抽象曲面的堅韌探險家

譯自Simons基金會

http://www./quanta/20140812-a-tenacious-explorer-of-abstract-surfaces/

當她還是一個8歲的小女孩時，瑪麗亞姆·米爾扎哈尼（Maryam Mirzakhani）就時常想象做為一個了不起的女孩的傳奇故事。每天晚上睡覺前，她的女主人公會成為市長，周游世界或履行其他一些偉大的使命。

時至今日，米爾扎哈尼--這名37歲的斯坦福大學數(shù)學教授--仍然在她心里撰寫著復雜的故事。偉大的志向并沒有改變，但現(xiàn)在的主人公是雙曲曲面、?？臻g和動力系統(tǒng)。她說，在某種程度上，做數(shù)學研究感覺就像寫一本小說。“有許多不同的人物，你要試著去更好地了解他們，”她說 ?！暗S著事情的發(fā)展，當你回頭看每一個人物時，卻與你的第一印象完全不同。”

雖然故事線往往需要數(shù)年才能展開，但無論心中的人物去哪里，這位伊朗數(shù)學家都時刻追隨。雖然身材嬌小，但是不屈不撓，米爾扎哈尼在數(shù)學家中有著用頑強的毅力去解決自己領(lǐng)域最困難問題的美譽。米爾扎哈尼的博士導師哈佛大學柯蒂斯·麥克馬倫（Curtis McMullen）說：“當涉及到數(shù)學，她有一種初生牛犢不怕虎的雄心?！?/span>

米爾扎哈尼聲音低沉而穩(wěn)重，有一雙灰藍色的眼睛，充滿了堅定不移的自信。她性情平靜，很謙虛。當被問及如何描述她對一個特殊的研究問題的貢獻時，她笑了笑，猶豫了一下，最后說：“說實話，我不認為我做出了一個非常重大的貢獻?！碑斠环庵芏降碾娮余]件說她將獲得被廣泛認為是數(shù)學中最高榮譽的-菲爾茲獎時（2014年8月13日在韓國首爾國際數(shù)學家大會頒發(fā)）--她還以為發(fā)送該郵件的帳戶遭到了黑客的攻擊。

其他數(shù)學家卻總是喜形于色地描述米爾扎哈尼的工作。她的博士論文 – 數(shù)雙曲曲面上圈的個數(shù)--“煞是壯觀”他的合作者芝加哥大學數(shù)學教授亞歷克斯·埃斯金（Alex Eskin）說，“那是一種你馬上可以寫進教科書的數(shù)學?！?/span>

芝加哥大學的數(shù)學家本森·法博（Benson Farb）說，米爾扎哈尼一個非常新的貢獻是她和埃斯金在與臺球桌有關(guān)的抽象曲面的動力系統(tǒng)上進行的不朽的合作—— 一個在米爾扎哈尼所在的競爭激烈的研究領(lǐng)域等待了十年的定理。

德黑蘭

還是一個成長在德黑蘭的孩子時，米爾扎哈尼并沒有打算成為一名數(shù)學家。她的主要目標只是讀每一本她能找到的書。她還觀看了著名的女性如居里夫人（Marie Curie）和海倫·凱勒（Helen Keller）的電視傳記，后來又閱讀了描寫梵高（Vincent van Goah）生活的小說《渴望生活》（Lust for Life）。這些故事給了她一個未成型的夢想：也許成為一名作家就是在做生命中一些偉大的事。

米爾扎哈尼讀完小學時正逢伊朗和伊拉克戰(zhàn)爭就要結(jié)束，此時對于有積極性的學生而言，機會正紛至沓來。她通過分班測試進入了由伊朗全國特殊人才發(fā)展組織管理的德黑蘭Farzanegan女子中學。 “我想我是幸運的一代，”她說，“在我十幾歲的時候，時局變得更加穩(wěn)定?！?/span>

米爾扎哈尼在伊朗長大，最初更熱衷于閱讀和寫小說而不是做數(shù)學。

剛到新學校的第一個星期里，她就遇到了一生的摯友羅亞·貝赫什提（Roya Beheshti）， 其人現(xiàn)在是華盛頓大學圣路易斯分校一名數(shù)學教授。 做為孩子，她倆經(jīng)常出現(xiàn)在學校附近擁擠的商業(yè)街的書店。逛起來的確很累，于是她們隨機選擇書籍購買?！艾F(xiàn)在聽起來很奇怪，”米爾扎哈尼說?！暗珪娴暮鼙阋耍晕覀冎还苜I?！?/span>

讓米爾扎哈尼氣餒的是，那年她在數(shù)學課表現(xiàn)很差。她的數(shù)學老師不認為她特別有才華，這打擊了她的信心。在那個年代，“其他人怎么看你非常的重要，”米爾扎哈尼說?！拔沂チ藢?shù)學的興趣?！?/span>

一年后，米爾扎哈尼遇到了一個非常鼓舞人心的老師，而且，她的表現(xiàn)也變得非常的出色。貝赫什提說：“從第二年開始，她成了一個明星?！?/span>

米爾扎哈尼進了Farzanegan女子高中。在那里，她和貝赫什提得到了當年的全國計算機編程比賽選拔試題，這些試題用來確定哪些高中學生將參加國際信息學奧林匹克競賽。 米爾扎哈尼和貝赫什提想了這些問題好幾天，并設法解決了六個中的三個。盡管競賽中的學生必須在三個小時內(nèi)完成比賽，米爾扎哈尼也很高興能夠解決其中的一些問題。

米爾扎哈尼和貝赫什提希望發(fā)現(xiàn)她們在類似比賽中的能力，她們一起去見了學校的校長，要求她安排和男子高中一樣的奧數(shù)課程?！靶ｉL性格非常堅韌”，米爾扎哈尼回憶道:“如果我們真的想要，她就會設法辦到?！碑敃r的情形是，伊朗的國際數(shù)學奧林匹克隊從來沒有派出過一個女孩，米爾扎哈尼說：“她的心態(tài)是非常積極和樂觀的——那就是‘你可以做到這一點，即使你是第一個’?！泵谞栐嵴f，“我認為這種信念很大地影響了我的生活?！?/span>

1994年，當米爾扎哈尼 17歲時，她和貝赫什提進入了伊朗數(shù)學奧林匹克競賽國家隊。米爾扎哈尼在國際數(shù)學奧林匹克競賽中的得分讓她贏得了一枚金牌。次年，她再次參加了，并且取得了一個滿分金牌。 在競賽的激勵下，米爾扎哈尼深深地愛上了數(shù)學，她說：“為了發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美，你必須花一些精力和努力?！?/span>

  直到今天， 法國巴黎第七大學的安東 · 卓里奇（ Anton Zorich） 仍然對米爾扎哈尼印象深刻——“ 她是一個對發(fā)生在她身邊的一切數(shù)學都感到絕對興奮的17歲女孩”。

哈佛

米爾扎哈尼與她的父母   攝于伊朗伊斯法罕（Isfahan）。

1998 年菲爾茲獎得主麥克馬倫注意到，奧數(shù)金牌并不總是意味著數(shù)學研究上的成功——“在這些競賽中，人們精心打造了一個有巧妙的解的問題，但在研究中，也許問題根本沒有解。”不像許多的奧林匹克高分選手，他說，米爾扎哈尼“能夠形成她自己的視野?！?/span>

1999年， 在德黑蘭的謝里夫大學完成數(shù)學本科學位之后，米爾扎哈尼去哈佛大學讀研，在那里她開始參加麥克馬倫的討論班。起初，她不明白很多他說的東西， 但仍然被雙曲幾何之美迷住了。她開始去麥克馬倫的辦公室問一些尖刻的問題，用波斯語涂鴉著筆記。

“她有著一種大膽的想象力，”麥克馬倫回憶說，“她會在她的腦海里構(gòu)思一個必定可行的虛構(gòu)的畫面，然后來到我的辦公室，并描述它。最后，她就轉(zhuǎn)過來對我說，‘是嗎？’我總是很受寵若驚，因為她以為我會知道。”

 米爾扎哈尼迷上了雙曲曲面 —— 一種具有兩個或更多個孔的甜甜圈，其具有非標準的幾何形狀，大致說來，曲面上每個點都是馬鞍形的。雙曲甜甜圈不能在普通的空間構(gòu)造; 它們在抽象的意義下存在，其距離和角度由一組特定的方程計算。在這類方程決定的曲面上，一個虛構(gòu)的生物生活經(jīng)歷的每個點都是鞍點。

事實證明，每個多孔甜甜圈可以以無限多的方式賦予一個雙曲結(jié)構(gòu)---粗的甜甜圈，細的甜甜圈，或兩者的任意組合。在這種雙曲曲面被發(fā)現(xiàn)一個半世紀以來，它們已經(jīng)成為幾何中的一些中心對象，并聯(lián)系到很多數(shù)學和物理學的分支。

但是，當米爾扎哈尼開始讀研時，一些關(guān)于這些曲面上最簡單的問題都沒有答案。人們關(guān)心直線或雙曲曲面上的“測地線”。即使是一個曲面也可以有一個“直”線段的概念：它只是兩點之間的最短路徑。在雙曲曲面上，有些測地線是無限長的，就像在平面上的直線，而其它的閉合起來成了一個圈，像地球上的經(jīng)線和赤道。

當測地線的長度增長時，給定長度的雙曲曲面的閉測地線的數(shù)量呈指數(shù)級增長。大多數(shù)這些測地線在它們光滑封閉前和自己相交很多次，但其中一小部分，稱為“簡單”測地線，永遠不和自己相交。法博說，簡單的測地線是“解鎖整個曲面結(jié)構(gòu)和幾何形狀的關(guān)鍵”。

然而，數(shù)學家不知道雙曲曲面上究竟有多少給定長度的簡單的閉測地線。在閉測地線中，簡單的閉測地線“奇跡發(fā)生的時間是滄海一粟，”法博說。因此，準確地計算它們是非常困難的——“失之毫厘，謬之千里，”他說。

在2004年完成的博士論文中，米爾扎哈尼回答了這個問題，得到了隨長度L變大時，長為L的簡單的測地線數(shù)量增長的公式。沿著這條路，她建立了與其它兩個主流研究問題的聯(lián)系。一個是有關(guān)所謂的“?？臻g”——一給定曲面上所有可能的雙曲結(jié)構(gòu)——的體積公式。另一個是一個舊猜想令人驚訝的新證明，此猜想是關(guān)于與弦論有關(guān)的?？臻g的某些拓撲量，是由新澤西州普林斯頓高等研究院的物理學家愛德華·威騰（Edward Witten）提出的。威騰猜想是如此的困難，以至于第一個證明它的數(shù)學家——靠近巴黎的法國高等科學研究所的馬克西姆·康采維奇（Maxim Kontsevich） —— 部分由于這個工作被授予1998年的菲爾茲獎。

法博說，“解決所有這些問題是一個大事，將它們聯(lián)系起來也是一個大事?！泵谞栐岫甲隽?。

   米爾扎哈尼的研究成果最終形成了三篇論文，并發(fā)表在了三個頂級數(shù)學刊物上：Annals of Mathematics, Inventiones Mathematicae 和 Journal of the American Mathematical Society。大多數(shù)數(shù)學家永遠不會做出這樣好的東西，法博說-“而她在自己的博士論文中就做到了。”

“宏偉的作品”

米爾扎哈尼形容自己做研究非常慢。不像有些解決問題迅速的數(shù)學家，她被那些她可以思考多年的深層次的問題所吸引。她說“幾個月或幾年后，你會看到一個問題非常不同的方面”。有些問題，她一直思考了十年以上，她說“我仍然無從下手”。

米爾扎哈尼的節(jié)奏不會被那些迅速解決問題的數(shù)學家打亂。 “我不容易失望，在某種意義上，我非常有信心?！?/span>

她緩慢而沉著的方式也體現(xiàn)在她生活的其它方面。當她是一名哈佛研究生時，她未來的丈夫約翰·馮德拉克（Jan Vondrak），當時也是麻省理工學院的研究生，就體會到 米爾扎哈尼的這一點。他們相約去跑步， “她非常嬌小，我的體型很好，所以我想我會做的很好，起初，我領(lǐng)著她”，現(xiàn)在是圣何塞加利福尼亞州IBM Almaden研究中心一名理論計算機科學家的馮德拉克回憶說：“但她從來沒有減慢速度。半小時后，我跑不動了，但她仍然以同樣的速度前進?！?/span>

 當米爾扎哈尼思考數(shù)學時不斷涂鴉，畫曲面和其它與她研究相關(guān)的圖像。馮德拉克說，“她在地上鋪上一些巨大的紙片，花幾個小時一遍又一遍地畫一些對我來說同樣的畫面，”他補充說，在她家中的辦公室隨意散布著論文和書籍。他說“我不知道她怎么可以像這樣工作，但最后總能解決問題”。他推測，也許這是因為“她正在研究的問題是如此抽象和復雜，她無法提供一步步的邏輯的鏈條，而必須做出很大的跳躍”。

米爾扎哈尼習慣用建立圖像的方式去思考數(shù)學，經(jīng)常在一張巨大的紙片上涂鴉她的各種想法。

涂鴉可以幫助自己集中注意力，米爾扎哈尼說。人們在思考一個困難的數(shù)學題時“你不想寫下所有細節(jié)，”她說。 “但是，在畫的過程中可以幫助你以某種方式理解它們?！泵谞栐嵴f，她三歲的女兒，安娜希塔（Anahita），常常感嘆：“哦，媽媽再畫！”當她看到數(shù)學家涂鴉時 “也許她認為我是一個畫家，”米爾扎哈尼說。

米爾扎哈尼的研究涉及到數(shù)學的許多領(lǐng)域，包括微分幾何、復分析和動力系統(tǒng)。 “我喜歡穿越人們設置在不同領(lǐng)域之間假想的邊界—— 這將令人耳目一新，”她說。在她的研究領(lǐng)域，“有很多工具，但是你不知道哪一個會起作用，我樂于嘗試去建立它們之間聯(lián)系。”

麥克馬倫說，有時米爾扎哈尼建立的聯(lián)系是相當令人興奮的。以2006年為例，她通過用類似于一個撞擊走滑型地震的機制，攻克了雙曲曲面的幾何形狀變形時，將會發(fā)生什么的問題。 在米爾扎哈尼的工作之前，“這個問題完全不可觸及，”麥克馬倫說。但只用了一行的證明，他說，“她建造了這個完全不清楚的理論和另一個完全清楚的理論之間的橋梁?！?/span>

2006年，米爾扎哈尼開始了她與埃斯金富有成效的合作，后者認為她是自己最喜歡的合作者之一。 “她很樂觀，很有感染力。當你和她在一起工作時，你會感到你更有可能去解決那些起初看來毫無希望的問題。”

在幾次合作后，米爾扎哈尼和埃斯金決定解決他們領(lǐng)域中一個最大的公開問題。它關(guān)注一個臺球在任何多邊形形狀的臺球桌上運動的行為，只要求這種多邊形的角的角度是圓周率的有理倍數(shù)。臺球提供了一些最簡單的動力系統(tǒng)的例子 —— 即按照給定的規(guī)則隨時間演化的系統(tǒng)——人們已經(jīng)意識到臺球的行為出乎意料的復雜。

   如果你把鏡子鑲嵌在臺球桌的墻壁上，在一面墻壁反彈的臺球看起來好像是在鏡像世界里沿著一條直線繼續(xù)走。沿著這條直線球通過一面又一面的玻璃就像碰到更多的墻，經(jīng)過有限次的反射，你將回到臺球出發(fā)的那個臺球桌世界。

   如果你將有限多的臺球桌世界沿著他們的邊粘合起來。你將得到一個曲面——一個有兩個或多個孔的甜甜圈——其上繼承了來自臺球桌的平坦幾何（除了極少數(shù)對應于臺球桌角的點外）。在原始臺球桌上的運動軌跡對應著這個被稱為“平移（translation）”曲面上的直線。數(shù)學家已經(jīng)證明懂得所有平移曲面的“模空間”是理解臺球運動的關(guān)鍵。

“有理多邊形球臺的研究開始于一個世紀以前，當時一些物理學家圍坐在一起討論一個臺球如何在一個三角形球臺上運動。” 斯坦福大學博士后研究員亞歷克斯·懷特（Alex Wright）說。 “本來他們認為他們會在一周內(nèi)完成，但100多年后，我們?nèi)栽诳紤]這個問題?！?/span>

將一個正方形臺球桌變成一個單孔甜甜圈（平移曲面）的過程，臺球軌跡變成平移曲面上的測地線。

為了研究臺球的長期運動軌跡，一個有用的方法是想象沿運動軌跡方向慢慢地壓扁臺球桌，以至在給定時間內(nèi)，我們可以看到更多的臺球運動軌跡。原始的臺球桌變成了一系列新的臺球桌，這個變換也可以想象成在數(shù)學家所說的模空間上航行，這個?？臻g是由給定邊的數(shù)目的所有可能的臺球桌組成的。通過將每個臺球桌變成一個被稱為“平移（translation）曲面”的抽象曲面，數(shù)學家可以通過了解所有平移曲面組成的?？臻g來分析臺球的運動。研究人員已經(jīng)證明通過了解壓扁臺球桌運動在?？臻g形成的“軌道”（譯者注：泰希米勒（Teichmüller）測地流）有助于回答許多有關(guān)原始臺球桌的問題。

泰希米勒測地流是壓扁臺球桌運動在所有平移曲面組成的模空間上形成的軌道。

表面上來看，這個軌道可能是一個非常復雜的對象 ——例如一個分形。但是2003年，麥克馬倫證明當平移曲面是一個雙孔（“虧格二”）甜甜圈時情形并不復雜：每個軌道填滿整個空間或者該空間的一些被稱為子流形的簡單的子集。

麥克馬倫的結(jié)果被人們譽為一個巨大的進步。他回憶說，然而在他的論文發(fā)表之前，那時還是一名研究生的米爾扎哈尼來到他的辦公室，問：“為什么你只做雙孔甜甜圈？”

“她就是這樣一個人，”他說。 “一旦看到了什么暗示，她就想了解的更清楚?！?/span> 

經(jīng)過多年的努力，在2012年和2013年，米爾扎哈尼和埃斯金，部分工作是與美國德克薩斯大學奧斯汀分校的阿米爾·穆罕默迪（Amir Mohammadi）的合作，將麥克馬倫的結(jié)果成功地推廣到所有表面有兩個以上孔的甜甜圈。卓里奇補充說，他們的分析是“宏偉的作品”，其影響遠遠超出了臺球。?？臻g“在過去30年來已經(jīng)被深入地研究，”他說，“但是關(guān)于它的幾何我們所知甚少?！?/span>

米爾扎哈尼和埃斯金的作品是“一個新時代的開始，”懷特說，他花了幾個月時間去研究他們的172頁的論文?！熬拖裎覀冊囍タ撤ヒ黄t木林，以前只有一把斧頭用，但現(xiàn)在他們已經(jīng)發(fā)明了一種鏈鋸”。他們的工作已經(jīng)得到了應用 ——例如，了解復雜的鏡像房中保安員的視線問題。

在米爾扎哈尼和埃斯金的文章中，“在每一層難度和思想之下躺著隱藏的更深的另一個，” 懷特在一封電子郵件中寫道， “當我到達中心的時候，我驚訝于他們所建立的機制?！?/span>

是米爾扎哈尼的樂觀和堅韌使得這一切順利進行，埃斯金說，“有時候有挫折，但她從不驚慌失措?！?/span>

即使米爾扎哈尼自己也很驚訝，現(xiàn)在回想起來，他們還是堅持了下來。“如果我們知道事情會這么復雜，我想我們會放棄，”她說。然后，她停頓了一下。 “我不確定，其實，我真的不確定。不過我不輕易放棄?！?/span>

下一章

米爾扎哈尼是七十八年來首位獲得菲爾茲獎的女性。在數(shù)學界性別比例失衡是長期和普遍的，而菲爾茲獎，似乎尤其不適合許多女性數(shù)學家的職業(yè)追求。它被限制在授予年齡小于40歲的數(shù)學家，而正是這段時間里，許多婦女不得不遠離她們的職業(yè)去養(yǎng)育子女。

雖然如此，米爾扎哈尼相信未來會有更多的女性獲得菲爾茲獎。她說“真的有很多偉大的女數(shù)學家正在做偉大的事情?！?/span>

她雖然感到非常榮幸被授予菲爾茲獎，但并不打算成為女性在數(shù)學中的代表人物。她兒時的夢想已經(jīng)被這喜出望外的獎項所實現(xiàn)，她說，但今天，她更渴望將注意力從這些成就轉(zhuǎn)移，以至于可以專注于研究工作。

米爾扎哈尼已經(jīng)有了一個宏偉計劃，將譜寫她數(shù)學故事的下一個篇章。她已經(jīng)開始與懷特合作，嘗試建立起平移曲面軌道可以填補的各種幾何集合的完整列表。卓里奇寫道，這樣的分類對于理解臺球和平移曲面將是一個“魔杖”。

這是個不小的任務，但米爾扎哈尼多年來已經(jīng)習慣了從大處著眼。 “雖然有點棘手，但你必須忽略低懸的果實，”她說。 “我不確信這是做事情的最好辦法，事實上 ——你在自己前進的道路上折磨著自己”，但她喜歡，她說。 “生活本來就不容易?！?/span>

譯者補充：

后兩幅圖由譯者提供。今年另一菲爾茲獎獲得者阿圖爾· 阿維拉（Artur Avila）的部分獲獎工作也與臺球的動力系統(tǒng)有關(guān)。 埃斯金和米爾扎哈尼等人證明了動力系統(tǒng)對象泰希米勒測地流的閉包是代數(shù)幾何對象，數(shù)學家還知道它同時也是算術(shù)幾何對象。泰希米勒測地流和區(qū)間交換映射的動力學研究的自然對象——閉測地線——同樣是物理學中的BPS態(tài)，代數(shù)中的穩(wěn)定對象，組合中的cluster坐標。泰希米勒測地流和穩(wěn)定性條件空間之間的相似性在Kontsevich-Soibelman早先的文章中注意到，Gaiotto-Moore-Neitzke和Bridgeland-Smith建立了泰希米勒理論和三角范疇的穩(wěn)定性條件的聯(lián)系。

本文轉(zhuǎn)自 http://blog.sciencenet.cn/blog-1060415-822493.html