目前雖有研究者對地球的轉(zhuǎn)動慣量得出了初步理論計算值，但其正確性尚有待從多個角度進一步驗證，現(xiàn)按以下兩種方法作有關(guān)計算來進行驗證。

1、按第一種方法計算地球轉(zhuǎn)動慣量

即按月球在一定時期內(nèi)遠離地球所需角動童，與地球同期因自轉(zhuǎn)角速度降低而可能轉(zhuǎn)輸給月球的角動量相等的條件，求解地球的轉(zhuǎn)動慣量。為此先需計算月球現(xiàn)在離開地球的速度及其過去變化規(guī)律，以及地、月距離的變化規(guī)律等一系列參數(shù)。

1.1 月球現(xiàn)在離開地球的速度及其過去變化規(guī)律的計算

其速度雖己有較為準確的觀測值，但為了弄清它在各歷史時期的變化規(guī)律仍需在此再進行有關(guān)的理論計算。為此需先計算月球所受地球的潮汐分力、地球潮峰質(zhì)量及潮峰質(zhì)心至地心的距離。

1.1.1 月球在運行方向所受湖汐分力的計算

圖1 地球潮峰對月球的引力

如圖1所示，設(shè)地月距離為L，月球質(zhì)量為M，單面潮峰（包括體湖與海潮）總質(zhì)量為n，潮峰質(zhì)心至地心的距離為S，S在地月向徑上的投影長度為e，那么由于角度θ及 α 都很小，故二潮峰對月球的引力F₁及F₂可分別按下列兩式計算：

式中G：萬有引力常數(shù)。

月球在運行方向所受潮汐分力F_τ可按幾何關(guān)系按下式計算：

式中b ：潮峰質(zhì)心偏心距(m)。

因上式中e/L <>

己知現(xiàn)在的潮汐滯后角α =3.2°，從而可算出6≈355km。但它要隨地球?qū)Φ卦孪驈降南鄬撬俣鹊慕档投鴾p小，隨潮峰移動阻尼的増加而增大。其量值極難定童計算，故這里暫且假設(shè)它在4.2億年內(nèi)為常量。那么上式中還有單面潮峰總質(zhì)量 n 及其質(zhì)心與地心的距離 S 為未知量?，F(xiàn)在下面來求解這兩個參數(shù)。

1.1.2 地球潮峰質(zhì)量n的計算

圖2 地球潮峰質(zhì)量的計算

如圖2所示，設(shè)地球半徑為R，現(xiàn)用半錐角為β及β+dβ的兩個圓錐面在潮峰上切取一環(huán)狀微元體。該處潮汐高度h可根據(jù)文獻[1]的(18) 式計算，即：h = h₀(cos²β - 1/3)，式中h₀：最大潮汐落差（m)。

上式是按圖2所示，以紅線表示的地球未漲潮時的外表面為基準推導(dǎo)出來的^[1]。實際上，漲潮后的地球外徑如黑線所示，半徑約縮小h₀/3。所以要正確計算整個潮峰質(zhì)量，應(yīng)以黑線所示的球面為基準；這時的邊界條件是β = ± π/2，h=0；從而可求得積分常數(shù) C = 0。那么，上式可改寫為：
h = h₀ cos² β                                            （5） 

故環(huán)形微元體的體積可按下式計算：

dV = 2πR²h₀cos²β sinβdβ                                    (6)

V = 2/3 πR²h₀                                                                         (7)

單面潮峰的總體積可由上式在0?π/2區(qū)間內(nèi)積分求得，體積V乘以潮峰物質(zhì)平均密度ρ則可得單面潮峰總質(zhì)量n的計算式。

1.1.3 潮峰質(zhì)心離地心距離S的計算

n = 2/3 πR²h₀ρ                                                      (8)

S值可按下式計算(參看圖2)：

由于α值很小，故可得e ≈ s；由此可見e也可近似看作常量。

1.1.4 月球現(xiàn)在離開地球的速度計算

該速度可根據(jù)月球因受湖汐分力F_τ而獲得的角動量 J 對時間 t 的微商，等于月球繞地球運行的角動童J′，對時間 t 的微商的條件算出。前者可按下式計算：

后者可按下式計算：

式中M₁：地球質(zhì)量(kg)。

命二者相等，并將(8)式及(9)式代入，經(jīng)整理后可得：

式中V₀就是現(xiàn)在月球離開地球的速度。己知R = 6.371 × I0⁶m， h₀=0.5m，b = 3.55 X10⁵m，現(xiàn)在地月距離L₀=3.84X10⁸m，G = 6.69X10^-11m³kg^-1s^-2，M1 = 6.976 × 10²⁴kg；己知海洋與大陸面積之比為7: 3，故按比例折算，近似取ρ =1400kg/m³。將上列數(shù)據(jù)代入上式可算出，V₀=4.36cm/年，這和大家公認的數(shù)值很接近，也說明以上的計算是基本正確的。但據(jù)報導(dǎo)，美國借助衛(wèi)星測量發(fā)現(xiàn)月球在28年內(nèi)軌道半徑増大了1m，由此可以算出V₀=3.57cm/年，這應(yīng)是目前最精確的觀測值。

1.1.5 月球過去離開地球速度變化規(guī)律的計算

由文獻[1]的(11)式可知，h₀與地月距離L的三次方成及比，又因R、G、M₁及ρ均可看作是常量；如果再假設(shè)b值在距今較長時期內(nèi)保持不變，那么，根據(jù)和分析(8)式及(12)式可得月球在任意時刻離開地球的速度v的計算式：

v = K/L^5.5                                                                                      (13)

式中K：比例常數(shù)。

根據(jù)現(xiàn)在的邊界條件：L=L₀，v=v₀，從上式可解得K = v₀L^5.5，將它代入上式可得：

v = v₀L₀^5.5 / L^5.5                                                                        (14)

上式中L是隨時間 t 而變的，但要求出 v 與時間的函數(shù)關(guān)系要涉及極難求解的積分方程的計算，故在下面提出一種 v 的近似數(shù)值求解法。

我們將要考察的年限 t 分成 n 等分，每等分以Δt 表示，Δt = t/n，時間每過Δt 后的速度以v₁表示，每過2Δt后的速度以v₂表示，依此類推，那么，根據(jù)上式可得：

上式右端分母括號內(nèi)的后一項遠小于1，故可將中括號內(nèi)的部分展開成級數(shù)并略去所有高次項，那么依次可得：

若取考察的年限為4.2億年，取 n 為10，則Δt = 4.2X10⁷年，取v₀=3.57cm/年，已知L₀=3.84X10¹⁰cm。那么，按(16)式計算的結(jié)果列于附表。

附表 月球在過去不同時期遠離地球的速度

1.2 4.2億年前至今月球獲得角動量的計算

為此先要計算4.2億年前月球至地球的距離L₁，它可按下式計算：

L₁ = L₀ -(v₀ + v₁ + v₂ +…… + v₉) x Δt                      (17)

將有關(guān)各數(shù)據(jù)代入上式可得L₁ = 3.675 X10^l0cm=3. 675X10⁸m。月球軌道半徑從L₁至L₀所獲得的角動量J₁可按下式計算：

將以上計算得出的有關(guān)數(shù)據(jù)代入上式可得：J₁=6.177 X10³²kg·m²/s；如果計入近似計算的誤差而加以修正，則可得：J₁ = 6. 242 X 10³²kg·m²/s。

1.3  4.2億年來地球能輸送給月球的角動量J₀的計算

按文獻[2]的(12)式 J₀ 可按下式計算：

式中ω₂： 4.2億年前地球的自轉(zhuǎn)角速度（s^-1)，按文獻[2]的計算為：82X10^-5s^-1；ω₀：現(xiàn)在地球的自轉(zhuǎn)角速度。為 7.272X10^-5s^-1；ΔI：按文獻[2]的(9)式可得，4.2億年前ΔΙ=0. 013·Ι。

上式中J₃′為4.2億年前至今地球因太陽潮丟失的角動量，它可按下式算出：

J₃′ = Nt = 11.81 × 10¹⁵ × 4.2 × 10⁸ × 365 × 24 × 360 = 1.564 × 10³²kg·m²/s

式中N：太陽潮對地球的制動力矩（N · m)，按文獻[2]的計算為N = 11.81X10¹⁵N·m；t ：時間（s)。

1.4 地球轉(zhuǎn)動慣量的計算

由于地球輸出的角動童J₀應(yīng)等于月球吸收的角動量，故按(19)式計算的結(jié)果應(yīng)等于已按(18)算出的J₁值；從而根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)可解得：I = 7.545 X10³⁷kg·m²/s。

2、按第二種方法計算地球轉(zhuǎn)動慣量

即直接根據(jù)已知地球內(nèi)部物質(zhì)密度分布情況來進行地球轉(zhuǎn)動慣量的計算。

圖3 地球轉(zhuǎn)動慣量的計算

圖3所示為地球的剖面，R為地球外半徑，現(xiàn)切取半徑為r 厚度為dr的殼球體，再在其上切取斷面為rdθdr 的微元環(huán)形體來考察，則其總質(zhì)量為 2πρr²sinθdr。其中 ρ 為殼球的密度，它隨地球半徑 r 而變，若假設(shè)它從地心到地表按線性規(guī)律分布，它可近似按下式表達：

ρ = ρ₀ + (1 - r/R)ρ₁                                       (20)

式中ρ₀：地球表層物質(zhì)密度，約為2700kg/m³；

按地球中心物質(zhì)密度ρ =13000kg/m³，該處r = 0，從上式可解出ρ₁ = 10300 kg/m³。

上述微元環(huán)形體的總質(zhì)量再乘以其轉(zhuǎn)動半徑的平方，即（r·sinθ)²就是它的轉(zhuǎn)動慣量。囡此整個地球的轉(zhuǎn)動慣量 I 可由下式積分求得：

上式展開并積分卮，將各有關(guān)數(shù)據(jù)代入可求得：I = 7.787X10³⁷kg·m²。

3、對計算結(jié)果的討論

按文獻[3]的觀點，43.8億年前，地球初始轉(zhuǎn)動慣量I₀為：4.59X10³⁷kg·m²；其平均年増長率dI / dt為：8.49X10²⁷kg·m²/a；自轉(zhuǎn)角動量J為：5.861 X10³³kg·m²s^-1，并假設(shè) J 及地球質(zhì)量M₁均為不變的常數(shù)。我按上述兩組數(shù)據(jù)及假定，算得現(xiàn)在地球的轉(zhuǎn)動慣量 I 分別為：8.31 X 10³⁷kg·m²和8.06X10³⁷kg·m²。它雖與本文計算結(jié)果相差不太多，但由于以下原因，其可靠性很值得懷疑。

該文獻表1所列出的地球半徑増長率的各種參考數(shù)據(jù)，其最大值與最小值竟相差十倍以上；按表2所列地球日長變化率的各種參考數(shù)據(jù)， 則相差2.6倍；按這種不可靠的原始數(shù)據(jù)算出結(jié)果的可靠性就可想而知了。計算還表明，即使假設(shè)4.4億年前月球才被俘獲，40多億年來，地球因太陽潮及太陰潮損失的角動量高達2.182X10³³kg·m²s^-1，損失率約為40%；如果假設(shè)月球存在了40多億年，則有確鑿的證據(jù)證明，月球從地球吸收的角動量將比按(18)式計算的結(jié)果至少大十倍以上，地球自轉(zhuǎn)角動量無疑將損失殆盡，而該文獻卻把這種巨大損失忽略不計，其演算過程的謬誤更顯而易見了。

本文用兩種便捷的完全獨立的計算方法求得的數(shù)值，只相差3%左右，因而應(yīng)算作是目前證據(jù)最充分并最可信的計算結(jié)果。

參考文獻

[1] 趙菊初， 對現(xiàn)有地球湖汐理論漲潮高度計算公式的質(zhì)疑，科學(xué)智慧火花欄目，2012-04-07

[2] 趙菊初， 月球作為地球衛(wèi)星存在時間的推算，科學(xué)智慧火花欄目， 2012-03-29

[3] 陳志耕，膨脹地球基本參數(shù)的初值及乎均變化率，地球物理學(xué)報，1990年笫33卷笫5期