffusion term)。嚴(yán)格來說，布朗運(yùn)動(dòng) B(t) 處處不可導(dǎo)因此 dB(t) 實(shí)際上不存在，我們定義 dB(t) 是組成隨機(jī)過程的最基本元素。在應(yīng)用中我們可以忽略這些技術(shù)性細(xì)節(jié)，只記住伊藤公式可以幫我們解好多隨機(jī)微分方程。例子如下： dX(t) = X(t)dB(t) 令 f(x) = ln(x)，用伊藤公式 7.2 一般線性隨機(jī)微分方程
一般線性 (generic linear) 隨機(jī)微分方程的形式和解為：
證明有些冗長因此略去，這個(gè)一般線性隨機(jī)微分方程解的強(qiáng)大之處是，對于大部分金融模型，比如股票類 Black-Scholes 模型，利率類 Vasicek 模型和商品類 Schwartz 模型等等，它都給給出解析解。
這三種模型 (按 Black-Scholes, Vasicek 和 Schwartz 的順序) 的 SDE 為 前兩個(gè) SDE 都符合般線性隨機(jī)微分方程形式，最后一個(gè) SDE 不符合，因?yàn)槔锩娉霈F(xiàn)了 lnC(t)，但是根據(jù)伊藤公式求 dlnC(t) 得 類比三個(gè)模型 SDE 和一般線性 SDE 的 α(t), β(t), γ(t) 和 δ(t)，再代入 U(t) 和 V(t) 的表達(dá)式可得下表： 7.3 鞅和隨機(jī)微分方程
根據(jù)鞅表示 (martingale representation) 定理，如果 M(t) 是一個(gè)鞅，那么存在一個(gè)伊藤過程 H(t) 使得 從 M(t) 的微分表達(dá)形式可看出，在某個(gè)概率測度下，如果一個(gè)隨機(jī)變量是鞅，那么它的隨機(jī)微分方程的漂移項(xiàng)為零！
這個(gè)結(jié)果有很多應(yīng)用，下面給出一個(gè)最常見的應(yīng)用：為什么一個(gè)不付紅利 (dividend) 的股票 S(t) 的 SDE 在風(fēng)險(xiǎn)中性測度 Q 下的漂移項(xiàng)系數(shù)是 r？ 假設(shè)在測度 Q 下 S(t) 的 SDE 可寫成
dS(t) = aS(t)dt + bS(t)dB(t)
根據(jù)上篇 4.2 小節(jié)最后的結(jié)論，測度 Q 下的等價(jià)物是活期存款 β(t)，其 SDE 為 dβ(t) = rβ(t)dt => β(t) = β(0)ert = ert 那么S(t)/β(t) 在測度 Q 是鞅，因此其 SDE 的漂移項(xiàng)為零。根據(jù) 6.3 小節(jié)的乘法原則結(jié)果可得 顯然漂移項(xiàng)為零可推出 a 等于 r，證畢。 最后給出 S(t) 在風(fēng)險(xiǎn)中性測度 Q 和真實(shí)測度 P 下的 SDE： dS(t) = rS(t)dt + bS(t)dBQ(t) dS(t) = μS(t)dt + bS(t)dBP(t) 從上面兩個(gè) SDE 可看出
第 8 章 - 有限差分方法
官方定義：Finite difference methods (FDM) are numerical methods for solving differential equations by approximating them with difference equations, in which finite differences approximate the derivatives.
定義的不錯(cuò)。
有限差分法是一種微分方程 (常微分或者偏微分) 數(shù)值方法，是通過有限差分來近似導(dǎo)數(shù)，從而尋求微分方程的近似解。在量化金融中，由于一個(gè)金融產(chǎn)品的價(jià)值是至少和其原生資產(chǎn) (變量1) 和時(shí)間 (變量2) 有關(guān)，因此該金融產(chǎn)品對應(yīng)的微分方程 (先別管它具體形式) 一定含有偏導(dǎo)數(shù) (因?yàn)橹辽儆?2 個(gè)變量) 從而是偏微分方程 (partial differential equation, PDE)。基于以上原因，本章的有限差分方法是適用在偏微分方程上。關(guān)于私募工場（ID：simugongchang）首先如何得到它？用費(fèi)曼卡茲定理！由于篇幅問題，本章只討論一維 PDE 的有限差分方法。 8.1 費(fèi)曼卡茲定理
費(fèi)曼卡茲定理 (Feynman-Kac theorem) 是隨機(jī)微分方程 (SDE) 和偏微分方程(PDE) 的紐帶。通常對于一個(gè)金融衍生品 V，已知
我們用費(fèi)曼卡茲定理可以推出 V 的偏微分方程。
我知道很多大學(xué)學(xué)過量化金融的同學(xué)每次推導(dǎo) V 的偏微分方程的做法，步驟總結(jié)如下：
對于上面牛逼烘烘的步驟，我只想說每次這樣推累不累啊，有個(gè)一步到位的方法 (費(fèi)曼卡茲定理) 想不想知道?。?/span> 因?yàn)樵摱ɡ硖烂?，我認(rèn)為還是有必要寫寫其證明過程的。證明所需的三個(gè)引理和一個(gè)假設(shè)：
根據(jù)引理 a 可得 構(gòu)建變量 Y(t) = e-rt ?V(t) 是個(gè)鞅，證明如下，當(dāng) s < t="">
上式用到的重復(fù)預(yù)期法則也就是塔性質(zhì) (tower property)，直觀的理解就是當(dāng)你求 50 個(gè)數(shù)的均值，你可以 i)先分成 10 堆求每堆 5 個(gè)數(shù)的均值，再求這 10 個(gè)平均數(shù)的均值，或 ii)直接求這 50 個(gè)數(shù)的均值。 再根據(jù)引理 b，對 Y(t) 使用伊藤公式
最后根據(jù)引理 c，dY(t) 的漂移項(xiàng)為零，將 dt 項(xiàng)前面系數(shù)設(shè)為零可得
衍生品 V(t, x) 是關(guān)于時(shí)間變量 t 和空間變量 x 的函數(shù)，之后幾節(jié)的內(nèi)容為：
8.2 方程解域和網(wǎng)格
給定偏微分方程，第一件事就是定下它的解域，因?yàn)槟悴豢赡芮蟪鏊跓o限域的解。金融產(chǎn)品一般都會(huì)有個(gè)有限的到期日 T，而原生資產(chǎn) x 值也應(yīng)該有個(gè)范圍。一般解域定義成 0 ≤ t ≤ T 和xmin ≤ x ≤ xmax。對 x 的上下界通常用兩種方法來確定。
確定解域之后，下步就該建立網(wǎng)格，分為等距網(wǎng)格 (equidistant grids) 和不等距網(wǎng)格 (non-equidistant grids)。
為了使得符號(hào)表達(dá)更簡潔，我們在后面一直用等距網(wǎng)格。但有的時(shí)候不等距網(wǎng)格能提高運(yùn)算效率，比如在 Heston 模型中，我們知道波動(dòng)率維度的變量集中在 0 附近，因此在 0 點(diǎn)附近點(diǎn)會(huì)打的密集些。 8.3 終值與邊界條件
在 tn= T 處施加終值條件 V(T, x) = g(x)，這很簡單因?yàn)橐粋€(gè)金融產(chǎn)品到期日的支付函數(shù)都會(huì)清楚的寫在交易合約里面。 在 x0 和 xm+1 處施加邊界條件，類型有兩大類：
具體三種形式見下表：
設(shè)定完解域，建立完網(wǎng)格，施加完終值與邊界條件后，你腦海應(yīng)該出現(xiàn)這樣的圖案！
紅點(diǎn)是終值和邊界條件上的點(diǎn)，藍(lán)點(diǎn)是內(nèi)點(diǎn)也是需要解的點(diǎn)，黑點(diǎn)是最終要解的點(diǎn) (對應(yīng)時(shí)間 t = 0，而金融產(chǎn)品定價(jià)不就是求出 0 點(diǎn)時(shí)的價(jià)值嗎？)。下一小節(jié)我們來講講如何將產(chǎn)品函數(shù) V(t, x) 在這美麗的網(wǎng)格離散吧。
8.4 空間與時(shí)間離散為了簡化說明，用粗體形式定義 Vj(t) = V(t, xj) 和 V 表示向量。我們有不同的方法來近似具有空間和時(shí)間維度的偏導(dǎo)數(shù)。
注意到上表所有的離散公式都用的是一個(gè)約等于號(hào)，是因?yàn)檫@些表達(dá)式都是用泰勒公式推出來的，而泰勒公式都包含誤差項(xiàng)。下面我們先介紹在空間維度 (xj 點(diǎn)) 上離散，再介紹再時(shí)間維度上 (tθi,i+1) 離散，最后介紹邊界點(diǎn)的離散情況。
將小節(jié) 8.1 推出的 PDE 整理一下 (并將 r 變成 r(t, x) 更加通用些)，左邊是時(shí)間，右邊是空間。a) 在空間維度 (xj 點(diǎn)) 對一階偏導(dǎo)和二階偏導(dǎo)用中央差分。b) 在 tθi,i+1= θti + (1 - θ)ti+1 點(diǎn)上用離散
上式中的 O(?) 是誤差項(xiàng)，可由泰勒公式推出。此外上面時(shí)間離散格式被稱為 θ 格式：
我們發(fā)現(xiàn)當(dāng) θ = 0.5時(shí) (CN 格式)，那個(gè)指標(biāo)函數(shù)1{·} 等于 0，因此誤差是 Δt 的 2 次方；當(dāng) θ = 0 (隱性格式) 或 1(顯性格式) 時(shí)，誤差是 Δt 的 1 次方，比 2 次方要大 (因?yàn)?nbsp;Δt 小于 1)。因此 CN 格式誤差最小收斂最快。
顯性、隱性和 CN 三種格式的圖如下：
根據(jù)收斂結(jié)果，你們可能會(huì)想知道為什么會(huì)有人用除了 CN 格式之外的。 CN 格式確實(shí)常常是選擇的方法，但是有少數(shù)情況 CN 格式的數(shù)值解不穩(wěn)定。然而隱性格式可以總是緩解這些問題。最后考慮到穩(wěn)定性問題，顯式格式應(yīng)該永遠(yuǎn)不要被應(yīng)用。 需要注意的是，上述空間離散都是發(fā)生在內(nèi)點(diǎn) (interior points) 上的。最后根據(jù)小節(jié) 8.3 中邊界條件來完成邊界點(diǎn)的離散形式。
運(yùn)用一些數(shù)學(xué)變換，我們發(fā)現(xiàn)這三類邊界條件的離散形式可以寫成以下通式。
其中
8.5 有限差分格式
將上一節(jié)左邊和右邊表達(dá)式聯(lián)系起來并舍去誤差項(xiàng)得到，在 (tθi,i+1, xj) 點(diǎn)上離散的方程為
8.6 歐式期權(quán)例子在 Black-Scholes 模型下，股票 S(t) 的 SDE 為
將小節(jié) 8.1 的 SDE 一般形式和 Black-Scholes 模型的 SDE 類比，發(fā)現(xiàn)
以歐式看跌期權(quán) (put option) 為例，它在到期日 T 的支付函數(shù)是
V(T,S(T)) = [K – S(T)]+
下表給出看跌期權(quán)的終值和邊界條件：
下面只需從 T 點(diǎn)向 0 點(diǎn)一步一步解小節(jié) 8.5 的差分方程即可：
最后根據(jù) PDE 計(jì)算看跌期權(quán)就是一個(gè)矩陣計(jì)算問題，這里要強(qiáng)調(diào)的是通常我們的網(wǎng)格打的很密，因此矩陣 M 很大，直接解逆矩陣會(huì)畫很多時(shí)間 O(m3)。由于 M 是三對角矩陣 (只有 3 個(gè)對角線上有非零值)，對于折中稀疏矩陣 (sparse matrix)，我們可用“LU-分解 (matlab 里面有函數(shù) lu() 直接可以用)”的方法來解，只需 O(m) 的時(shí)間，做法如下：
M = L · U V(ti) = U-1 · (L-1 · zi+1) 定價(jià)歐式期權(quán)的算法總結(jié)如下:
原創(chuàng)一個(gè)用有限差分計(jì)算看跌期權(quán)價(jià)值的動(dòng)態(tài)圖
第 9 章 - 蒙特卡洛模擬
官方定義：Monte Carlo (MC) simulations are used in finance and mathematical finance to value and analyse (complex) instruments, portfolios and investments by simulating various sources of uncertainty affecting their value, and then determining the distribution of their value over the range of resultant outcomes.
定義的還可以。在金融產(chǎn)品定價(jià)上，蒙特卡洛主要根據(jù)大數(shù)定理以及中央極限定理，將期望表達(dá)式轉(zhuǎn)換成算數(shù)平均表達(dá)式，然后模擬在每條路徑上產(chǎn)品支付函數(shù)，將其累加再求平均值。
蒙特卡洛模擬非常簡單，因?yàn)椋?/span>
蒙特卡洛模擬非常麻煩，因?yàn)椋?/span>
除了上面所講，蒙特卡洛里面的小伎倆實(shí)在是太多了，限于篇幅，作者不可能一一講全，本章主要用蒙特卡洛定價(jià)歐式期權(quán)的例子來說明一些概念。 9.1 期望轉(zhuǎn)成算數(shù)平均
通常對于一個(gè)金融衍生品 V，已知
從無套利原則加上大數(shù)定理可得
9.2 股票價(jià)格模擬
在 Black-Scholes 模型下，股票 S(t) 的 SDE 為
根據(jù)伊藤公式求出 dlnS
最后公式里面有幾個(gè)需要解釋的要點(diǎn)：
此外根據(jù)布朗運(yùn)動(dòng)增量均值為零和等距性質(zhì) (Isometry property)，計(jì)算出帶有布朗運(yùn)動(dòng)的積分項(xiàng) (設(shè)為 Y) 的均值和方差
9.3 歐式期權(quán)例子
以歐式看跌期權(quán)為例
計(jì)算期權(quán)價(jià)格的關(guān)鍵就是模擬出 zk，而在 matlab 中就是幾行代碼的問題，如下：
我知道這代碼有很多可以改進(jìn)的地方，比如可以用對偶變量 (antithetic variates) 減低 S(T) 的方差，可以用偽隨機(jī)數(shù)比如 sobel sequence 來生成隨機(jī)變量 zk。
我也知道還有太多蒙特卡洛的內(nèi)容沒有介紹，比如如何模擬相關(guān)多變量 (cholesky decomposition)，比如如何模擬 Heston 模型里面的波動(dòng)率項(xiàng)并保證其值為正 (quadratic exponential Monte Carlo)，比如如何用蒙特卡洛定價(jià)美式期權(quán)(least square Monte Carlo)。耐心點(diǎn)，等到專門有一貼來專研這些問題。 第 10 章 - 模型校正
官方定義：Model calibration is to calibrate a model to market data by determining its endogenous parameters in such a way it describes observable market data as good as possible.
定義的不錯(cuò)。但是我想把范圍縮小到金融產(chǎn)品定價(jià)模型的校正。
在這種情況下，模型校正是選擇模型中的參數(shù)使得市場流動(dòng)性強(qiáng)的交易價(jià)格 (市場價(jià)格) 和模型輸出 (模型價(jià)格) 完全匹配或盡可能接近。 任何量化金融模型都會(huì)有參數(shù)，這些參數(shù)可由歷史數(shù)據(jù) (historical data) 或隱含數(shù)據(jù) (implied data) 計(jì)算出來。關(guān)于私募工場（ID：simugongchang）最經(jīng)典的例子就是 Black-Scholes 里面的波動(dòng)率參數(shù)，到底是用歷史波動(dòng)率 (historical volatility) 還是隱含波動(dòng)率 (implied volatility) 校正呢？
一般統(tǒng)計(jì)模型或方法校正參數(shù)用的是歷史數(shù)據(jù)，比如 GARCH 模型和 Karman filter 方法；而一般金融定價(jià)模型或方法校正參數(shù)用的隱含數(shù)據(jù)，比如 Black-Scholes 和 Heston 模型。
舉一個(gè)具體例子，市場上股指期權(quán)在不同的行權(quán)價(jià)格和到期日交易，因此有一個(gè) 2 維價(jià)格平面。假設(shè)我們要用 Heston 模型對一個(gè)障礙期權(quán)估值，但沒有解析解，只能用數(shù)值解如有限差分或者蒙特卡洛模擬。但是第一步需要知道 Heston 里面模型參數(shù)怎么給，總不能閉著眼拍桌子給一個(gè)吧 (雖然大學(xué)里做項(xiàng)目都是這樣的)。這時(shí)候就需要校正參數(shù)了。
即便是復(fù)雜模型，絕大部分情況對市場交易產(chǎn)品都有解析解或者近似解析解，我們稱之為模型價(jià)格。而這些產(chǎn)品的市場價(jià)格 (由市場供求決定的) 可以直接從市場上拿到 (如果報(bào)價(jià)是價(jià)格) 或者帶入 Black-Scholes 公式里面算出(如果報(bào)價(jià)是波動(dòng)率)。根據(jù)作者經(jīng)驗(yàn)，市場報(bào)價(jià)是波動(dòng)率，因?yàn)閮r(jià)格在不同的行權(quán)價(jià)格或時(shí)間上數(shù)值差很遠(yuǎn)，一個(gè) 10 美元另一個(gè) 0.5 美元，但是波動(dòng)率都是在 1% 到 100% 之間(除了壓力情景下的) 變動(dòng)的，數(shù)值規(guī)模比較一致。
在擼起袖子努力干前，你要問自己兩個(gè)問題：
假設(shè)市場由 m 個(gè)行權(quán)價(jià)格 K 和 n 個(gè)到期日 T 對應(yīng)的期權(quán) V (總共 mn 個(gè))，定義模型參數(shù)集為 θ，模型校正可轉(zhuǎn)換成以下數(shù)學(xué)問題
每個(gè)都有自己的長短處，比如用：
此外，大多時(shí)候我們都想價(jià)中 (at-the-money, ATM) 期權(quán) (因?yàn)槠涓吡鲃?dòng)性) 的誤差最小化，所以我們會(huì)放較大的權(quán)重，對于 ITM 或 OTM 期權(quán)，會(huì)放較低權(quán)重。關(guān)于私募工場（ID：simugongchang）但是這個(gè)不是絕對的，要看實(shí)際問題中你最想擬合好哪類期權(quán)。 下面是作者用真實(shí)的市場數(shù)據(jù)
來校正在外匯市場的 Heston 模型。
從上圖上看結(jié)果還不錯(cuò)，基本上模型價(jià)格 (波動(dòng)率) 和市場價(jià)格 (波動(dòng)率) 相差不遠(yuǎn)。有了這組模型參數(shù)，我們可以用 Heston 模型來定價(jià)更為復(fù)雜的產(chǎn)品比如窗口式障礙/觸碰期權(quán) (partial window barrier/touch option) 了。
總結(jié)：
量化金融十大話題就揭秘完畢。 【完】 |
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